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Analyse dimensionnelle. Pierre GONTARD – Lycée l’Oiselet 38300 BOURGOIN-JALLIEU. Le système international d’unités. Il repose sur 7 grandeurs fondamentales :. Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base. Le système international d’unités. Exemples :

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Presentation Transcript
analyse dimensionnelle

Analyse dimensionnelle

Pierre GONTARD – Lycée l’Oiselet

38300 BOURGOIN-JALLIEU

le syst me international d unit s
Le système international d’unités

Il repose sur 7 grandeurs fondamentales :

Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base.

le syst me international d unit s1
Le système international d’unités

Exemples :

  • La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par seconde ms-1.
  • L’énergie cinétique (Ec = ½ mv2) s’exprime en joule et 1 J = 1 kgm2s-2.
  • L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mètre cube (molm-3).
notion de dimension
Notion de dimension
  • Les grandeurs qui décrivent un phénomène physique sont caractérisées par leur « dimension ».

Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, d’une énergie, d’une tension électrique…

  • La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, …
  • La notion de dimension est très générale et ne sup-pose aucun choix particulier de système d’unités.
notion de dimension1
Notion de dimension

Grandeur

Dimension

Longueur L

Temps T

Masse M

Intensité du courant I

Quantité de matière N

Température Q

analyse dimensionnelle1
Analyse dimensionnelle
  • Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension.
  • Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par un temps, l’équation aux dimensions s’écrit : [v] = LT-1.
  • La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri-mer à partir des dimensions fondamentales.
  • Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension.

Exemple : dans la relation DEc = WAB(&) les deux membres ont la dimension d’une énergie.

dimension d une grandeur
Dimension d’une grandeur
  • Energie cinétique : Ec = ½ mv2

[Ec] = ML2T-2

[Ec] = ?

  • Masse volumique : r =

[r] = ?

[r] = ML-3

  • Densité d’un liquide : d =

[d] = ?

La densité est une grandeur sans dimension.

dimension d une grandeur1

B

a

A

R

Dimension d’une grandeur
  • Remarque : une grandeur sans dimension peut cependant avoir une unité.
  • Exemple : l’unité d’angle, dans le système international, est le radian et [a] = 1 puisque :
dimension d une grandeur2
Dimension d’une grandeur
  • Dimension d’une force ?

On peut exploiter le théorème de la variation de l’énergie cinétique : Ec(B) – Ec(A) = WAB(&)

DEc = &i = FABcos a  si a = 0

?

ML2T-2L-1 = MLT-2

Relation que l’on pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2e loi de Newton :

F = ma .

Remarque : [F] = MLT-2 1 N = 1 kg.m.s-2

dimension d une grandeur3
Dimension d’une grandeur
  • Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir le résultat…

Exemple : la tension électrique U a pour dimension

[U] = L2 MT-3 I-1

résultat qui peut s’obtenir en combinant

les différentes relations :

F = q·E  ; E = U/d  ; q = I·t  ; F = m·a…

  • On pourra, en général, garder [U] dans l’équation aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm uR = Ri, on pourra écrire :
homog n it d une formule
Homogénéité d’une formule
  • Une équation est dite homogène si ses deux membres ont la même dimension.
  • Exemple : « v = dt » n’est pas homogène :

[v] = LT-1 et [dt] = LT

La relation v = dt est donc fausse.

  • Attention, une expression homogène n’est pas nécessairement juste : Ec = mv2…
homog n it d une formule1
Homogénéité d’une formule
  • Le faisceau laser ayant une longueur d’onde l, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ?
homog n it d une formule2
Homogénéité d’une formule

[d] = L2L-1 = L

[d] = L2L-1 = L

[d] = L2L-2 = 1  L

[d] = L3 L

  • La formule correcte est :

Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

homog n it d une formule3
Homogénéité d’une formule
  • Vérifier que la formule : T0 = 2p

est homogène.

Formule où T0 représente la période des oscillations d’un pendule simple, l sa longueur et g l’intensité de la pesanteur.

homog n it d une formule4
Homogénéité d’une formule
  • T0 = 2p

L’expression est homogène si : [T0] =

[T0] = T ; [l] = L

P = mg  g = P/m

[g] = [F]/[m] = MLT-2M-1 = LT-2

[l/g] = LT2L-1 = T2 et donc = T

autre r gle importante
Autre règle importante
  • Pour respecter l’homogénéité d’une relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension.
  • Exemples : Ec + Ep = E ; uR + uC = 0 …

Une relation telle que : (1)

n’est correcte que si : [l] =

?

T-1

car :

(1) Forme différentielle de la loi de décroissance radioactive (l : constante radioactive).

ad