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PROPIEDADES GLOBALES

PROPIEDADES GLOBALES. Bloque III * Tema 105. CORTES CON LOS EJES. Los puntos de corte de la función f con el eje X se calculan resolviendo la ecuación f(x)=0 Si f(x) es una expresión polinómica de grado impar, habrá al menos un punto de corte con el eje X.

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  1. PROPIEDADES GLOBALES Bloque III * Tema 105 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. CORTES CON LOS EJES • Los puntos de corte de la función f con el eje X se calculan resolviendo la ecuación f(x)=0 • Si f(x) es una expresión polinómica de grado impar, habrá al menos un punto de corte con el eje X. • El punto de corte de la función f con el eje Y es el punto (0, f(0)). • Como máximo hay un punto de corte con el eje Y, ya que si no, f no sería función. • Ejemplo 1 Ejemplo 2 • f(x) = x3 –3x + 2 f(x) = - x3 + 4x • f(0) = 2  Pc(0,2) f(0) = 0  Pc(0,0) • 0 = x3 –3x + 2 0 = - x3 + 4x • Factorizando por Rufinni: Factorizando por Rufinni: • f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) f(x) = - x (x + 2)(x – 2) • Pc(– 2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) Pc(0,0) , Pc(– 2, 0), Pc(2, 0) Matemáticas Acceso a CFGS

  3. CORTES CON LOS EJES • Ejemplo 3 Ejemplo 4 • x– 3 1 – x2 • f(x) = -------- f(x) = --------- • x + 1 x • Cortes con eje Y: Cortes con eje Y: • f(0) = – 3  Pc(0,– 3) f(0) = 1/0 =oo  NO HAY • Cortes con eje X: Cortes con eje X: • 0 = (x–3) / (x +1) 0 = (1 – x2 ) / x • (x + 1).0 = (x – 3) x.0 = (1 – x2 ) • 0 = (x – 3) 0 = (1 – x2 ) • 3 = x  Pc(3, 0) x2 = 1  Pc(– 1,0) , Pc(1, 0) Matemáticas Acceso a CFGS

  4. Gráficas de los ejemplos (0,2) (-2,0) (2,0) (0,0) (-2,0) (1,0) (3,0) (-1,0) (1,0) (0, -3) Matemáticas Acceso a CFGS

  5. SIGNO DE UNA FUNCIÓN • Para representar gráficamente una función nos interesa saber en qué zonas o intervalos la función va por encima o por debajo del eje X. • Los puntos de corte de la función f con el eje X, así como los puntos que no forman parte del dominio de la función, nos limitan las zonas a estudio. • Si en un punto c del intervalo (a,b) la ordenada o valor de f (c) es positivo ( o negativo) , es también positivo ) o negativo) en todos los puntos del intervalo. • Ejemplo 1 Ejemplo 2 • f(x) = x3 –3x + 2 f(x) = - x3 + 4x • Intervalos a estudio: Intervalos a estudio: • (-oo,-2), (-2, 1) y (1, oo) (-oo, -2), (-2, 0), (0, 2) y (2, oo) • f(-3) =– 27 + 9 + 2 = – en (-oo, -2) f(-3) = 27 - 12 = + en (-oo, -2) • f(0) = 0 – 0 + 2 = + en (-2, 1) f(-1) = 1 – 4 = – en (-2, 0) • f(2) = 8 – 6 + 2 = + en (1, oo) f(1) = – 1 + 4 = + en (0, 2) • f(3) = – 27 + 12 = – en (-oo, -2) Matemáticas Acceso a CFGS

  6. SIGNO DE UNA FUNCIÓN • Ejemplo 3 Ejemplo 4 • x– 3 1 – x2 • f(x) = -------- f(x) = --------- • x + 1 x • Intervalos a estudio: Intervalos a estudio: • (-oo, -1), (-1,3) y (3,oo) (-oo,-1), (-1,0), (0, 1) y (1, oo) • f(-3) = – 6 / - 2 = + en (-oo, -1) f(-3) = -8 / - 3 = + en (-oo, -1) • f(0) = – 3 / 1 = – en (-1, 3) f(-0,5) = 0,75 / – 0,5 = – en (-1, 0) • f(4) = 1 / 5 = + en (3, oo) f(0,5) = 0,75 / 0,5 = + en (0, 1) • f(2) = – 3 / 2 = – en (1 , oo) Matemáticas Acceso a CFGS

  7. Gráficas de los ejemplos (0,2) (-2,0) (2,0) (-2,0) (1,0) (0,0) (3,0) (-1,0) (1,0) (0, -3) Matemáticas Acceso a CFGS

  8. SIMETRÍAS • SIMETRÍAS • Sea la función y = f(x). • Si se cumple que f(x) = f(-x) Hay SIMETRÍA PAR • Significa que la función es simétrica respecto al eje de ordenadas , eje Y. • El eje Y es eje de simetría de la función. • Si se cumple que f(x) = - f(-x) Hay SIMETRÍA IMPAR • Significa que la función es simétrica respecto al origen de coordenadas. • Lo dibujado en el primer cuadrante es idéntico a lo del tercer cuadrante. • (Es la simetría respecto a un punto que se vió en 3º ESO) Matemáticas Acceso a CFGS

  9. Ejemplo 1 • SIMETRÍA PAR • f(x) = x2 • f(x) = x2. • Veamos si se cumple que; • f(x) = f(-x) • f(x) = x2 • f(-x) = (-x)2 = x2 •  Hay SIMETRÍA PAR • Lo mismo sucedería con: • f(x) = x2 – 3 • f(x) = x2 + 5 • Pero no con: • f(x) = x2 – 3.x • f(x) = 2.x – 5 • TABLA • x y • -2 4 • -1 1 • 0 0 • 1 • 4 y Matemáticas Acceso a CFGS

  10. Ejemplo 2 • f(x) = x4 – x2 • Veamos si se cumple que; • f(x) = f(-x) • f(x) = x4 – x2 • f(-x) = (-x)4 – (-x)2 • f(-x) = x4 – x2 •  Hay SIMETRÍA PAR • Lo mismo sucedería con: • f(x) = x4 + 3 x2 • f(x) = 2x6 + 5x2 – 3 • Pero no con: • f(x) = x4 – 3.x • f(x) = 4x3 – 5x2 + 4 • SIMETRÍA PAR • f(x) = x4 – x2 • TABLA • x y • -2 12 • -1 0 • -0,5 -0,19 • 0 0 • 0,5 -0,19 • 0 • 12 y Matemáticas Acceso a CFGS

  11. Ejemplo 3 • SIMETRÍA IMPAR • f(x) = x3 • f(x) = x3. • Veamos si se cumple que; • f(x) = - f(-x) • f(x) = x3 • f(-x) = (-x)3 = - x3 • - f(-x) = - (- x3 )= x3 •  Hay SIMETRÍA IMPAR • Lo mismo sucedería con: • f(x) = x3 – 3.x • f(x) = x3 + 5.x • Pero no con: • f(x) = x3 + 2.x2 • f(x) = x3 – 5 • TABLA • x y • -2 - 8 • -1 - 1 • 0 0 • 1 • 8 O Matemáticas Acceso a CFGS

  12. Ejemplo 4 • SIMETRÍA IMPAR • 4 • f(x) = ----- • x • f(x) = 4 / x • Veamos si se cumple que; • f(x) = - f(-x) • f(x) = 4 / x • f(-x) = 4 / (- x)= - 4 / x • - f(-x) = - (- 4 / x)= 4 / x •  Hay SIMETRÍA IMPAR • Lo mismo sucedería con: • f(x) = – 6 / x • f(x) = 12 / x • Pero no con: • f(x) = 4 ( x + 2) • f(x) = – 6 / (x– 3) • TABLA • x y • -2 - 2 • -1 - 4 • 0 --- • 4 • 2 0 Matemáticas Acceso a CFGS

  13. Ejemplo 3 Ejemplo 4 • SIMETRÍA SIMETRÍA • x = y2 NO ES UNA FUNCIÓN • NO ES UNA FUNCIÓN y y x x Matemáticas Acceso a CFGS

  14. FUNCIONES PERIÓDICAS • PERIODICIDAD • Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma se repite a intervalos iguales. • La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, T. • Si se cumple que f(x) = f(x + n.T), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … ) , entonces la función es periódica y de periodo T. • Ejemplos de funciones periódicas • Con periodo T = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. • No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años. Matemáticas Acceso a CFGS

  15. Ejemplo 1 La noria. 5mn 10 mn 5 mn 5 mn 5mn 10 mn 5 mn 5 mn P = 25 mn P = 25 mn • En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros. • Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando. • Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta • Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse. • Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. • El periodo es t = 25 mn Matemáticas Acceso a CFGS

  16. EJEMPLO_2 La electricidad • La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. • Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º . En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos. • Eso significa que cada segundo se recibe en los hogares, fábricas, etc, 50 ciclos completos, 50 ondas senoidales. • Según lo dicho en la definición: • sen 30º = sen (30+nT)=sen (30+360) = sen (30+720) = sen (30+1080) = Etc P = 0,02 s P = 0,02 s Matemáticas Acceso a CFGS

  17. Osciloscopio • El osciloscopio es el aparato eléctrico diseñado para visualizar y medir todo tipo de señales eléctricas. • Podemos ver cómo la corriente eléctrica que llega a los electrodomésticos, aparatos de imagen y sonido en los hogares, así como la que llega a las diferentes empresas, tiene forma de onda senoidal. Matemáticas Acceso a CFGS

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