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INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computação. Parte I - Elementos básicos: 1. Lógica Matemática 2. Conjuntos e subconjuntos - Operações sobre conjuntos 3. Indução e recursão 4. Números inteiros - Divisão nos inteiros, inteiros módulo n

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INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computação

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Ine5381 fundamentos matem ticos da computa o

INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computação

Parte I - Elementos básicos:

1. Lógica Matemática

2. Conjuntos e subconjuntos

- Operações sobre conjuntos

3. Indução e recursão

4. Números inteiros

- Divisão nos inteiros, inteiros módulo n

5. Matrizes

6. Seqüêncas e somas


Matrizes

Matrizes

  • Matrizes são usadas para representar relações entre elementos de conjuntos.

    • Exemplo: redes de comunicações

  • Definição: uma matriz é uma tabela numérica arranjada em um número m de linhas e um número n de colunas.


Matrizes1

Matrizes

  • A i-ésima linha de A é:

  • A j-ésima coluna de A é:


Matrizes nota es e terminologia

Matrizes – Notações e terminologia

Amxn: matriz A com m linhas e n colunas

Anxn: matriz quadrada de tamanho n

: diagonal principal de A

aij: elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A

[aij]: denota uma matriz A onde a dimensão está definida


Exemplos de matrizes

Exemplos de matrizes


Matrizes2

Matrizes

Definição: Uma matriz quadrada A=[aij] em que todos elementos fora da diagonal são iguais a zero, isto é, aij=0 para ij, é chamada de matriz diagonal.

Exemplos:


Matrizes3

Matrizes

Definição: Duas matrizes mxn A=[aij] e B=[bij] são ditas iguais se aij=bij para 1im e 1jn.

Exemplo:

  • A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.


Aritm tica de matrizes

Aritmética de matrizes

Def.: Se A=[aij] e B=[bij] são duas matrizes mxn, então a soma de A e B é a matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por:

cij = aij + bij (1im , 1jn)

Exemplo:


Aritm tica de matrizes1

Aritmética de matrizes

Definição: Uma matriz cujos elementos são todos nulos é chamada de matriz nula e é denotada por 0.

Exemplos:


Propriedades da soma de matrizes

Propriedades da soma de matrizes

Teorema:

a) A + B = B + A

b) (A + B) + C = A+ (B + C)

c) A + 0 = 0 + A = A


Aritm tica de matrizes2

Aritmética de matrizes

Def.: Se A=[aij] é uma matriz mxp e B=[bij] é uma matriz pxn, então o produto de A e B (AxB) é a matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por:


Produto de matrizes

Produto de matrizes

Exemplo:


Propriedades do produto de matrizes

Propriedades do produto de matrizes

  • As propriedades básicas do produto de matrizes são dadas pelo seguinte teorema:

  • Teorema:

a) A(BC) = (AB)C

b) A(B + C) = AB + AC

c) (A + B)C = AC + BC

  • Note que, dadas duas matrizes Amxp e Bpxn, então A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer:

1. o produto B.A pode não ser definido

2. (m=n) e B.A é definida  mas A.B  B.A (tamanho)

3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B  B.A

4. A.B = B.A


Propriedades do produto de matrizes1

Propriedades do produto de matrizes

Exemplos:


Multiplica o de matrizes

Multiplicação de matrizes

Questão: quantas operações são necessárias para calcular o produto Cmxn de duas matrizes Amxp e Bpxn?

Resp.:- Há mxn elementos no produto de Amxp e Bpxn

- Para encontrar cada elemento são necessárias p (x) e p (+)

- Logo, um total de m.n.p (x) e m.n.p (+) são usadas.

Questão: Em que ordem as matrizes A1(30x20), A2(20x40) e A3(40x10) devem ser multiplicadas (matrizes de inteiros) para usar o menor no possível de operações?

  • A1(A2A3)  20.40.10 para obter a matriz 20x10 A2A3+ 30.20.10 para multiplicar por A1 = 14000

  • (A1A2)A3 30.20.40 + 30.40.10 = 36000 (!)


Matriz identidade

Matriz identidade

  • Definição: a matriz diagonal nn na qual todos os elementos da diagonal são 1’s é chamado de matriz identidade de ordem n e é denotada por In.

  • Nota: se A é uma matriz mn, vale:

    Im.A = A.In = A


Pot ncias de matrizes

Potências de matrizes

  • Pode-se definir potências de matrizes quadradas.

  • Se A é uma matriz quadrada nxn, temos:

Ap = A.A...A

p vezes

onde: A0 = In

  • Também se pode provar as leis de exponenciação:

ApAq = Ap+q

(Ap)q = Ap.q


Matrizes transpostas

Matrizes transpostas

Definição: Se A é uma matriz mxn, então a matriz nxm:

onde:

é chamada de transposta da matriz A.

Exemplos:


Propriedades de matrizes transpostas

Propriedades de matrizes transpostas

a) (At)t = A

Teorema: Se A e B são matrizes, então:

b) (A+B)t = At + Bt

c) (A.B)t = Bt.At

Definição: Uma matriz A=[aij] é chamada simétrica se At=A

  • se A é simétrica, A deve ser uma matriz quadrada.

Exemplo:


Matrizes booleanas

Matrizes booleanas

  • Matrizes constituídas apenas de zeros e 1’s são frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas (como as relações - parte II).

Definição: Uma matriz booleana é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns.

Exemplo:


Opera es com matrizes booleanas

Operações com matrizes booleanas

Def.: sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes booleanas,

1) AB=C=[cij] é a junção de A e B, dada por:

2) AB=D=[dij] é o encontro de A e B, dado por:

Note que A e B devem ter o mesmo tamanho


Opera es com matrizes booleanas1

Operações com matrizes booleanas

Exemplo: Calcule a junção e o encontro de:

Solução:


Opera es com matrizes booleanas2

Operações com matrizes booleanas

Def.: Sejam as matrizes booleanas A=[aij] (mxp) e B=[bij] (pxn). O produto booleano de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por:

cij = (ai1b1j)  (ai2b2j)  ... (aipbpj)

  • Denota-se este produto por AB

  • Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que:

- a adição é substituída por 

- a multiplicação é substituída por 


Produto booleano

Produto booleano

Exemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde:

Note que #-colunas de A deve ser = #-linhas de B


Opera es com matrizes booleanas3

Operações com matrizes booleanas

Teorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então:

1)a) A  B = B  Ab) A  B = B  A

2)a) (A  B)  C = A  (B  C) b) (A  B)  C = A  (B  C)

3)a) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) b) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

4)A  (B  C) = (A  B)  C


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