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数学物理方程 李明奇 田太心 主编. 出 版:电子科技大学出版社 ( 成都市建设北路二段四号,邮编: 610054) 责任编辑:徐守铭 发 行:电子科技大学出版社 印 刷:成都蜀通印务有限责任公司 开 本: 787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425 千字 版 次: 2006 年 4 月第一版 印 次: 2007 年 8 月第二次印刷 书 号: ISBN 978  7  81114  098  9 印 数: 2001—5000 册 定 价: 28.00 元.

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数学物理方程

李明奇 田太心 主编

出 版:电子科技大学出版社(成都市建设北路二段四号,邮编:610054)

责任编辑:徐守铭

发 行:电子科技大学出版社

印 刷:成都蜀通印务有限责任公司

开 本:787mm×1092mm 1/16 印张 16.625 字数 425千字

版 次:2006年4月第一版

印 次:2007年8月第二次印刷

书 号:ISBN 9787811140989

印 数:2001—5000册

定 价:28.00元

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目 录

第一章 绪论

笫二章 定解问题与偏微分方程理论

第三章 分离变量法

第四章 行波法

第五章 积分变换

第六章 Green函数法

第七章 Bessel函数

第八章 Legendre多项式第九章 保角变换法

第十章 非线性数学物理方程简介


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第一章 绪论

1.1 常微分方程基础

1.2 积分方程基础

1.3 场论基本概念

1.4 常用算符与函数1.5 常用物理规律


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1.1 常微分方程基础

一、一阶微分方程

一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:


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1.可分离变量的一阶微分方程


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2.齐次方程


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3.一阶线性微分方程


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4.Bernoulli方程


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二、高阶微分方程

1.可降阶的二阶微分方程


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2.n阶常系数齐次线性微分方程


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定理1的特解可以通过方程

的特解之和求得。


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定理2n阶常系数齐次线性微分方程的通解为:

(1)特征方程有n个不同的实根 ,则 , 为任意常数;

(2)特征方程有r个不同的实根 ,其重数分别为 , ,则

其中, 为任意常数。

(3)若 ,特征方程有r个不同的复根 ( ),其重数分别为 ,所有复根重数之和为,则


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3.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

定理3:

设 为 对应的齐次方程的i ( )重根,其中, 与 分别是次多项式, 为常数。则存在次多项式 使非齐次方程有如下形式的特解:


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定理4:

与 分别是 次多项式, 与 为常数,则的特解为:


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定理5:

二阶非齐次线性微分方程

的特解为

通解为


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三、Euler方程

在微分方程中,我们还经常遇到一类特殊的非常系数非齐次线性微分方程——Euler方程的求解:


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四、Bessel方程

定义2二阶线性微分方程

称为Bessel方程, 为非负常数。


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定义4二阶线性微分方程

(m为整数)

称为半奇数阶Bessel方程。


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定义5二阶线性微分方程

称为虚宗量Bessel方程。


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五、Legendre方程与SturmLiouville方程

定义6二阶线性微分方程

称为n阶Legendre方程。


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定义7二阶线性微分方程

称为SturmLiouville方程。


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六、微分方程解的理论基础

定义8对于一阶微分方程,称以下问题为Cauchy问题:


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定义9对于二阶微分方程,称以下问题为边值问题:


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定义10:

设为 方程 的平凡解,若 ,当 时,对 ,有 ,则称 解稳定。


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定义11:

设 为方程 的平凡解,若 ,当 时, ,有 ,则 称解不稳定。


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1.2 积分方程基础

定义1积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若方程关于未知函数是线性的,则称之为线性积分方程;否则该积分方程称为非线性积分方程。

定义2若未知函数只出现在积分号下,称为第一类线性积分方程;若未知函数不仅出现在积分号下,还出现在其他部分,则称为第二类线性积分方程。


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定义3若含参数齐次方程 ,在 有非零解,则 称为特征值,相应的解为特征函数。特征函数构成的空间称为线性空间,其维数称为 的重数。


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定理1若 在 , 在 内都连续,且 , , 。级数 在 一致绝对收敛,并且为方程的唯一解。


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定义4若 , 与 都线性无关,则 称为退化核。

为退化核,则方程变为

代入原方程得


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1.3 场论基本概念

一、散度与通量

设S是一分片光滑的有向曲面,其单位侧向量为 ,则向量场 沿曲面S的第二类曲面积分

称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。


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如果S是一分片光滑的闭曲面,为外法向,V为S所包围的空间区域,由Gauss公式有

其中, 称为向量场的散度,记为 ,即


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二、环流量与旋度

对于给定向量场

设L为场内一有向闭曲线,L上与指定方向一致的单位切向量为 ,则称积分

为向量场沿有向闭曲线L的环流量。


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设S是以L为边界的有向曲面,曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规则,由Strokes公式,有

其中,向量 为有向曲面S的单位法向量 的方向余弦,向量场的旋度记为 ,且

旋度是一个向量,它是由向量场产生的向量场,称为旋度场。


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1.4 常用算符与函数

一、常用算符

求导算子D:

梯度算子 与Laplace算子 是两个最基本的算符:


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设为向量场, 为数值函数,则有以下公式:


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定理1 设平面区域D由分段光滑的闭曲线L围成,函数 、 在L上具有一阶连续偏导数,则有Green公式:

式中,L的方向为区域D边界曲线的正向。


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定理2设曲线L为分段光滑的空间有向闭曲线,S为以L为边界的任意分片光滑的有向曲面。函数 、 、 在包含S的某一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有Strokes公式


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定理3设分片光滑的有向闭曲面围成空间区域V。函数 、 、 在V上具有一阶连续偏导数,则有Gauss公式:

式中,S为空间区域V的外侧。


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二、 函数、函数与误差函数

1. 函数是指


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2.函数是指

函数的主要性质有:


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3.误差函数是指

余误差函数是指

主要性质有:


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三、常用结论

命题1,其球坐标表示为 。n为以原点为球心,半径为r的球面的外侧,则


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命题2


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1.5 常用物理规律

1.Newton第二定律。平动规律: ;转动规律: 。

2.Hooke定律。

(1)在弹性限度内,弹簧的弹力和弹簧的伸长成正比: 。其中,k为弹簧的弹性系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。

(2)弹性体的应力p与弹性体的相对伸长成正比: 。其中,Y为杨氏模量,表示相对伸长。


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3.Fourier实验定律(即热传导定律)。当物体内存在温差时,会产生热量的流动。在dt时间内,沿热流方向流过面积微元dS的热量为,其中k称热传导系数,它与物体的材料有关;式中的负号表示热量由高处流向低处;为温度沿热流方向的方向导数。热流密度q为


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4.Newton冷却定律。设 为周围介质的温度, 为物体的温度。物体冷却时单位时间内流过单位面积放出的热量与物体和外界的温度差( )成正比,即热流密度q为 。

5.热量守恒定律。物体内部温度升高所吸收的热量,等于流入物体内部的净热量与物体内部的源所产生的热量之和。


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6.扩散实验定律。当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。沿粒子流方向流过面积微元dS的粒子质量为 ,其中k称为扩散系数,它与材料有关;负号表示粒子流由浓度高处流向低处, 为温度沿热流方向的方向导数。粒子流密度q为 。

7.电荷守恒定律。电荷既不能创造,也不能消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部分转移到另一部分。


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8.Coulomb定律。放置于坐标原点的电量为e的点电荷所产生电场(介电常数为)的电位势为 。

9.Gauss定律。通过一个任意闭合曲面的电通量,等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的倍。即 。其中, 为介电常数, 为体电荷密度。


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10.JouleLenz定律。电流通过纯电阻的一导体时所放出的热量跟电流强度的平方、导线的电阻和通电的时间成正比。即 。

11.Kirchhoff定律。

(1)第一定律。会合在节点的电流代数和为零,即 。

(2)第二定律。沿任一闭合回路的电势增量的代数和为零,即 。


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12.Faraday电磁感应定律。不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时,回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比,即

式中,N为感应回路串联线圈的匝数。此即Faraday电磁感应定律。由该定律知,当闭合回路(或线圈)中的电流发生变化而引起自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为

式中,L为自感系数。


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笫二章 定解问题与偏微分方程理论

2.1 波动方程及定解条件

2.2 热传导方程及定解条件

2.3 稳态方程的定解问题

2.4 方程的化简与分类

2.5 二阶线性偏微分方程理论

2.6 函数


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2.1 波动方程及定解条件

一、波动方程的建立

细弦线横振动问题。

设有一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处,受到扰动,开始沿x轴(平衡位置)上下作微小横振动(细弦线上各点运动方向垂直于x轴)。试建立细弦线上任意点位移函数所满足的规律。


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二、定解条件

1.初始条件

波动方程含有对时间的二阶偏导数。因此,一般要给出两个初始条件。对于做机械运动的物体,其初始条件可以从系统各点的初位移和初速度考虑,即


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2.边界条件

描述物理问题在边界上受约束的状态,归结为三类边界条件。

(1)第一类边界条件:给出未知函数u在边界上的分布值。例如,长为L的细弦线横振动,细弦线的两端固定在原点和x轴的L处,其边界条件为

,称固定端。

(2)第二类边界条件:给出未知函数u在边界上的法向导数值。(3)第三类边界条件:第一类和第二类边界条件的线性组合。


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2.2 热传导方程及定解条件

一、热传导方程

细杆的横截面积为常数A,又设它的侧面绝热,即热量只能沿长度方向传导,由于细杆很细,以致在任何时刻都可以把横截面积上的温度视为相同,密度为。试求细杆的温度分布规律。


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二、扩散方程的建立*

设半导体材料每点的横截面积相等,其值为A;在这块材料中,有一种杂质正在扩散,我们用u表示杂质浓度,即单位体积内所含杂质的质量;由于各个横截面上杂质的浓度不一样,而且它又是随时间改变的(设同一时间同一横截面上各点处的浓度是相同的),所以浓度u既是位置x的函数,又是时间t的函数,即 。求 满足的规律。


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三、定解条件

1.初始条件

热传导方程含有对时间的一阶偏导数,故只要一个初始条件——初始时刻的温度分布。

2.边界条件

(1)第一类边界条件,给定温度在边界上的值。若细杆在x=0端保持为零度, 端保持为 度,则有: , 。(2)第二类边界条件,给定温度在边界上的法向导数值。(3)第三类边界条件,给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系。


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2.3 稳态方程的定解问题

一、静电场的电位方程

设空间有一分布电荷,其体密度为 ,E表示电场强度, 表示电位,在国际单位制下,静电场满足:

(1)静电场的发散性: ;

(2)静电场的无旋性: ;

(3)静电场存在场势函数:


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二、自由电磁波方程

设空间中没有电荷,且和分别表示电场强度和磁场强度。由电磁场理论,描述介质中电磁场运动的Maxwell方程组的微分形式为


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三、稳态场定解条件的提法

1.边界条件

边界条件共分三类,第一类、第二类、第三类边界条件也是分别给出边界上未知函数值、未知函数的导数值或两者的线性关系。稳态场方程加上第一类、第二类、第三类边界条件构成的定解问题分别称为第一类、第二类、第三类边值问题,也依次称为Dirichlet问题、Neumann问题和Robin问题。


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2.衔接条件

性质1

在两种介质的分界面上,静电场电势的边值关系为

式中, 与 分别为界面两侧介质的电势和介电常数;n是界面上由介质1指向介质2的法向单位向量; 是界面上的自由电荷面密度。


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性质2 若为 导体的电势, 为绝缘介质的电势, 为封闭面S所包围的电量的代数和,则在导体与介质分界面上电势u的边值关系为


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3.有限性条件例如,在静电场中常利用在坐标原点电势有限的条件(当原点无点电荷时)。

4.周期性条件

由于物理量在同一点、在同一时刻有确定值,在采用球坐标系(或柱坐标系)时,就必然导致周期性条件,因为与 均表示空间同一点,由电势的唯一性可得


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2.4 方程的化简与分类

一、方程的化简、特征方程

二、方程的分类

若在区域D中某点 ,有 (或 ),我们就称方程式在点为双曲型(或抛物型,或椭圆型)。

若方程在某个区域中的每一点均为双曲型(或抛物型,或椭圆型),我们就称方程在区域D上是双曲型(或抛物型,或椭圆型)。


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2.5 二阶线性偏微分方程理论

一、叠加原理

定义1泛定方程是线性的,而且定解条件也是线性的,这种定解问题称为线性定解问题。


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定义2对于一个算子T,若满足

则称算子T为线性算子。


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叠加原理1设满足线性方程(或线性定解条件)

( )

那么这些解的线性组合必满足方程(或定解条件): 。

叠加原理2设满足线性方程(或线性定解条件)

( )

且级数收敛,并满足算子中出现的偏导数与求和记号交换次序所需要的条件,那么满足线性方程(或定解条件)


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叠加原理3设满足线性方程(或线性定解条件)

其中,M表示自变量组;M0为参数组。且积分

收敛,并满足中出现的偏导数与积分运算交换次序所需要的条件,那么满足方程(或定解条件)

特别地,当满足齐次方程(或齐次定解条件)时,也满足此齐次方程(或齐次定解条件)。


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二、齐次化原理

齐次化原理1

设 满足齐次方程的Cauchy问题(这里,M是自变量组 为参数)


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齐次化原理2

设 满足Cauchy问题

则Cauchy问题


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三、解的适定性

一个定解问题提得是否符合实际情况,当然必须靠实践来证实。然而从数学角度来看,可以从三方面加以检验:

(1)解的存在性:研究所归结出来的定解问题是否有解。

(2)解的唯一性:研究定解问题是否只有一个解。

(3)解的稳定性:即看当定解条件有微小变动时,解也相应地只有微小的变动,则称解具有稳定性。在具体问题中解的稳定性是必需的,否则所得的解就无实用价值。


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2.6 函 数

(1)对称性。 ,即 是偶函数。形式地作变量代换 ,对于任何连续函数 ,有

这就说明了等式的合理性。更一般地,有对称性,即对任何连续函数,有

把上式中的与变换位置,得 。(2)函数的导数。设 ,则由 定义的算符称为函数的导数。这个定义的合理性可由下面形式的分部积分看出:


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第三章 分离变量法

3.1 齐次弦振动方程的分离变量法

3.2 热传导方程混合问题分离变量法

3.3 二维定解问题分离变量法

3.4 高维混合问题的分离变量法

3.5 非齐次方程定解问题的解

3.6 非齐次边界条件定解问题的解

3.7 SturmLiouville固有值问题


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3.1 齐次弦振动方程的分离变量法

一、求解弦振动方程的混合问题

其中为 已知函数。


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1.当时 ,方程 的通解为

2.当时 ,方程 的通解为。其中A,B为两个任意常数。代入边界条件,得

3.当时 ,方程 的通解为


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二、级数解的物理意义

是由一系列频率不同、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波振幅的大小和相位的差异,由初始条件决定,而圆频率与初始条件无关,所以也称为弦的固有频率。


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三、解的适定性

1.解的存在性

可以验证上述Fourier解,既满足方程,又满足边界条件和初始条件。为了保证解的存在性,我们需要以下两个充分条件:


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2.能量积分和解的唯一性

弦振动的动能为 ,而位能为 ,弦振动的总能量称为一维波动方程的能量积分。

在没有外力作用的情况下,总能量应该是守恒的。


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3.2 热传导方程混合问题分离变量法

在讨论热传导方程混合问题的求解时,如果所取的边界条件是第一类的,当使用分离变量法时,它与上节所运用过的求解方法相类似,这里就不再重复了。如果所取的边界条件其一端点上是第一类的,另一端点上是第二类的,那么当使用分离变量法时,其基本思路和步骤与上节所运用过的求解方法也是一致的,只是特征值问题有所不同。


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定理1(极值原理)区域R为 ,Г为区域R的边界。假设函数 在闭域 : 上连续,在上满足热传导方程,则该函数在区域上的最大值、最小值必在其边界曲线Г上取得,即

定理2热传导混合问题的解具有唯一性和稳定性。


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3.3 二维定解问题分离变量法

求解下列定解问题:

其中,A为常数。


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3.4 高维混合问题的分离变量法

例1 求边长分别为 的长方体中的温度分布,设物体表面温度保持零度,初始温度分布为

例2 求解三维静电场的边值问题:


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3.5 非齐次方程定解问题的解

I:

这里 , 及分别是关于及的二阶常系数线性偏微分算子, 都是非负常数,。当 是一阶算子时,问题I中的初始条件只有: 。求解这类定解问题的一般方法有两种:固有函数法和齐次化原理法。


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3.6 非齐次边界条件定解问题的解

现将解定解问题的主要步骤小结如下:

1.根据边界的形状选取适当的坐标系,选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单。圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便,圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便。

2.若边界条件是非齐次的,又没有其他条件可以用来定固有函数,则不论方程是否为齐次,必须先作函数的代换使之化为具有齐次边界条件的问题,然后再求解。

3.非齐次方程、齐次边界条件的定解问题(不论初始条件如何)可以分为两个定解问题,其一是具有原来初始条件的齐次方程的定解问题,其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题。第一个问题用分离变量法求解,第二个问题按固有函数法求解或用齐次化原理求解。


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3.7 SturmLiouville固有值问题

一、SturmLiouville方程

定理1对于第三类边值问题

在条件k(x)及其一阶导数 和在 上连续,k(x), ,在区间 内为正, 在 内连续,且在端点a和b上至多有一级极点,而k(x)与 至多有一级零点,


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(1)固有值具有可数性。存在无穷多个实的固有值递增序列 ;与其对应的固有函数 。

(2)固有值的非负性。 。

(3)固有函数系的正交性。设 是任意两个不同固有值,则对应的固有函数 与在区间 以权函数 正交,即有


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4.展开定理。定义在区间 上并满足固有值问题的边界条件的任意个具有一阶连续导数f(x)和二阶逐段连续导数的函数可按固有函数系 展成绝对且一致收敛的级数

其中

称为展开式的系数或广义Fourier系数。


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第四章 行波法

4.1 一维波动方程的dAlembert公式

4.2 半无界弦振动问题

4.3 高维波动方程Cauchy问题

4.4 非齐次波动方程解法


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4.1 一维波动方程的dAlembert公式

定义1由过点 的两条斜率分别为 的直线在x轴所截得的区间 称为点的依赖区间。

定义2区间 的决定区域是指过 点作斜率为 的直线 ,过点 作斜率为 的直线,它们和区间 一起构成的三角形区域。


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4.2 半无界弦振动问题

一、端点固定

端点固定的半无界弦振动定解问题是

为了把半无界问题作为保持 的无界问题来处理,必须把 、 和 延拓到整个无界区域。


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二、端点自由

定解问题是

同理,将dAlembert解代入,得

又由于初始位移和初始速度独立,得

可见, 及 均应为正常化的偶函数。


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4.3 高维波动方程Cauchy问题

一、三维波动方程 的球对称解

将波函数u用空间球坐标( )表示。球对称就是指u与 都无关。在球坐标系中,波动方程变为


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二、三维波动方程Cauchy问题平均值法

平均值法可以将三维无界空间的自由振动转化成球对称情形,把一维的dAlembert公式推广到三维。设在以 为中心、r为半径的球面 上的平均值为 。则


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三、二维波动方程Cauchy问题的降维法

二维波动方程Cauchy问题是


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四、波动方程Cauchy问题一维、二维、三维的比较

考查二维和三维波动方程Cauchy问题


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1. 是一个任意函数。令

则 是函数 在区间 上的算术平均值,积分的大小依赖于区间的中点x和区间的半径长。

2.函数 ,总满足方程 。

3.如果要求 还满足初始条件 ,则只需将被积函数 换成 。如果 还要求满足初始条件 ,只需将 换成 。两者都换了以后, 就成为波动方程一维初值问题的解。


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五、Poisson公式的物理意义


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4.4 非齐次波动方程解法

为了求解无界空间中非齐次波动方程定解问题

将定解问题化为


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第五章 积分变换

5.1 Fourier变换

5.2 Fourier变换的应用

5.3 Laplace变换

5.4 Laplace变换的应用

5.5 其他的积分变换


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5.1 Fourier变换

一、Fourier变换的定义

定理1若 ,且在一个周期内只有有限个第一类间断点与极值点,则

其中


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定义1称为f(x)的Fourier变换,f(x)称为 的Fourier逆变换。

Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式,这样的Fourier变换许多性质也可以从物理上得到解释。


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二、正(余)弦变换的定义

定义2 Fourier余弦变换是指

定义3 Fourier逆余弦变换是指


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定义4 Fourier正弦变换是指

定义5 Fourier逆正弦变换是指


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三、Fourier变换的基本性质

性质1Fourier变换是一个线性变换:对于任意常数 、与任意函数 、 有

定义6设 都满足Fourier变换的条件,则称为 的卷积。记为


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性质2 的卷积的Fourier变换等于 的Fourier变换的乘积:


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性质3 乘积的Fourier变换等于它们各自的Fourier变换的卷积再乘以系数 ,即

性质4


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性质5

性质6 设为任意常数,则

性质7设 为任意常数,则

性质8


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性质9

性质10

性质11

性质12


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四、n维Fourier变换


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n维Fourier变换具有的性质


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五、Fourier变换在常微分方程中的应用

例3 求解


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5.2 Fourier变换的应用

Fourier变换法求解步骤为:

(1)对定解问题作Fourier变换;

(2)求解像函数;

(3)对像函数作Fourier逆变换。


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5.3 Laplace变换

一、Laplace变换的定义

定义1积分变换 称为 的Laplace变换,记作

称为 Laplace逆变换,记作


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二、Laplace变换的存在定理

定理1若f(x)函数满足下述条件:

(1)当x<0时,f(x)=0;当 时,f(x)在任一有限区间上分段连续。

(2)当 时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M及 ,使得,则 在半平面上存在且解析。


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三、常用函数的Laplace变换

1.若 (a为复数),则

2.若 或 ( ),则


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3.若 , ,则

分别令 ,则


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四、Laplace变换的性质

1.线性定理

若 为任意常数,则


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2.延迟定理


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3.位移定理

设a为复数,则有


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4.相似定理


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5.微分定理

设 分段连续,则


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6.积分定理


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7.像函数的微分定理


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8.像函数的积分定理


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9.卷积定理


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10.


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五、展开定理

1.Jordan引理

设L为平行于虚轴的固定直线, 为一族以原点为中心并在L左边的圆弧, 的半径随 而趋于无穷。若在 上,函数 满足 ,则对任一正数x,均有


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2.展开定理

设解析函数 满足条件:

(1)在开平面内只有极点为其奇点,且这些极点都分布在半平面 上;

(2)存在一族以原点为圆心,以 ( )为半径的圆周 ,在这族圆周上 , ;

(3)对任意一个 ,积分 绝对收敛。则 的原像f(x)为


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5.4 Laplace变换的应用

例1 用Laplace变换求解5.2节例4的定解问题


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5.5 其他的积分变换

定义1 Hankel变换是指

,为 Bessel函数。

定义2 Hankel逆变换是指

定义3 Mellin变换是指

定义4 Mellin逆变换是指


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第六章 Green函数法

6.1 Poisson方程与Laplace方程的边值问题

6.2 Green公式及调和函数的性质

6.3 Dirichlet与Neumann问题解的适定性

6.4 Poisson方程Dirichlet问题Green函数法

6.5 几种特殊区域上Dirichlet问题的Green函数

6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解

6.7 波动方程的基本解

6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介


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6.1 Poisson方程与Laplace方程的边值问题

Dirichlet问题(第一类边值问题):在空间中某一区域V的边界S上给定了一个连续函数 ,要求找出一个函数 满足以下定解问题

称这两个定解问题分别为Laplace方程Dirichlet问题与Poisson方程Dirichlet问题。


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Neumann问题(第二类边值问题):在空间中某光滑的闭曲面S上给出连续函数 ,要求找出一个函数 ,在V内满足

这里是S的外法线方向。则称这两个定解问题分别为Laplace方程Neumann问题与Poisson方程Neumann问题。


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Robin问题(第三类边值问题):若在V内满足

称这两个定解问题分别为Laplace方程Robin问题与Poisson方程Robin问题。


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6.2 Green公式及调和函数的性质

一、Green公式

设V是以分片光滑的曲面S为边界的有界区域, 在 上连续,在V内具有一阶连续的偏导数,则成立如下的Gauss公式


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定理1 Poisson方程Robin问题

的解为

其中,侧向量为曲面外侧。


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推论1 Laplace方程Robin问题

的解为

其中,侧向量为曲面外侧。


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二、调和函数性质

定义1如果函数 在区域 (S是区域V的边界)上连续,具有二阶的连续偏导数,且满足Laplace方程:

则 称为区域V上的调和函数。


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性质1设 是区域V上的调和函数,则有

其中,是n沿V的边界面S的外法线方向。


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推论2 Laplace方程Neumann问题:

有解的必要条件为 。


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性质2设是 区域上的调和函数,则有

其中,n是沿V的边界面S的外法线方向。


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性质3设 是区域V上的调和函数,则在球心的值等于它在球面上的算术平均值,即

其中, 是以为 球心、R为半径的球面,且 完全落在V中。


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性质4(极值原理)假设 在有界区域V内是调和函数,在闭区域 上连续,若 不为常数,则 的最大值和最小值只能在边界面S上达到。


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推论4设在有界区域V内的调和函数,在闭区域 上为连续,如果还在V的边界面S上恒为零,则它在V内各点处的值都等于零。


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推论5 设在有界区域V内的两个调和函数,在闭区域 上为连续,如果它们还在区域V的边界面S上取相等的值,则它们在V内所取的值也彼此相等。


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6.3 Dirichlet与Neumann问题解的适定性

定义1设定解问题由边界条件 得到的解为 ,由边界条件 得到的解为 ,如果在所讨论的区域中,对于任给的 ,总可以找到 ,使得当时 , ,称解对边界条件是稳定的。


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定理1方程 的Dirichle问题的解是唯一的,对边界条件是稳定的。

定理2方程 的Neumann问题的解,若不计任意常数的差别,也仍然是唯一的。

定理3方程 的Neumann问题的解对边界条件不稳定。


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6.4 Poisson方程Dirichlet问题Green函数法

一、空间Dirichlet问题Green函数法

Green函数的性质主要有:

(1)Green函数在 有一个奇点 ,其中

(2)Green函数是以下Poisson方程Dirichlet问题的解


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(3)定解问题的Green函数 仅依赖于区域,与边界条件无关。只要求得了区域的Green函数,就可以解决一类Poisson方程Dirichlet问题。

(4)对于一些特殊区域,如球与半空间、圆与半平面等,Green函数都可用简单的物理方法求得。

(5)Green函数有对称性:


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定理1Poisson方程Dirichlet问题

的解为


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定理2Laplace方程Dirichlet问题

的解为


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二、平面中Dirichlet问题的Green函数法

定理3平面Poisson方程Robin问题

的解为


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定理4平面Laplace方程Robin问题

的解为

式中n为曲线L的外法向量。


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定理5 平面Poisson方程Dirichlet问题

的解为


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定理6平面Laplace方程Dirichlet问题

的解为


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定义2若 满足以下定解问题,则称之为平面区域上Poisson方程Dirichlet问题的Green函数:

其中,封闭曲线L为区域D的边界。


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三、Poisson方程初始边界问题的Green函数法

定义3定解问题

的 解称为时边问题

的Green函数。


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定理7时边问题

的解为


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6.5 几种特殊区域上Dirichlet问题的Green函数

一、球和半空间上的Green函数

定理1 Poisson方程Dirichlet问题

在球域上的解为


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推论1 Laplace方程Dirichlet问题

在球域上的解为


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定理2 Poisson方程Dirichlet问题

在半空间z>0上的解为


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推论2 Laplace方程Dirichlet问题

在半空间z>0上的解为


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二、圆和半平面上的Green函数

定理3平面Poisson方程Dirichlet问题

的解为


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推论3平面Laplace方程Dirichlet问题

的解为


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定理4上半平面Poisson方程Dirichlet问题

的解的表达式为


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推论4上半平面Laplace方程Dirichlet问题

的解的表达式为


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三、第一象限上的Green函数

平面第一象限上的Green函数相当于求解定解问题


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6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解

一、Lu=0型方程的基本解

定义1方程 的解称为方程 的Green函数,又称为基本解。

放置于坐标原点的电量为的点电荷的场的势函数满足Poisson方程:


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定义2方程 的解称为Poisson方程 的基本解。

定理1若U是一个基本解,u是相应齐次方程 的任一解,则 仍是基本解,而且方程的全体基本解都可以表示成这种形式。

定理2 若 是连续函数, 满足方程 ,则卷积


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二、Poisson方程的基本解

定理3 空间Poisson方程的特解为

其中,


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三、热传导方程Cauchy问题的基本解

定理4 设 是连续函数,且存在,则定解问题

的解为


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定理5

(1)一维热传导方程Cauchy问题的基本解为

(2)二维热传导方程Cauchy问题的基本解为

(3)三维热传导方程Cauchy问题的基本解为


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四、热传导方程边值问题的基本解

定义3定解问题

的解 称为

的基本解。


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定理7热传导方程边值问题

的解为


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6.7 波动方程的基本解

一、波动方程Cauchy问题的基本解

定义1定解问题

的解 称为Cauchy问题


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定理1 设 都是连续函数,都存在,则Cauchy问题

的解为


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二、波动方程边值问题的基本解

定义2定解问题

的解 称为边值问题

的基本解。


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定理3设 都是连续函数,则边值问题

的解为


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6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介

一、Ritz法

定义1称为极值问题的EulerLagrange方程。


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二、Ritz法Dirichlet定理

定理1(Dirichlet)Laplace方程第三边值问题的解,使泛函取得最小值;反之,使泛函取得最小值的函数 ,一定是Laplace方程第三边值问题的解。


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第七章 Bessel函数

7.1 Bessel方程及其幂级数解

7.2 Bessel函数的母函数及递推公式

7.3 Bessel函数的正交性及其应用

7.4 Bessel函数的其他类型


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7.1 Bessel方程及其幂级数解

一、Bessel方程的引出

例1 设有一个半径为的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的温度恒保持为零度,且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。

例2 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播,在侧面沿法向方向导数为零,从静止状态开始传播,初始速度为。求其传播规律(假设对极角对称)。


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二、Bessel方程的求解

这个无穷级数所确定的函数,称为阶第一类Bessel函数,记作

定义1 Neumann函数

称为第二类Bessel函数。


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7.2 Bessel函数的母函数及递推公式

一、Bessel函数的母函数(生成函数)

定义1函数 称为Bessel函数的母函数。


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二、Bessel函数的积分表达式


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三、Bessel函数的递推公式

第二类Bessel函数也具有与第一类Bessel函数相同的递推公式:


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四、渐近公式、衰减振荡性和零点

Bessel函数的渐近公式

零点的近似公式

的无穷多个实零点是关于原点对称分布的,必有无穷多个正零点。


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1. 有无穷多个单重实零点,且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布的。因而, 必有无穷多个正的零点;

2. 的零点与 的零点是彼此相间分布的,即 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的零点;

3.以 表示 的正零点,则 当时无限地接近于 ,即 几乎是以2 为周期的周期函数。


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7.3 Bessel函数的正交性及其应用

一、Bessel函数的正交性

定理1Bessel函数系 具有正交性:


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定义1 定积分 的平方根,称为Bessel函数的模值。

定理2若 在区间[0, R]至多有有限个跳跃型间断点,则f(x)在区间(0, R)内在连续点处的Bessel展开级数收敛于该点的函数值,在间断点收敛于该点左右极限的平均值。


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二、Bessel函数应用举例

例1 设 是方程的 所有正根,试将函数

展开成Bessel函数 的级数。

例2 半径为b,高为h的均匀圆柱体,下底和侧面保持为零度,上底温度分布为 。求圆柱内的稳定温度分布。


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7.4 Bessel函数的其他类型

一、第三类Bessel函数

第三类Bessel函数又名Hankel函数,它是由下列公式来定义的:


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二、虚宗量的Bessel函数

关于第二类虚宗量Bessel函数 定义如下:

(1)当是非整数时

(2)当为整数时


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三、Kelvin函数(Thomson函数)


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四、球Bessel函数

不论是对热传导方程或对波动方程分离变量,都会导出所谓的球Bessel方程


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第八章 Legendre多项式

8.1 Legendre方程及其幂级数解

8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式

8.3 Legendre多项式的展开及其应用

8.4 连带Legendre多项式


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8.1 Legendre方程及其幂级数解

一、Legendre方程的引出

在球坐标系中Laplace方程为


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二、Legendre方程的求解


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三、Legendre多项式

1.Legendre多项式

其中


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2.Legendre多项式的微分表达式——Rodrigues公式

定理1满足Rodrigues公式


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3.Legendre多项式的积分表达式

定理2满足积分表达式


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8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式

一、Legendre多项式的母函数

称为Legendre多项式的母函数。


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二、Legendre多项式的递推公式

定理1 Legendre多项式满足以下的递推公式:


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8.3 Legendre多项式的展开及其应用

一、Legendre多项式的正交性

定理1 Legendre多项式序列 在区间[-1,1]上正交,即


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二、Legendre多项式的归一性

定理2 Legendre多项式满足


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三、展开定理的叙述

定理3若在区间[1, 1]至多有有限个跳跃型间断点,则f(x)在区间(1, 1)内连续点处的Legendre多项式展开级数收敛于该点的函数值,在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。


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8.4 连带Legendre多项式

一、连带Legendre多项式的定义

连带Legendre方程


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二、连带Legendre多项式的正交性和归一性


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三、Laplace方程在球形区域上的Dirichlet问题


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第九章 保角变换法

9.1 保角变换及其性质

9.2 保角变换降维法

9.3 Laplace方程的保角变换解法


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9.1 保角变换及其性质

9.1 保角变换及其性质

区域D内第一类保角变换有如下性质:

(1)在z平面上区域D内任意一个以点为中心的无穷小圆周,当只考虑 的线性部分时,对应于w平面上一个以 为中心的圆周,且其环绕的方向与原圆周相同。

(2)变换具有保角性,在 连续映射之下,若则通过已知点 的任两条有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变。

(3)变换具有保形性。对于D内的第一类保角变换,若变换是单叶的,即对于 ,有 ,则称是保形变换。


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9.2 保角变换降维法

1.保角变换降维法

有半无限大平板y>0,在边界y=0上,处保持温度 。在 处温度保持为零度。求平板上温度分布。


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2.保角变换降维法一般定理

定理1如果 是Laplace方程 的解,那么当 由一保角变换成一个 的函数,仍满足Laplace方程。


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9.3 Laplace方程的保角变换解法

经常要求一个二元的实函数在已知的区域中调和并满足已知区域的边界条件,也就是求解Laplace方程的问题。把复杂的边界化为简单边界,不妨利用保角变换法。前面已经证明,一个Laplace方程的解经过保角变换后仍然是相应的Laplace方程的解。下面举例说明如何通过保角变换法来解Laplace方程。对于Laplace方程,可用分离变量法或解的积分公式来解决。但如果边界的形状比较复杂,分离变量法和积分公式用起来都有困难,则常可用保角变换把某个(边界形状比较复杂)区域内的Laplace边值问题变换为某个新区域(边界形状比较简单,比如圆、上半平面或带形域等)的Laplace边值问题。


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第十章 非线性数学物理方程简介

10.1 典型非线性方程

10.2 行波解

10.3 HopfCole变换

10.4 逆散射方法

10.5 Bäcklund变换


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10.1 典型非线性方程

定义1

定义2

称为Burgers方程。

称为KdV方程。


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定义3

称为KdVB方程。

定义4

称为KleinGordon方程。

定义5

称为非线性Schrödinger方程或NLS方程。


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定义6

称为KuramotoSivashinsky(KS)方程。

定义7

偏微分方程的行波解是指具有形式的解。


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10.2 行 波 解

一、Burgers方程的行波解

Burgers方程的行波解:


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三、SineGordon方程的行波解

设SineGordon方程的行波解为


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二、KdV方程的行波解

KdV方程的行波解为


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四、NLS方程的行波解

NLS方程有一个非常简单的单频解


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10.3 HopfCole变换

定理1 扩散方程 与Burgers方程的解之间满足


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定理2 若 是线性方程 与的解,则

是KdV方程 的解。


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定理3若 是线性方程与 的解,则

是KdVB方程 的解。


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10.4 逆散射方法

求解KdV方程的Cauchy问题的逆散射法可以归纳为:

(1)一维Schrödinger方程在无穷维空间的特征值问题及相应系数;

(2)确定t=0时散射信息,归纳得出任意时刻的散射信息,得到 ;

(3)由 ,求得 。


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10.5 Bäcklund变换

1.不同方程之间的Bäcklund变换

设 分别为非线性偏微分方程与线性偏微分方程,T,K是微分算子。若存在微分算子P,Q使下面方程组成立:

则称方程组为Bäcklund变换(u,v可以互换)。


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2.自Bäcklund变换

设 是同一个非线性方程的不同解。若存在微分算子P,Q使下面方程组成立:

则称方程组为自Bäcklund变换。


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