观察
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观察. 新课导入. ( 1 )所有的金属都能够导电, 铀是金属, 所以铀能导电. ( 2 )太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行, 天王星是太阳系的行星, 因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行. ( 3 )一切奇数都不能被 2 整除 , 因为 (2 100 +1) 是奇数 , 所以 (2 100 +1) 不能被 2 整除. 因为 tan 三角函数 ,. 所以是 tan 周期函数. 观察.

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Presentation Transcript


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观察

新课导入

(1)所有的金属都能够导电,

铀是金属,

所以铀能导电.

(2)太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行,

天王星是太阳系的行星,

因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行.

(3)一切奇数都不能被2整除,

因为(2100+1)是奇数,

所以(2100+1)不能被2整除.


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因为tan 三角函数,

所以是tan 周期函数.

观察

(4)三角函数都是周期函数,

(5)两条直线平行,同旁内角互补.

如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,

那么∠A+∠B=180°.

这些说法有什么共同点?


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探究

思考

这些说法的共同点是:

都是以某些一般地判断为前提,得出一些个别的、具体的判断.

你觉得这些说法正确吗?如果认为正确,那么这样的推论又是什么呢?


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2.1.2演绎推理


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教学目标

【知识与能力】

  • 了解演绎推理的含义.

  • 能运用“三段论”进行简单的推理.


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【过程与方法】

通过已学过的数学实例和生活中的实例,从中挖掘、提炼出演绎推理的含义和推理方法,使学生更好的掌握这种思维方法.


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【情感态度与价值观】

使学生掌握这种思维方法,并能在今后的学习中有意识的使用它,以培养言之有理、论证有据的习惯.


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教学重难点

重点

  了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单地推理.

难点

  用“三段论”进行简单的推理.


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知识要点

若推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.


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大前提

小前提

结论

现在可以知道,上面列举的例子都是演绎推理的例子且每个例子都有三段,称为“三段论”.

例:

所有的金属都能导电

(一般原理)

因为铜是金属,

(特殊情况)

所以铜能够导电.

(所得结论)


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大前提

大前提

小前提

小前提

结论

下面请同学们自己说出其余例子的“三段”.

(2)太阳系的行星以椭圆形轨道绕太阳运行,

天王星是太阳系的行星,

因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行;

(3)一切奇数都不能被2整除,

因为(2100+1)是奇数,


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大前提

大前提

小前提

小前提

结论

结论

结论

因为tan 三角函数,

所以是tan 周期函数.

所以(2100+1)不能被2整除.

(4)三角函数都是周期函数,

(5)两条直线平行,同旁内角互补.

如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,

那么∠A+∠B=180°.


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“三段论”是演绎推理的一般模式,那现在大家想想它的内容是什么?

(1)大前提——已知的一般原理;

(2)小前提——所研究的特殊情况;

(3)结论——根据一般原理,对特殊情

况做出的判断.


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“三段论”可以表示为

大前提:M是P.

小前提:S是M.

结论: S是P.

三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.


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大前提

小前提

C

例题1

E

D

A

M

B

如图:在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.

证明:

(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,

在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900


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大前提

小前提

结论

结论

所以 DM= AB

同理EM= AB

所以△ABD是直角三角形.

同理△ABE是直角三角形.

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,

M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,

所以DM = EM.


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归纳

由此可见,应用三段论解决问题时,首先应明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.

自己试试看!


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大前提

小前提

A

结论

E

F

练一练

B

C

D

如图:D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.

证明:

(1)同位角相等,两直线平行,

∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD= ∠A ,

所以, DF∥EA.


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大前提

大前提

小前提

小前提

A

结论

结论

E

F

B

C

D

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,

DE∥BA且DF∥EA,

所以,四边形AFDE是平行四边形.

(3)平行四边形的对边相等,

ED和AF为平行四边形的对边,

所以,ED=AF.


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例题2

证明本例所依据的大前提是:在某个区间(a,b)内,如果 y= ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.

分析

证明函数f(x)= -x2+2x 在(-∞,1)上是增函数.


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小前提是f(x)=-x2+2x的导数在区间(-∞,1)内满足 >0,这是证明本题的关键.

=-2x+2.

当x∈(-∞,1)时,有1-x>0,所以

=-2x+2=2(1-x)>0.于是,

证明:

根据“三段论”得,函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.


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继续解答……

提示

证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.

还有其他的证明方法吗?

根据增函数的定义进行证明.


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证明:

满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.

大前提

任取x1,x2 ∈(-∞,1]且x1<x2 ,

f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)

=(x2-x1)(x1+x2-2)

因为x1<x2所以 x2-x1>0

因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0

因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

小前提


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想一想

所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)上是增函数.

结论

在演绎推理中,应用三段论解决问题时,怎样才能保证结论是正确的呢?


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注意

演绎推理是由一般到特殊的推理,这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此,在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,结论就必然正确.


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大前提

小前提

结论

例题3

因为指数函数y=ax是增函数,

而y=ax是指数函数,

所以是增函数.

(1)上面的推理形式正确吗?

(2)推理的结论正确吗?为什么?


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反思

记住

解:

上述推理的形式正确,但大前提是错误的(因为当0<a<1时,指数函数y=ax是减函数),所以所得的结论是错误的.

通过本例的学习,使我们更深刻的理解了“在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,结论就必然正确”.


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知识要点

至此,我们学习了两种推理方式——合理推理与演绎推理.大家想想它们两者的区别与联系?

想一想

自己总结归纳一下吧!


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区别:

1.归纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.

2.从推理的结论来看,合情推理的结论不

一定正确,有待证明;演绎推理在大前

提、小前提和推理形式都正确的前提

下,得到的结论一定正确.


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联系:

  • 合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.

2. 从认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,演绎推理与合情推理又是紧密联系,相辅相成的.


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课堂小结

1.演绎推理的概念:

若推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.


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2.“三段论”是演绎推理的一般模式,它的内容是:

(1)大前提---已知的一般原理;        (2)小前提---所研究的特殊情况;       (3)结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.

3.在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,结论就必然正确.


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4.合情推理和演绎推理的联系与区别:

总的来说,从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者有差异,从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.


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随堂练习

1.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.

(1)整数是自然数,

大前提不正确.

-3是整数,

-3是自然数.

(2)无理数是无限小数,


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是无限小数,

大前提不正确,无理数是无限不循环小数.

是无理数.

(3)凡金属都是导电的, 水是导电的,所以,水是金属.

小前提不正确,水不是金属.


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证:

2.

已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:


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习题答案

练习(第81页)

1.答案课上已给出.

2.因为通项公式为 的数列{ },若

其中p是非零常数,则{ }是等比数列.

‥‥‥‥大前提

又因为cq≠0,则q≠0,且

‥‥‥‥小前提


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所以通项公式为 的数列{ }是等比数列.

‥‥‥‥结论

3.由AD>BD,得到∠ACD>∠BCD的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中,大边对大角”,小前提是“AD>BD”,而AD与BD不在同一个三角形中.


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