Public key cryptosystem
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公開金鑰密碼系統 Public Key Cryptosystem. Public key ▽ Plaintext 明文 → Encrypt 加密 ↖ ↘ Decrypt 解密 ← Ciphertext 密文 △ Private key 最廣泛使用的 PKC: RSA (Rivest – Shamir – Adleman 1977) 逐漸受重視的 PKC: ECC ( 橢圓曲線 Elliptic Curve Cryptosystem). 私密金鑰 與 公開金鑰. 容易計算 私密金鑰 公開金鑰

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公開金鑰密碼系統 Public Key Cryptosystem

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Presentation Transcript


Public key cryptosystem

公開金鑰密碼系統Public Key Cryptosystem

Public key

Plaintext 明文 →Encrypt 加密

↖ ↘

Decrypt 解密←Ciphertext 密文

Private key

最廣泛使用的 PKC:RSA (Rivest – Shamir – Adleman 1977)

逐漸受重視的 PKC: ECC (橢圓曲線 Elliptic Curve Cryptosystem)


Public key cryptosystem

私密金鑰 與 公開金鑰

容易計算

私密金鑰 公開金鑰

Private Key非常困難  Public Key

藉由數學工具達成此目的       


Public key cryptosystem

RSA方法

  • RSA加密演算法是一種非對稱加密演算法,在1977年由Ron Rivest、Adi Shamir與Leonard Adleman一起提出的。當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。

  • 如果你想和別人祕密通訊,那麼你可以先選定兩個非常巨大的質數p,q作為私鑰(private key,解密用的),然後將p,q的乘積作為加密用的公鑰 (public key),你可以把公開鑰匙公佈出去。別人要傳一封密函給你,他必需要先得到你的公鑰,按照一個約定的方法將信件加密後送出。你在收到密函後,再用你的私鑰就可以解出密函原文。

  • RSA演算法的可靠性基於分解極大的整數是很困難的。假如有人找到一種很快的分解因子的演算法的話,那麼用RSA加密的資訊的可靠性就肯定會極度下降。但找到這樣的演算法的可能性是非常小的。

  • 今天只有短的RSA鑰匙才可能被強力方式解破。到2008年為止,世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA演算法的方式。只要其鑰匙的長度足夠長,用RSA加密的資訊實際上是不能被解破的。


Definition

Definition

  • For n1,(n) ---小於或等於n且跟互質n的正整數個數.

  • (1)=1, (2)=1, (3)=2, (4)=2, (5)=4, (6)=2, (7)=6, (8)=5

  • (n)= n -1 if and only if n is prime.


Theorem

Theorem

  • If the integer n>1 has the prime factorization n=p1k1p2k2…prkr, then


Theorem euler

Theorem (Euler)

  • 給定正整數n與整數a且gcd (a,n)=1, 則a(n) 1 (mod n).

  • Fermat’s little theorem:

  • 令為p質數且a與p互質,則ap-1 1(mod p).


Example

Example

  • Find the last two digits of 3256

  • 100=2252

  • (100)=100(1-1/2)(1-1/5)=40

  • 340 1 (mod 100)

  • 3256(340)6316316 (mod 100)

  • 316 814

     (-19)4  3612  612 21(mod 100)


Public key cryptosystem

RSA方法

  • Alice隨意選擇兩個大的相異質數p和q,並計算出n=pq。

  • 任選擇一個小於(p-1)(q-1)且與(p-1)(q-1)互質的整數E,並計算出d使得Ed ≡ 1 (mod (p-1)(q-1))。

  • n和E是公鑰,公開給大眾的。d是私鑰,只有Alice知道。

  • 假設Bob想給Alice送一個隱密的消息M,他先將M轉換為一個小於n的整數P,比如他可以將每一個字轉換為這個字的unicode碼,然後將這些數字連在一起組成一個數字。假如他的資訊非常長的話,他可以將這個資訊分為幾段,然後將每一段轉換為P。利用公鑰N和E及PE  C(mod n)這個式子將P加密為C。

  • Bob算出C後就可以將它傳遞給Alice。

  • Alice得到Bob的訊息C後就可以利用她的私鑰d及式子Cd  P (mod n)來解碼還原成P。


Public key cryptosystem

如何產生公鑰E和私鑰d

  • Alice隨意選擇兩個大的相異質數p和q,並計算出n=pq。

  • 任選擇一個小於(p-1)(q-1)且與(p-1)(q-1)互質的整數E,並計算出d使得Ed ≡ 1 (mod (p-1)(q-1))。

  • n和E是公鑰,公開給大眾的。d是私鑰,只有Alice知道。

  • 依需求找出兩相異質數 。 假設是p=47,q=59

  • 則n=pq=47 * 59=2773 且 b=(p-1)(q-1)=2668

  • 從與與b互質的整數中依需求找出E,假設找出的E= 157

  • 求出Ex1(mod b)的解。最小正整數解即為私鑰d= 17。


Public key cryptosystem

加密

假設Bob想給Alice送一個隱密的消息M,他先將M轉換為一個小於n的整數P,比如他可以將每一個字轉換為這個字的unicode碼,然後將這些數字連在一起組成一個數字。假如他的資訊非常長的話,他可以將這個資訊分為幾段,然後將每一段轉換為P。利用公鑰N和E及PE  C(mod n)這個式子將P加密為C。

  • 假設Bob想給Alice送一個隱密的消息M=3。此時P=M=3

PE  3157 (9)78·3(mod 2773)

 (81)39·3(mod 2773)

 (6561)19·81·3(mod 2773)

 (1015)19·81·3(mod 2773)

 (1030225)9·1015·81·3(mod 2773)

 (1442)9·1015·81·3(mod 2773)

 441(mod 2773)


Public key cryptosystem

解密

  • Bob利用公鑰N和E及PE  C(mod n)這個式子將P加密為C。

  • Alice如何還原出P。

  • n為兩個相異質數p和q的乘積,E為小於且互質於b=(p-1)(q-1)的整數。

  • 找出Ex1(mod b)的解。最小正整數解即為私鑰d。

  • 尤拉定理(Euler Theorem)告訴我們對所有與n互質的正整數a皆有ab 1 (mod n).

  • 所以Cd  (PE)d  PEd  Pb+1 P (mod n)


Public key cryptosystem

RSA方法

  • Alice隨意選擇兩個大的相異質數p和q,並計算出n=pq。

  • 任選擇一個小於(p-1)(q-1)且與(p-1)(q-1)互質的整數E,並計算出d使得Ed ≡ 1 (mod (p-1)(q-1))。

  • n和E是公鑰,Alice將它們公開給大眾。d是私鑰,只有Alice知道。

  • Bob將隱密的消息M分為幾段使得每段皆為小於n的整數P。然後他利用PE  C(mod n)這個式子將P加密為C。

  • Bob算出C後就可以將它傳遞給Alice。

  • Alice得到Bob的訊息C後就可以利用她的私鑰d及式子Cd  P (mod n)解碼。


Example1

Example

  • Alice找出兩相異質數 p=29,q=41

  • 則n=pq=29 * 41=1189 且 b=(p-1)(q-1)=1120

  • 從與與b互質的整數中依需求找出E= 101

  • 求出Ex1(mod b)的解。最小正整數解即為私鑰d= 621。


Example2

Example

  • Alice找出兩相異質數 p=29,q=41

  • 則n=pq=29 * 41=1189 且 b=(p-1)(q-1)=1120

  • 從與與b互質的整數中依需求找出E= 101

  • 求出Ex1(mod b)的解。最小正整數解即為私鑰d= 621。

  • 假設Bob想給Alice送一個隱密的消息M=90。此時P=M=90

  • 他利用PE  C(mod n)這個式子將P加密為C。


Example3

Example

  • 他利用PE  C(mod n)這個式子將P加密為C=582。

    90101 (902)50·90(mod 1189)

     (966)50·90(mod 1189)

     (9662)25·90(mod 1189)

     (980)25·90(mod 1189)

     (9802)12·980·90(mod 1189)

     582 (mod 1189)


Example4

Example

  • Alice找出兩相異質數 p=29,q=41

  • 則n=pq=29 * 41=1189 且 b=(p-1)(q-1)=1120

  • 從與與b互質的整數中依需求找出E= 101

  • 求出Ex1(mod b)的解。最小正整數解即為私鑰d= 621。

  • 假設Bob想給Alice送一個隱密的消息M=90。此時P=M=90

  • 他利用PE  C(mod n)這個式子將P加密為C=582 。

  • Alice得到Bob的訊息C=582後就可以利用她的私鑰d = 621及式子Cd  P (mod n)解碼。


Example5

Example

  • Alice得到Bob的訊息C=582後就可以利用她的私鑰d = 621及式子Cd  P (mod n)解碼。

    582621 (5822)310·582(mod 1189)

     (1048)310·582(mod 1189)

     (10482)155·582(mod 1189)

     (857)155·582(mod 1189)

     (8572)77·857·582(mod 1189)

     90 (mod 1189)


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RSA加密的實例

選擇 p = 241 , q = 311

計算 n = p×q = 74951

計算ψ(n)= 240×310 = 74400

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)e = 1033, d = 3097

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

用公開的 (e, n),將其要傳遞的明文 m 加密為 c = m e mod n

有秘密的 d 值,就可解開密文c d mod n = m ed mod n = m


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RSA 的安全性

  • 分解 (Factoring):

    • 如果能將 n 分解成兩個質數, 就能計算 (n) 及 d=e-1 mod (n).

    • 因此, 破 RSA 不會比 integer factoring (整數分解) 難.

    • 然而, 要分解一個 160-digit 的數並不容易

    • 最有效率的演算法需要 O(21/3(log n loglog n)) 的時間來分解 n.


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  • 暴力法

    • 試所有的 private keys

    • 需要 O(d) 的時間

    • 因此 d 應該要夠大, 例如 >sqrt(n)

  • Mathematical attacks:

    • 分析 n 的結構找 p 和 q

    • 選擇好的質數(強質數)

      • p-1 和 q-1 要有大的質因數

      • gcd(p-1, q-1) 要小


Digital signature

數位簽章Digital Signature

* 秘密性 (confidentiality)* 身份鑑別性 (Authentication)

* 完整性 (Integrity)* 不可否認性 (Non-Repudiation)


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數位簽章

  • 當收到具有數位簽章的訊息時,接收者可以利用簽章來得知傳送者的身分,進而確認訊息的內容是否已遭到竄改。

  • 由於數位簽章具有不可否認的特性,所以若使用者在訊息上使用了數位簽章,便無法逃避曾經撰寫過此訊息的事實。

  • 數位簽章在數位訊息中扮演著鑑別的角色,它可以讓接收者對於訊息的來源及其完整性更有信心。


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RSA簽章

選擇兩個大質數 p , q

計算 n = p×q

計算ψ(n)=(p-1)×(q-1)

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

將(e, n)公開、其他數值保持秘密


Public key cryptosystem

選擇兩個大質數 p , q

計算 n = p×q

計算ψ(n)=(p-1)×(q-1)

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

RSA簽章

此時任何人交付明文 m要求簽章


Public key cryptosystem

RSA簽章

此時任何人交付明文 m要求簽章

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n


Public key cryptosystem

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n

RSA簽章

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m


Public key cryptosystem

RSA簽章

選擇兩個大質數 p , q

計算 n = p×q

計算ψ(n)=(p-1)×(q-1)

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

此時任何人交付明文 m要求簽章

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m


Public key cryptosystem

選擇兩個大質數 p , q

計算 n = p×q

計算ψ(n)=(p-1)×(q-1)

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

RSA簽章

所謂簽章就是證明你是你,而如果能做出一件事是只有你做得出來,那就是最好的證明,而這個過程正是如此

此時任何人交付明文 m要求簽章

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m


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RSA簽章的實例

選擇 p = 622354832383

q = 38895514943

計算 n =24206811682801236799169

計算ψ(n)=24206811682139986451844

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

e=31, d=19521622324306440686971

將(e, n)公開、其他數值保持秘密


Public key cryptosystem

選擇 p = 622354832383

q = 38895514943

計算 n =24206811682801236799169

計算ψ(n)=24206811682139986451844

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

e=31, d=19521622324306440686971

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

RSA簽章的實例

此時任何人交付明文 m要求簽章


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RSA簽章的實例

公鑰:e=31, n=24206811682801236799169

密鑰: d=19521622324306440686971

  • 假設要假設要簽署的明文 m為 ‘bob cracked rsa’,

  • 依代碼 □= 0, a= 1, b=2, …, z=26將明文編成27進制的數值,即可得下列明文m值:

    m = (2, 15 , 2, 0, 3,18, 1, 3, 11, 5, 4, 0, 18, 19, 1)27

    = 2×2714+15×2713+2×2712+3×2710+18×279+1×278+3×277 +11×276 +5×275 +4×274 +18×272+19×27+1

    = 279927250081200479782

此時任何人交付明文 m要求簽章


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RSA簽章的實例

公鑰:e=31, n=24206811682801236799169

密鑰: d=19521622324306440686971

  • 假設要假設要簽署的明文 m為 ‘bob cracked rsa’,

  • 依代碼 □= 0, a= 1, b=2, …, z=26將明文編成27進制的數值,即可得明文m = 279927250081200479782

  • 有秘密的 d 值,就可以將明文簽署成下列的 s 值:

    S = md (mod n)

    = 27992725008120047978219521622324306440686971

    = 17083178691394655337512

(mod 24206811682801236799169)

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n


Public key cryptosystem

RSA簽章的實例

公鑰:e=31, n=24206811682801236799169

密鑰: d=19521622324306440686971

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m

  • 假設要假設要簽署的明文 m為 ‘bob cracked rsa’,

  • 依代碼 □= 0, a= 1, b=2, …, z=26將明文編成27進制的數值,即可得明文m = 279927250081200479782

  • 有秘密的 d 值,就可以將明文簽署成下列的 s 值:

  • 有公開的e,n值,任何人均可驗證簽章是否可經下列計算得出明文:

  • m = se (mod n)

    =1708317869139465533751231 (mod 24206811682801236799169)

    =279927250081200479782

    = 2×2714+15×2713+2×2712+3×2710+18×279+1×278+3×277+11×276

    +5×275 +4×274 +18×272+ 19×27+1

    = (2,15, 2, 0, 3, 18, 1, 3, 11, 5, 4, 0, 18, 19, 1)27

即為 ‘bob cracked rsa’


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RSA簽章的實例

選擇 p = 622354832383

q = 38895514943

計算 n =24206811682801236799169

計算ψ(n)=24206811682139986451844

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

e=31, d=19521622324306440686971

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

此時任何人交付明文 m要求簽章

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m

RSA


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RSA簽章的可能偽造方法與解決方案

選擇 p = 622354832383

q = 38895514943

RSA簽章有"乘法代數性質",所以是有可能被偽造的唷!

計算 n =24206811682801236799169

計算ψ(n)=24206811682139986451844

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

e=31, d=19521622324306440686971

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

此時任何人交付明文 m要求簽章

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m


Public key cryptosystem

選擇 p = 622354832383

q = 38895514943

計算 n =24206811682801236799169

計算ψ(n)=24206811682139986451844

找出一組數值 e×d≡1 mod ψ(n)

e=31, d=19521622324306440686971

將(e, n)公開、其他數值保持秘密

此時任何人交付明文 m要求簽章

用秘密的 d 值,就可簽署明文為s = m d mod n

用公開的 (e, n),即可驗證簽章s e mod n = (m d)e mod n = m

RSA簽章的可能偽造方法與解決方案

RSA簽章有"乘法代數性質",所以是有可能被偽造的唷!

  • 假設 s1=m1d mod n , s2=m2d mod n代表對兩份明文 m1 與 m2 所做的簽章 s1與 s2

  • 可是,把這兩個簽章相乘

  • s1.s2= (m1d mod n) . (m2d mod n) = (m1.m2)d mod n

  • 令兩個簽章的相乘值為 s3,而假設有心人花了很大的功夫找出一個有意義的明文 m3 , 而且m3 = m1.m2,那麼s3 即為 m3 的正確簽章,也就是說,雖然只有簽過兩份明文 m1 與 m2,但卻可能冒出第三份明文 m3號稱也被簽署過而且兜出來的簽章 s3也是正確的。


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RSA簽章的可能偽造方法與解決方案

RSA簽章有"乘法代數性質",所以是有可能被偽造的唷!

  • 若要防止這種偽造的發生,最簡單的方法就是用密鑰對明文做簽章前,先用雜湊函數 (Hash function)對明文做摘錄,而且確定摘錄值相乘不會有"乘法代數性質" :

  • H(m1.m2 )≠ H(m1 ).H(m2 )

  • 所以,也就是說 :

  • s1.s2= (H(m1 ) d mod n) . (H(m2 ) d mod n) ≠(H(m1 .m2 )) d mod n

  • 如此就不可能冒出第三份明文 m3號稱也被簽署過,而且被兜出一個正確的簽章 s3。


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RSA簽章的可能偽造方法與解決方案

RSA簽章有"乘法代數性質",所以是有可能被偽造的唷!

  • 至於什麼是雜湊函數(Hash function)?就如同中文譯名的 "雜湊" 二字,可以隨興設計一個亂湊出來的方式,把不論多長的明文都摘錄成一個不太大的數值。

  • 譬如,在報章雜誌常見的生命靈數命理方法 :

西元出生年+月份+日期=生命靈數,如果算出來是兩位數,則再將十位數加個位數,一直簡化到個位數字為止。例如1980年8月23日的生命靈數是:1+9+8+0+0+8+2+3=31,再做3+1=4。

可以說就是一種Hash function,你也可以發明一套更亂的公式,不只是加法,還把各種運算融入,甚至把身份字號、電話號碼、門牌號碼都一起算進來,反正最後就是出來一個數值,然後你就可以依據這個數值幫大家算命,亂掰一下囉!


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數位簽章與雜湊函數合併使用

  • 數位簽章通常會和雜湊函數合併使用,以增進簽章的運算效能。

  • 雜湊函數的設計必須具備無法找出相同雜湊值的能力。

  • 假設A要發送一封具有簽章的訊息給B,則A必須先對所發送的整篇訊息執行雜湊函數(Hash Function)運算,產生一個訊息摘要。

  • 這個訊息摘要可以看成是整封訊息的「數位指紋」,若此訊息的任一部份遭到修改,則雜湊函數的運算結果就會不同。


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  • 完成訊息摘要後,A就可以用他的私密金鑰對此訊息摘要進行簽署的動作,此簽署過的訊息摘要就是整封訊息的數位簽章,接著A再將訊息以及數位簽章寄送給B。

  • 當B收到A所傳送來的訊息及數位簽章後,為了要查驗此訊息,B必須先將收到的訊息使用與A相同的雜湊函數計算出另一個訊息摘要後,再使用A的公開金鑰來針對訊息摘要做驗證,若兩者驗證結果相符,則代表訊息確實來自A,且證明訊息的內容在A簽章過後就沒有遭到修改。


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進一步衍生的電子憑證(Certificate)概念

若交付簽章的明文 m是身份資料

具有公信力的憑證中心以密鑰 d 簽署明文摘錄值 s = H(m) d mod n

用憑證中心公開的 (e, n),任何人均可驗證某人的身份資料之簽章s e mod n = (H(m) d)e mod n = H(m)


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進一步衍生的電子憑證(Certificate)概念

具有公信力的憑證中心簽署某人身份資料的明文與簽章組成憑證就是可證明其身份的電子身份證

Certificate


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