第 1 章 随机事件及其概率

1. 本章介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条本章介绍随机事件与概率、古典概型与几何概型、条 件概率与乘法公式等概率论中最基本、最重要的概念和概率计算方法． 1.1 随机事件与样本空间 1.2 随机事件的概率 第1章 随机事件及其概率 1.3 条件概率与乘法公式 1.4 全概率公式和贝叶斯公式 1.5 事件的独立性

2. 1.1 随机事件与样本空间 教学要求： 1.了解样本空间的概念; 2. 理解随机事件的概念; 3. 掌握事件之间的关系与运算.

4. 这里所说的实验，包括对自然现象的观察以及各种这里所说的实验，包括对自然现象的观察以及各种 各样的科学实验，比如： E1：将一枚硬币抛两次，观察正、反面出现的情况. E2：记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数. E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命. E4：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.

5. 以上这些实验都具有一些共同的特征： (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果不止一个，且在试验前 能知所有可能结果; (3)每次试验总是出现这些可能结果中的一个且 只出现一个，但在一次试验之前，却不能确 定会出现哪一个结果. 具有上述三个特征的实验称为随机试验，简称为 试验，记为E .试验目的决定试验结果。

6. 样本空间: 随机实验E的所有可能结果组成的集合,记为S. 样本点: 样本空间的元素,即E的每个结果, 随机事件(事件): 随机实验E的样本空间S的子集即样本点的集合. 一般用A、B、C等表示.在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件.

7. ex1. 写出下列试验的样本空间 (1)投掷两枚硬币，观察正、反面向上情况; (2)从包含两件次品（a1, a2）和三件正品（b1, b2, b3） 的五件产品中，任意取出两件; (3)一分钟内，观察某电话交换台接到的呼唤次数; (4)在一批灯泡中，任取一只，观察其使用寿命. (1) S={（正正）（正反）（反正）（反反）} Solution. (2) S={a1a2, a1b1, a1b2, a1b3, a2b1, a2b2, a2b3, b1b2, b1b3, b2b3} (3) S={0, 1, 2, 3, ……} (4)S={ωt: 0≤t≤T} ωt表示灯泡的使用寿命为t小时

8. ex2.E：在0，1，2，…，9十个数字中任意选取 一个，记录其结果. Solution. “取得一个数是0” “取得一个数是1” …… “取得一个数是9” “取得一个数是奇数” “取得一个数是大于4的数” “取得一个数是小于10的数” “取得一个数是大于10的数”

9. 基本事件：在一定条件下一定范围内不可能再分解基本事件：在一定条件下一定范围内不可能再分解 的事件. 复合事件：由多个基本事件组成的事件. 必然事件：实验中必然发生的事件，记为S. 不可能事件：实验中不可能发生的事件，记为. 必然事件与不可能事件是确定性现象， 为了讨论问题方便，把它们看作特殊的随机事件.

10. 1. 事件的包含与相等 若“事件A发生必然导致事件B发生”，则称事件B包含 事件A，记为 此时称A是B的子事件. 如果事件B不发生，则事件A必然不发生. 如ex2中，令A=“取得一数为4的倍数” B=“取得一数为偶数”

11. 2. 事件的和(或并) “两个事件A、B中至少有一个发生”的事件， 称为A与B的并，记为 如ex2中令A=“取得一数为奇数” B=“取得一数大于5” 显然有:

12. 3. 事件的积 (或交) “两个事件A、B同时发生”的事件，称为A与B的交， 记为 如ex2中令A=“取得一数为奇数” B=“取得一数大于5” 显然有:

13. 4. 事件的差 “事件A发生而事件B不发生”的事件，称为A与B的差, 记为 如ex2中令A=“取得一数为奇数” B=“取得一数大于5” 对任一事件A有:

14. 5. 事件互不相容(或互斥) 若AB = , 即事件A与事件B不能同时发生,或事件 A与事件B没有相同的样本点, 则称事件A与B互斥(或 互不相容). 如必然事件S与不可能事件 是互斥的。 在同一个试验 中，基本事件是两两互斥的。 如ex2中“取得一数是0”与 “取得一数是1”是互斥的. 如果事件A1、A2、…，两两互斥，则称A1、A2、… 互斥(可以是有限个事件或可列无穷多个事件).

15. 判断1：若 ，则A1, A2 ,…，An 互斥. 错误 而 不能保证A1, A2 ,…，An 中任意两个事件都互斥. 注意n个事件A1, A2 ,…，An互斥的定义是： 若n个事件A1，A2，… ，An中任意两个事件都互斥，则称这n个事件互斥.

16. 正确 判断2：若A1, A2 ,…，An互斥，则其中任意k个 事件互斥(2≤ k ≤n). 由n个事件A1, A2 ,…，An互斥的定义： 若n个事件A1, A2 ,…，An中任意两个事件都互斥，则称这n个事件互斥. 这是显然的！

17. 6. 对立(或逆)事件 即两事件A、B必发生其一,且仅发生其一. 表示“A不发生” . 对任一事件A有: 可知,对立事件一定互斥, 而互斥事件不一定是对立事件.

18. 7. 事件的运算规律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 (4) 吸收律 (5) 德摩根律(对偶公式) 推广：

19. ex3. 在分别标有1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中 任抽一张，设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”， 事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为 “抽得标号为奇数的卡片”，试用样本点表示下列事件： Solution. S={1,2,3,4,5,6,7,8} A={1,2,3,4} B={2,4,6,8} C={1,3,5,7}

20. ex4.投掷一枚硬币10次，问下列事件A的逆事件是怎样ex4.投掷一枚硬币10次，问下列事件A的逆事件是怎样 的事件？ （1）至少有6次出现正面；（2）至多有6次出现正面； （3）不出现反面；（4）至少有2次出现反面。 Solution.

22. ex5.设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件ex5.设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件 用A、B、C表示出来： (1)A1：三个事件都发生； (2)A2：A发生而B、C不发生； (3)A3：三个事件中恰有一个发生； (4)A4：三个事件中至少有一个发生； (5)A5：三个事件都不发生； (6)A6：三个事件中不多于两个发生. Solution. (1)依事件的交的定义，有 (2)依事件的差的定义，有 又注意到A发生而B、C不发生，就是 都发生，所以又有

23. (3) A、B、C中恰有一个发生，就是指或者A发生而 B、C不发生，或者B发生而A、C不发生，或者C 发生而A、B不发生，所以 (4)从事件的和的定义有 也可以这样来理解：三个事件中至少有一个发生， 意思是说或者三个事件中恰有一个发生，或者三 个事件中恰有两个发生，或者三个事件都发生. 故 都发生，于是 (5) A、B、C都不发生，相当于 另外A、B、C都不发生, 也相当于事件A4不发生, 所以

24. (6)三个事件中不多于两个发生，就是指或者三个事件(6)三个事件中不多于两个发生，就是指或者三个事件 中恰有两个发生，或者三个事件中恰有一个发生， 或者三个事件都不发生，于是 也可以这样来理解：三个事件中不多于两个发生， 就是指 这三个事件中至少有一个发生，所以 还可以这样来分析：三个事件中不多于两个发生， 相当于说，三个事件不能同时发生，从而

25. ex6.一个工人生产了3件产品，以Ai(i=1,2,3)表示第i件ex6.一个工人生产了3件产品，以Ai(i=1,2,3)表示第i件 产品是正品，试用Ai表示下列事件： (1)没有一个产品是次品； (2)至少有一个产品是次品； (3)恰好有一个产品是次品； (4)至少有两个产品不是次品. Solution.

26. ex7. 化简下列事件: Solution.

27. ex8. 设 A，B为随机事件，证明： (1) A-B=A-AB (2) 

29. ex9.下列命题是否正确？  A，B至少有一个不发生 A，B均不发生  A A ∪B 解 不正确. B -A

30. 特别地， 从而 √ 解 正确. =

31. 练习题

32. 解： 其余三个答案不对的原因是：

33. 符号 集合含义 事件含义 S全集 样本空间，必然事件 Φ空集 不可能事件 ω∈S集合的元素 样本点 {ω} 单点集 基本事件 A S一个集合 一个事件 A B A的元素在B中 A发生导致B发生 A=B 集合A与B相等 事件A与B相等 A∪B A与B的所有元素 A与B至少有一个发生 A∩B A与B的共同元素 A与B同时发生 Ā A的补集 A的对立事件 A-B 在A中而不在B中的元素 A发生而B不发生 A∩B=φA与B无公共元素 A与B互斥

34. 附：排列组合知识复习 • 1.加法原理与乘法原理 • 加法原理：若完成某一工作有k种方式，第一种方式中有n1个方法，第二种方式中有n2个方法，…，第k种方式中有nk个方法。这些方法都不相同，无论通过其中哪一个方法都可以完成这一工作，则完成这一工作共有 • N=n1+n2 +…+nk • 个不同的方法。 • 乘法原理：若完成某一工作可分成k个步骤，第一步有n1种方法，第二步有n2种方法，…，第k步有nk种方法。各步骤连续进行时，这一工作才可以完成，则完成这一工作共有 • N=n1×n2 ×…×nk • 种不同的方法。

35. 如果一件工作分几种方法独立完成， • 用加法原理计算所用方法总数。 • 若一件工作分几步连续完成， • 用乘法原理计算完成这件工作的方法总数。

36. 2.排列 • 选排列与全排列 • 从n个不同的元素里，任意取出r个不同的元素(1≤r≤n)，按一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出r个不同元素的一种排列，用 表示。 • r≤n的排列总数为：

37. 当r＜n时，称这样的排列为从n个不同元素中取出r个不同元素的选排列。当r＜n时，称这样的排列为从n个不同元素中取出r个不同元素的选排列。 • 当r=n时，n个元素全部取出进行排列，叫做全排列，记作Pn。 • 允许重复选取的排列 • 从n个不同元素里每次有放回地任取1个元素，共取r次，按先后选取顺序排成一列，称为从n个不同元素中允许重复地取出r个元素的排列，其排列总数为nr。

38. ex1: 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个 组成五位数,问共能组成多少个五位数? 解： 从六个不同数中任取五个组成五位数, 相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因 此,所有可能组成五位数共有

39. 4,可先选末位数,共 种,前三位数的选取方法有 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为 ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个，问能组成多少个四位偶数? 解： 组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或

40. 3.组合 从n个不同元素中，每次取出r个元素，不管它们之间的顺序，合为一组，叫做从n个元素中每次取出r个元素的组合，组合总数记作

41. （种）。 ex3. 从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？ 解: 按组合的定义，组队方法共有 重复组合 • 从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合称为重复组合。此种重复组合总数为

42. 1.2 随机事件的概率 教学要求： 1. 了解概率的定义; 2. 掌握概率的基本性质; 3. 应用性质进行概率计算.

44. 引言 有些随机事件发生的可能性大些，有些随机事件的 的可能性小些。在实际中常常希望知道某些事件在 一次试验中发生的可能性究竟有多大。 概率是事件发生可能性的数量指标，定量地刻画 随机事件发生的大小。

45. 一、概率的统计定义 1. 事件的频率 定义: 性质:

46. 表 1

47. 从大量的试验记录中可以看到，在多次重复试验中，从大量的试验记录中可以看到，在多次重复试验中， 同一事件发生的频率并不完全相同，但却在一个固 定的数值附近摆动，而呈现出一定的稳定性，而且 随着重复试验次数的增加，这种现象愈加显著.频 率的这种稳定性，揭示出一个随机事件发生的可能 性有一定大小可言.频率稳定在较大的数值附近， 表明相应的事件发生的可能性较大，频率稳定在较 小的数值附近，表明相应的事件发生的可能性较小. 而频率所接近的这个固定数值，就可作为相应事件 发生的可能性大小的一个客观量的度量，即统计概 率.

48. 2. 概率的统计定义

49. ex1.从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池ex1.从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池 中，现从该池中任意捉来40条鱼，发现其中两条 有记号，问池内大约有多少条鱼？ 设池内有n条鱼，则从池中捉到一条有记号 鱼的概率为 Solution. 它近似于抓到有记号鱼的频率

50. 二、概率的公理化定义 1. 定义