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Cinemática Rotacional. Loreto A. Mora Muñoz LPSA Viña del Mar. L.A.M.M. Conceptos previos. La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento.

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Cinem tica rotacional

Cinemática Rotacional

Loreto A. Mora Muñoz

LPSA

Viña del Mar


Conceptos previos

L.A.M.M.

Conceptos previos.

  • La cinemática es una rama de la física mecánica, que se encarga del estudio y descripción del movimiento.

  • La cinemática rotacional dice relación con los movimientos en que hay rotación de un objeto respecto de un eje (o punto) central.


Ejemplos

L.A.M.M.

Ejemplos:

  • El minutero de un reloj análogo rota respecto del centro del reloj.

  • Un automóvil que da la vuelta en una rotonda está girando alrededor del centro de la misma.

  • Los planetas giran en torno al Sol.


Variables escalares

L.A.M.M.

Variables escalares.

  • Periodo: es el tiempo que demora en dar una vuelta completa (o una revolución)

  • Se le asigna la letra T y se mide en segundos(s) en el sistema MKS.

  • También se puede medir en minutos, horas, dias, años, etc.


Ejemplo

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • ¿Cuánto demora un minutero en dar una vuelta completa al reloj?

  • Como 1(min) es el tiempo que marca el minutero, la vuelta completa al reloj se da en 60(min), por lo tanto el periodo del minutero es T=60(min), o bien T=3600(s).


Ejemplo1

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Un ciclista demora 2(min) en dar tres vueltas en una rotonda. ¿Cuánto vale el periodo de su movimiento?

  • Si 3vueltas  120(s)

    1vuelta  X (s) X = 120*1/3

    El periodo del movimiento del ciclista es de 40(s)


Variables escalares1

L.A.M.M.

Variables escalares:

  • Frecuencia: es la cantidad de vueltas en cierto tiempo. Se denomina con la letra f y su unidad de medida es (1/s) a lo cual se le llama HERTZ (Hz) en el sistema MKS.

  • Se expresa como:

  • También se puede medir en RPM (revoluciones por minuto).


Ejemplos1

L.A.M.M.

Ejemplos:

  • ¿Cuál es la frecuencia de un motor que da 300 vueltas en 5 (s)?

  • Como : f = 300/5(s),  f = 60 (Hz)

  • Esto significa que da 60 vueltas en un segundo.


Ejemplo2

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • ¿Cuál es el periodo del motor cuya f=60(Hz)?

  • Como sabemos que 60 vueltas  1(s)

    entonces: 1 vuelta  X(s)

    El periodo del motor es

    T = 1/60  T = 0,01667(s)

  • De lo que se deduce que f = 1/T


Frecuencia y periodo

L.A.M.M.

Frecuencia y Periodo

  • Como vimos en el ejemplo anterior Periodo y frecuencia se relacionan de forma inversa, esto es, mientras uno aumenta el otro disminuye.

  • O bien a mayor frecuencia menor periodo, y viceversa.

    Es valido decir que: , o bien:


Ejemplo3

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Calcule el periodo y la frecuencia del planeta Tierra para su:

  • Rotación sobre su eje

  • Traslación respecto del Sol


Soluci n

L.A.M.M.

Solución:

  • Como da una vuelta completa en un día, sabemos que: 1(día) = 24(hrs), pero cada hora tiene 3600(s); por lo tanto:

    T = 24*3600 (s)  T = 86400 (s)

    Luego f = 1/T  f = 1/86400

    f = 1,1574 x 10E-5 (Hz)


Soluci n1

L.A.M.M.

Solución:

b) Sabemos que el planeta demora 365 días en dar la vuelta completa alrededor del Sol. Por lo que T = 365(días)*24(hrs)*3600(s)

Luego T = 31536000 (s)

Entonces f = 1/T  f = 3,17x10E-8 (Hz)


Ejemplo4

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Un motor gira a 3000rpm ¿Cuánto vale su frecuencia en el Sistema Internacional?

  • Como se dan 3000 vueltas en 1 minuto, se puede decir que:

    3000 rev 60 (s)

    X rev  1 (s) f = 50 (Hz)


Variables angulares

L.A.M.M.

Variables Angulares.

  • En un plano cartesiano XY (en metros), podemos decir que un objeto se encuentra en las coordenadas (x,y)=(3,4), o bien podemos indicar su posición diciendo que está a 5(m) y a 36,9º sobre el eje X positivo.


Variables angulares1

L.A.M.M.

Variables Angulares

  • Posición angular: lugar en que se encuentra un objeto, medido en ángulos. (como el segundo caso del ejemplo anterior).

  • Se le asigna la letra griega θ y su unidad de medida es en radianes(rd), en el sistema MKS.

  • También se puede medir en grados, para lo cual se sabe que: 360º = 2π (rd)


Ejemplo de c lculo

L.A.M.M.

Ejemplo de cálculo:

  • ¿Cuántos radianes son 90º?

  • Como 360º = 2π (rd)

  • 90º = X (rd) X = 90*2π/360

  • Luego 90º = π/2 (rd)


Relaci n entre grados y radianes

L.A.M.M.

Relación entre grados y radianes

  • Para una vuelta completa se tiene que:


Pero qu es un radi n

L.A.M.M.

Pero: ¿Qué es un radián?

  • El radian se define como el ángulo

    para el cual el arco comprendido

    por dicho ángulo es igual al radio.

  • Entonces la razón (o división) entre el arco y el radio es igual a UNO.

  • Note que por ser una división entre magnitudes de distancia resulta una variable sin unidad de medida (adimensional).


Ejemplo5

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Se recorre un arco de 30(cm) en una circunferencia de 20(cm) de radio ¿Qué ángulo se abarca?

    ángulo (rd) = arco/radio

    ángulo = 1,5(rd)

    O bien: ángulo = 42,97º


Ejemplo6

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • En una circunferencia de radio 50(cm) Un ángulo de 72º barre un arco de:

    a) 125 π (cm)

    b) 20 π (cm)

    c) 259,2 π (cm)

    d) 3600 π (cm)

SOLUCION:

72º* π /180* = ángulo en radianes

Ángulo = 0,4 π (rd)

Luego arco/radio = ang (rd)

Queda: ang (rd) *radio = arco

0,4 π (rd) * 50 (cm) = 20 π (cm)


Desplazamiento angular

L.A.M.M.

Desplazamiento angular.

  • Desplazamiento angular: se le denomina así al cambio de posición angular.

  • Se le designa Δθ = θf – θi

  • Es la diferencia entre la posición angular final y la posición angular inicial. Por tanto se mide también en radianes o grados.


Ejemplo7

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Un objeto que se encuentra en A, a 90º, gira alrededor de un eje hasta llegar a B, a 210º, como muestra la figura. ¿Cuánto vale su desplazamiento angular?

    Como: Δθ = θf – θi

    Δθ = 210º – 90º  Δθ = 120º

    Como 360º = 2π (rd)  120º = 2π/3 (rd) = Δθ


Rapidez angular

L.A.M.M.

Rapidez Angular

  • Rapidez (o velocidad) angular: es el desplazamiento angular efectuado en cierto intervalo de tiempo. Se expresa como:

    ω = Δθ/Δt

  • Su unidad de medida en el sistema MKS es el radian/segundos (rd/s)

  • También se puede medir en grados/seg.


Ejemplo8

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Para una circunferencia de 3(cm) de radio, se recorre un arco de 5(cm) en apenas 4(s). ¿Cuánto vale la rapidez angular para este movimiento?

  • Arco/radio = ang (rd)  ángulo = 1,67 (rd)

    Por lo tanto: ω = 1,67(rd) / 4 (s)

    ω = 0,4167 (rd/s)


L.A.M.M.

MCU

  • El Movimiento circular uniforme es aquel en el que la rapidez angular ω es constante.

  • Para este tipo de movimiento rotacional si ω es constante, entonces significa que el cambio en la posición angular es el mismo en iguales intervalos de tiempo.


L.A.M.M.

MCU

  • Por ejemplo si un ventilador de paletas gira con MCU dando 5 vueltas en 0,2 (s):

  • ¿Cuánto vale su periodo y su frecuencia?

  • ¿Cuánto vale su ω?

  • Cuantas vueltas dará en 5 (min)?


Soluci n2

L.A.M.M.

Solución:

  • Como f = nº vueltas / tiempo, entonces:

    f = 5 vueltas / 0,2 (s)  f = 25 (Hz)

    Como T = 1/f  T = 0,04 (s)


Soluci n3

L.A.M.M.

Solución:

b) Como 1 vuelta = 2 π (rd)

Y nos dicen que da una vuelta en 0,04 (s)

Entonces: ω = 2 π (rd) / 0,04 (s)

ω = 157 (rd/s) de aquí se obtiene que: ω = 2 π / T

o bien: ω = 2 π f


Soluci n4

L.A.M.M.

Solución:

c) Como 5 (min) = 300 (s)

Si da 5 vueltas  0,2 (s)

X vueltas  300 (s)

X = 5*300/0,2  X = 7500 vueltas


L.A.M.M.

MCU

  • Como ω es constante y vale: ω = Δθ/Δt

  • Si ti = 0 (s), entonces despejamos:

    ω = Δθ/t  ω*t= Δθ ω*t= θf – θi

    Luego queda: ω*t+ θi = θf

    es la ecuación de la posición para un objeto que se mueve con MCU


Rapidez

L.A.M.M.

Rapidez

  • La rapidez, es como se ha visto antes, la distancia recorrida en cierto intervalo de tiempo.

  • Como en el ejemplo anterior, se recorre un arco de 5 (cm) durante 4 (s), entonces la rapidez es V = 5(cm) / 4 (s)

    Nos queda: V = 1,25 (cm/s)


Rapidez1

L.A.M.M.

Rapidez

  • Es la rapidez con que se recorre la circunferencia (o el arco) durante la rotación.

  • Si V = d/t, entonces en una vuelta completa:

  • V = Perímetro / Periodo

    , o bien:


Cu l es la relaci n entre v y
¿Cuál es la relación entre V y ω?

  • Como ω = 2 π / T

  • Y V = 2 π R /T

  • Al realizar la division V / ω queda:

    V = 2 π R /T V / ω = R

    ω 2 π /T o bien:

    V = ω * R


Ejemplo9

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Calcule la rapidez con que se recorre una circunferencia de radio 20(cm) si el periodo de dicha rotación es de 1,2 (min)

    Como: V = 2πR/T

    V = 125,66 (cm) / 72 (s)

    V = 1,745 (cm/s)


Ejemplo10

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • ¿Cuál es el periodo de un carrusel que gira a 0,1257(m/s) si el radio del mismo es de 3(m)?

    a) 23,866 (s)

    b) 18,85 (s)

    c) 47,73 (s)

    d) 150 (s)

SOLUCION:

2 π R / T = V

Luego: 2 π R / V= T

18,85 (m) / 0,1257 (m/s) = T

T = 149,95 (s) ≈ 150 (s)


Aceleraci n angular
Aceleración angular

  • Aceleración angular es el cambio en la rapidez angular en cierto tiempo. Se designa con la letra α y se expresa como:

    α = Δω / Δt

  • Su unidad de medida en el sistema MKS es el Radián/segundo cuadrado (rd/s^2)


Aceleraci n angular1
Aceleración angular:

  • Por ejemplo: un motor disminuye su frecuencia de 300 rpm a 120 rpm en 15 (s). ¿Cuánto vale la aceleración angular del motor?


Soluci n5
Solución:

  • Inicialmente:

    Como 300 rev 1 (min)

    300 rev  60 (s)

    f = 5 (Hz)

  • Luego como: ω = 2 π f  ω = 10 π (rd/s)


Soluci n6
Solución:

  • Finalmente:

    Como 120 rev 1 (min)

    120 rev  60 (s)

    f = 2 (Hz)

  • Luego como: ω = 2 π f  ω = 4 π (rd/s)


Soluci n7
Solución:

  • Sabemos que:

    α = ωf – ωi / t  α = 4 π – 10 π / 15

    α = – 6 π / 15

    La aceleración angular es α = – 0,4 π (rd/s^2)

    es más bien una desaceleración


L.A.M.M.

MCUA

  • Movimiento Circular Uniformemente Acelerado es aquel en que hay aceleración angular constante.

  • Esto significa que en iguales intervalos de tiempo la rapidez angular cambia en iguales valores.


Ecuaciones del mcua

L.A.M.M.

Ecuaciones del MCUA

  • Como existe aceleración, para cada tiempo hay una velocidad distinta, pero se despeja de la definición de aceleración:

    α = Δω / Δt si ti = 0 (s)

    Queda: α = Δω / t, despejamos

    α*t = ωf – ωi α*t + ωi= ωf

Es la ecuación de la rapidez angular en función del tiempo


Ecuaciones del mcua1

L.A.M.M.

Ecuaciones del MCUA

  • Como sabemos que: ω*t+ θi = θf

  • Pero ω no es constante, por lo que debemos buscar un valor promedio de ω:

    ωprom = ωi+ ωf reemplazamos en la

    2 ecuación anterior

    y queda: ( ωi+ ωf )*t + θi = θf

    2


Ecuaciones del mcua2

L.A.M.M.

Ecuaciones del MCUA

Despejamos ( ωi+ ωf )*t + θi = θf

el paréntesis 2

ωi *t + ωf *t + θi = θf

2 2

Pero como: α*t + ωi= ωf

Queda: ωi *t + (α*t + ωi)*t + θi = θf

2 2


Ecuaciones del mcua3

L.A.M.M.

Ecuaciones del MCUA

Despejamos nuevamente el paréntesis:

ωi *t + (α*t + ωi)*t + θi = θf

2 2

ωi *t + α*t*t + ωi*t + θi = θf

2 2 2

Finalmente sumamos términos semejantes:

α*t^2 + ωi *t + θi = θf

2

Es la ecuación de la posición angular en función del tiempo para un objeto que se mueve con MCUA


Ejemplo11

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • ¿Cuantas vueltas dará una rueda en 5 s , si partiendo del reposo su aceleración angular es de 20 (rad/s^2) .

  • Como:

    α*t^2 + ωi *t + θi = θf

    2

    α*t^2 = Δθ20*25 = Δθ = 250 (rd)

    2 2


Ejemplo12

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Ejemplo:

  • Si Δθ = 250 (rd) es el ángulo barrido

  • Y como:

    2 π (rd) = 1 vuelta

    250 (rd) = X vueltas

    Nos queda que dio: X = 39,788 vueltas.


Cinem tica rotacional cantidades vectoriales

L.A.M.M.

Cinemática Rotacional(cantidades vectoriales)

Loreto A. Mora Muñoz

LPSA

Viña del Mar


Sistema de coordenadas

L.A.M.M.

Sistema de Coordenadas.

  • Las cantidades vectoriales tienen módulo, dirección y sentido, por lo que necesitamos un sistema de referencia para poder indicar las variables vectoriales en el Movimiento Circular.

  • En este caso se utiliza un sistema de coordenadas que es longitudinal y transversal a la posición del objeto.


La posición (vector) no esconstanteporquesudirecciónestácambiando!!!!!

En estoscasosesmásconveniente no usar un sistema de coordenadasfijosinousarcoordenadas longitudinal (paralelo al vector R) y transversal (perpendicular al vector R).


Vector velocidad

L.A.M.M.

Vector Velocidad.

  • Como sabemos velocidad es cambio de posición en cierto tiempo, por tanto:

    Para todo el movimiento circular habrá velocidad puesto que siempre hay cambio de posición (vector).

  • La velocidad siempre es tangente a la trayectoria, por lo tanto es perpendicular a R.


Velocidad vector

L.A.M.M.

Velocidad (vector)

  • Este valor de V (vector) es constante si el movimiento es MCU (con ω constante).

  • V vale:


Aceleraci n

L.A.M.M.

Aceleración.

  • Existen dos tipos de aceleración:

    centrípeta ( o radial)

    tangencial (perpendicular a R)

  • Cuando el movimiento es MCU, la velocidad de la partícula permanece constante, y por lo tanto, la partícula no posee aceleración tangencial, pero como la dirección del vector velocidad varia continuamente, la partícula posee aceleración centrípeta.


Aceleraci n1

L.A.M.M.

Aceleración.

  • Demostración: tomemos un cambio pequeño (ángulo de 8º) para el MCU.


Aceleraci n2

L.A.M.M.

Aceleración.

  • Demostración: si restamos geométricamente los vectores Vf y Vi, nos queda en verde la dirección de la aceleración centrípeta:

    ac = ΔV/Δt

    Se llama centrípeta porque

    apunta hacia el centro de la circunferencia


Aceleraci n centr peta

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Aceleración centrípeta.

  • El valor de la aceleración centrípeta es:

    y como: V = ω * R ,


Aceleraci n centr peta1

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Aceleración centrípeta.

  • La magnitud de la aceleración centrípeta es constante. Sólo su dirección (y sentido) cambian durante la rotación, puesto que siempre apunta al centro de la circunferencia.


Ejemplo13

L.A.M.M.

Ejemplo:

  • Para una esfera que rota en una circunferencia de radio 50 (cm) se sabe que su rapidez angular es de 3 (rd/s).

    a) ¿Cuánto vale su aceleración centrípeta?

    b) ¿Cuánto vale su rapidez tangencial?

    c) ¿Cuánto vale el periodo de rotación?


Soluci n8

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Solución:

  • Como Ac = ω^2 * R

    Entonces: Ac = 9 * 0,5  Ac = 4,5 (m/s^2)

    b) Como Ac = V^2  √(Ac * R) = V

    R

    V = 1,5 (m/s)


Soluci n9

L.A.M.M.

Solución:

c) Sabemos que V = 2 π R T

Entonces: T = 2 π R

V

 T = 2 π 0,5 (m)

1,5 (m/s)

T = 2,094 (s)


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