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材料电子显微分析

材料电子显微分析. 7. 倒易点阵. 燕山大学 材料电子显微分析. 本节开始，我们用 4 节课，来讲“晶体衍射学基础”的内容。

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  1. 材料电子显微分析 7. 倒易点阵 燕山大学 材料电子显微分析

  2. 本节开始，我们用4节课，来讲“晶体衍射学基础”的内容。本节开始，我们用4节课，来讲“晶体衍射学基础”的内容。 射线照射到晶体上，产生相干散射和非相干散射。相干散射中，干涉加强的散射波即为衍射波。由于晶体中原子（即散射体）呈周期性排布，故衍射波在空间的分布（衍射花样）与晶体中原子排布规律相关。所以，每种晶体产生的衍射花样都反映该晶体内部的原子排布规律——晶体结构。概括地讲，衍射花样的特征包含2方面的内容：1. 衍射几何。即衍射线在空间的分布规律。它由晶体的晶胞大小、形状和位向决定。2. 衍射强度。由原子的种类和它们在晶胞中的位置及晶体的不完整性决定。

  3. 衍射几何包括： • 1. 倒易点阵(Reciprocal lattice)：为了方便理解衍射而引入 • 2. 衍射必要条件（衍射几何条件） 布拉格定律（Bragg’s Law） 衍射条件的矢量方程——劳厄(Laue )方程 衍射条件图解法——厄瓦尔德(Ewald)图解 衍射强度包括： • 3. 结构因子、系统消光与倒易阵点权重 • 4. 晶体散射强度与衍射积分强度 这些内容分四节讲授，本节（第7节）讲“倒易点阵”。 燕山大学 材料电子显微分析

  4. 7.1 倒易点阵的定义 随着晶体学的发展，为了更清楚地说明晶体衍射现象和晶体物理学方面的某些问题，厄瓦尔德(P.P. Ewald)在1920年引入了倒易点阵的概念。 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照一定的对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。其所以被称为倒易点阵，是因为它的许多性质与晶体点阵存在着倒易关系。为了便于区别，有时将晶体点阵称为正点阵。利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射问题，能使几何概念更清楚，数学推演更简化。我们所观察到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易阵点的投影。可见，衍射花样是倒易空间的形象。所以，从这个意义上讲，倒易点阵本身就具有衍射属性。

  5. 7.1 倒易点阵的定义 设有一正点阵S＝S(a,b,c)，由3个基矢a、b、c来描述。现引入另一点阵S*＝S*(a*,b*,c*)，由3个新的基矢a*、b*、c*来描述，并满足如下关系： a*  b = a* c = b* a = b* c = c*  a = c* b = 0 (7-1) a* a = b* b = c*  c =1 (7-2) 则把点阵S*称为正点阵S的倒易点阵。 这个基本关系给出了倒易基矢量的方向和长度。由式(7-1)可知，a*垂直于b、c构成的平面，即a*垂直(100)晶面。同理，b*垂直于(010)，c*垂直于(001)。给出了倒易基矢的方向 设、、分别为a*与a、b*与b、c*与c之间的夹角。由式(7-2)可得：

  6. (7-3) (7-4) 给出了倒易基矢的大小 7.1 倒易点阵的定义 a*·acos=b*·bcos=c*·ccos =1，则 右图示出a*与正点阵的关系。其中OP为a在a*上的投影，同时也是b和c构成的晶面(100)的晶面间距d100，故 OP= acos=d100。同理bcos=d010，ccos =d001。代入式(7-3)得： 以上分别给出了倒易基矢的方向和大小——标量形式

  7. 7.1 倒易点阵的定义 倒易基矢的方向和长度还可以用统一的矢量方程来表达。 由式(7-1)：a*垂直于b和c，故a*∥(bc)，设a*＝1(bc)。 由式(7-2)：a* a＝11(bc)a=1。又(bc)a为正点阵单胞的体积V，因此，a* a＝1V＝1，那么1＝1/V，所以

  8. 7.2倒易点阵与正点阵的倒易关系 根据倒易点阵的定义关系式(7-1)和(7-2)可知，倒、正点阵的基矢是完全对称的。故实际上它们之间是互为倒易的关系，即S是S*的倒易点阵，那么，倒易点阵的倒易点阵即为正点阵。按此道理，可以得到如下关系： V*——倒易点阵单胞体积。

  9. VV*=1 (7-8) 下面推导倒、正点阵参数中基矢夹角之间的关系： 设、、分别为b和c、c和a、a和b之间的夹角； *、*、*分别b*和c*、c*和a*、a*和b*之间的夹角。则有 ，将式(7-5)代入，得 7.2倒易点阵与正点阵的倒易关系 由式(7-5)和(7-7)：

  10. 7.2倒易点阵与正点阵的倒易关系 同理可求得cos*和cos* 的表达式，共同列为下式： (7-9) 上面的所有倒正点阵间的关系式是普遍适用的，对三斜以外的晶系均可简化。

  11. 7.3 倒易矢量的性质 从倒易点阵原点向任意一个倒易阵点所连接的矢量称为倒易矢量，用符号r*表示。设 r*=Ha*+Kb*+Lc* (7-10) 式中H、K、L为整数。 该倒易矢量具有以下2个基本性质： 1.倒易矢量r*垂直于正点阵中的(HKL)晶面。r*⊥(HKL) 2.倒易矢量长度r*等于(HKL)晶面间距dHKL的倒数。r*=1/dHKL 下面证明以上两个性质。

  12. 7.3 倒易矢量的性质 如右图，ABC为HKL面族中靠近原点的晶面，则它在坐标轴上的截距为： (7-11) (7-12) 将式(7-10)的两端分别乘以(7-11)和(7-12)的两端，得 r*同时垂直于 和 ，那么r*(HKL)晶面 

  13. 7.3倒易矢量的性质 用n代表r*方向的单位矢量， n = r*/r*。ON为HKL面间距dHKL。由于ON是 在r*上的投影，所以 则 r*=1/dHKL(7-13) 从倒易矢量的基本性质可看出，如正点阵与倒易点阵有共同的坐标原点，则正点阵中的晶面在倒易点阵中可用一个倒易阵点来表示。倒易阵点的指数用它所代表的晶面的指数标定。晶体点阵中晶面取向和晶面间距这两个参数在倒易点阵中只用倒易矢量一个参数就能综合地表示出来。

  14. 7.3 倒易矢量的性质 利用这种对应关系，可由任何一个正点阵建立起一个相应的倒易点阵，反过来，由一个已知的倒易点阵运用同样的对应关系又可以重新得到原来的晶体点阵。例如，图(a)中画出了(100)及(200)晶面族所对应的倒易阵点；图(b)是单斜晶体点阵中ac面的4个阵胞，b与图面垂直，虚线表示它的倒易点阵。若将b轴方向的倒易点阵平面也画出，就可以得到一个倒易空间点阵。 前面讲的是第7节——倒易点阵，下面将讲第8节——衍射必要条件。

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