Алгебра логики
Download
1 / 77

Алгебра логики - PowerPoint PPT Presentation


  • 147 Views
  • Uploaded on

Алгебра логики. Логика — это наука о формах и способах мышления. Основными формами абстрактного мышления являются :. 1.Понятие 2.Высказывание 3 . Умозаключение. Понятие. Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Алгебра логики' - dawn-austin


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Логика

— это наука о формах и способах мышления.


Основными формами абстрактного мышления являются :

1.Понятие

2.Высказывание

3.Умозаключение


Понятие мышления являются :

  • Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

  • Примеры: прямоугольник, проливной дождь, компьютер


Какие известные вам понятия определяются следующими предложениями:

1)      группа слов, которая выражает законченную мысль;

2)      расстояние, преодолеваемое за единицу времени;

3)      часть прямой, ограниченная с двух сторон;

4)      многоугольник с наименьшим числом сторон;

5)      последовательность команд, которую выполняет компьютер в процессе обработки данных;

6)   система хранения файлов и организации каталогов.


А = В определяются следующими предложениями:

Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна.

  •       тождество

    пример: А= «столица Франции»

    В= « Париж»      


А В определяются следующими предложениями:

В

А

Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна.

  • подчинение

    пример:

    А=«журналы»

    В=«Информатика в школе»

    исключение

    пример:

    А=«комплектующие компьютера»

    В=«школьные принадлежности»

    ·    


Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна.

  • пересечение

    пример:

    А=«сотрудники»

    В = «академики»

  • соподчинение

    пример:

    А=«мальчики» и В=«девочки»

    С=«школьники»

А

В

С

А

В


По аналогии с приведенными в таблице примерами для каждого типа отношений между понятиями придумайте 2-3 собственных примера.


Высказывание таблице примерами для каждого типа отношений между понятиями придумайте 2-3 собственных примера.

  • Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.

  • Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

  • Примеры: Буква «а» - гласная.

    Дважды два – четыре.


Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.

  • Какой длины эта лента?

  • Прослушайте сообщение.

  • Делайте утреннюю зарядку.

  • Париж – столица Англии.

  • Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.

  • Назовите устройство ввода информации.


Умозаключение высказываниями? Определите их истинность

  • Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

    Пример: дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание «Этот треугольник равносторонний» путем умозаключений.

    Ответ: пусть основанием треугольника является сторона с. Тогда а=в. Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например, а. Тогда в=с. Следовательно а=в=с. Треугольник равносторонний.


Алгебра высказываний высказываниями? Определите их истинность


Высказывание высказываниями? Определите их истинность может быть:

  • простым;

  • составным.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

(Миша – школьник).

Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).

(Миша – школьник и отличник).


Логическая переменная – высказываниями? Определите их истинностьэто простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (А, В, С и т.д.)

А = {Аристотель - основоположник логики}

В = {На яблонях растут бананы}.

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0.

Таким образом, А = 1, В = 0.


Логическая функция – высказываниями? Определите их истинностьсоставное высказывание, содержащее несколько простых мыслей, соединенных логическими операциями. Ее символическое обозначение – F(A,B)


Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями?

1) Город Париж — столица Франции.

2) Число 2 является делителем числа 7.

3) 3 + 5 = 2 * 4.

4) 2 + 6 > 10.

5) Сканер — это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.

6) II + VI > VIII.

7) Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8.

8) Мышка — устройство ввода информации.


Логические операции являются истинными, а какие ложными высказываниями?

алгебры высказываний


  • Логическая операция являются истинными, а какие ложными высказываниями? КОНЪЮНКЦИЯ:

  • в естественном языке соответствует союзу и;

  • обозначение: &;

  • в языках программирования обозначение: and;

  • иное название: логическое умножение.


  • Логическая операция являются истинными, а какие ложными высказываниями? ДИЗЪЮНКЦИЯ:

  • в естественном языке соответствует союзу или;

  • обозначение: V ;

  • в языках программирования обозначение: or;

  • иное название: логическое сложение.


  • Логическая операция являются истинными, а какие ложными высказываниями? ИНВЕРСИЯ:

  • в естественном языке соответствует словам "Неверно, что... " и частице не;

  • обозначение: ¯A;

  • в языках программирования обозначение: not;

  • иное название: отрицание.


  • Логическая операция являются истинными, а какие ложными высказываниями? ИМПЛИКАЦИЯ:

  • в естественном языке соответствует обороту

    Если ..., то ...;

  • обозначение:→, ;

  • иное название: логическое следование.


  • Логическая операция являются истинными, а какие ложными высказываниями? ЭКВИВАЛЕНЦИЯ:

  • в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда и в том и только в том случае;

  • обозначение: ,~ ;

  • иное название: равнозначность.


Приоритеты логических операций являются истинными, а какие ложными высказываниями?

  • действия в скобках;

  • инверсия;

  • конъюнкция &;

  • дизъюнкция V;

  • импликация ;

  • эквиваленция .


Логическое выражение являются истинными, а какие ложными высказываниями?

Логическое выражение – это составное высказывание, выраженное в виде формулы логических переменных и логических операций.

Значением логического выражения могут быть только ИСТИНА или ЛОЖЬ.


Решение задач являются истинными, а какие ложными высказываниями?

Пример 1. Определите истинность простых высказываний:

  • А = {Принтер – устройство вывода информации},

  • В = {Процессор – устройство хранения информации},

  • С = {Монитор – устройство вывода информации},

  • D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

    Пример 2. Определите истинность составного высказывания:

    ( ¯А &¯B ) & (C VD)


Решение являются истинными, а какие ложными высказываниями?

  • На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний:

  • А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.

  •         Определим сначала истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

    (¯1& ¯0 ) & (1 V 0) = (0&1) & (1 V 0) = 0&1 = 0


Пример 2. Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню, и если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку»

Решение: проанализируем составное высказывание. Оно состоит из трех простых высказываний:

А = Петя поедет в деревню;

В = Будет хорошая погода;

С = Он пойдет на рыбалку.

Тогда логическое выражение примет вид:

F=A&(B→C)


  • Пример 3. логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню, и если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку» Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение ((AVВ) & В) С.


Решение логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню, и если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку»

Импликация ложна на единственном наборе (1 0). Значит, С = 0, ((AVВ) & В) = 1.

        Конъюнкция истинна на единственном наборе (1 1). Значит, В = 1 и (AVВ) = 1.

        Дизъюнкции истинна при наборах (1 0) и (1 1).

        Следовательно, существуют два набора, удовлетворяющих условию задачи: (А = 0, В = 1, С = 0) и (А = 1, В = 1, С = 0).


Пример 4.Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1)      Число 376 четное и трехзначное.

2)      Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

3)      Земля имеет форму шара.

4)      На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу.

5)      Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

6)      Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.


Пример 5. Найдите значения логических выражений:

    а) (1V1)V(1V0);

    б) ((1V0)V1)V1;

    в) (0V1)V(1V0);

    г) (0&1)&1;

    д) 1&(1&1)&1;

    е) ((1V0)&(1&1))&(0V1);

    ж) ((1&0)V(1&0))V1;

    з) ((1&1)V0)&(0V1);

    и) ((0&0)V0)&(1V1).  


Пример 6. Даны два высказывания: логических выражений:

А = {2 * 2 = 4}, В = {2 * 2 = 5}.

Очевидно, что А = 1, В = 0.

Какие из высказываний а)—е) истинны?

а)¯A; б) ¯B ;

в) А & В; г) AVВ;

д) АВ; е) АВ.  


Пример 7. Составьте и запишите сложные высказывания из простых с использованием логических операций.

  • А является max(А, В, С);

  • Если Х делится на 2, то оно четное.

  • Хотя бы одно из чисел К, L, М положительно.

  • Все числа Х, У, Z равны 12.

  • Хотя бы одно из чисел А, В, С отрицательно.


Таблицы истинности сложные высказывания из простых с использованием логических операций.


Таблица истинности сложные высказывания из простых с использованием логических операций.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицейистинности составного высказывания.


Для составления таблицы истинности необходимо:

  • Выяснить кол-во строк в таблице: 2n, где n – кол-во переменных;

  • Выяснить кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций;

  • Установить последовательность выполнения логических операций;

  • Построить таблицу, указывая названия столбцов;

  • Заполнить таблицу истинности.


Решение примеров истинности необходимо:

Пример 1. Для формулы

A&(BV ¯B &¯C)

построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.


Логические законы и правила преобразования логических выражений


1. Закон двойного отрицания преобразования логических выражений

_

_

А = A


2. преобразования логических выражений Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

АVB = BVA

— для логического умножения:

A&B = B&A


3. преобразования логических выражений Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

(AVB)VC = AV(BVC)

— для логического умножения:

(A&B)&C = A&(B&C)


4. преобразования логических выражений Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

(AVB)&C = (A&C)V(B&C)

— для логического умножения:

(A&B)VC = (AVC)&(BVC)


5. преобразования логических выражений Закон общей инверсии (законы де Моргана):

_____ _ _

A V B = A & B

_____ _ _

A & B = AV B

______ __

(А→ B) = A & B

__

A → B = A V B


6. преобразования логических выражений Закон идемпотентности

— для логического сложения:

AVA = A

— для логического умножения:

A&A = A


7. преобразования логических выражений Законы исключения констант:

— для логического сложения:

AV1 = 1; AV0 = A

— для логического умножения:

A & 1 = A; A & 0 = 0


8. преобразования логических выражений Закон противоречия:

_

A & A = 0


9. преобразования логических выражений Закон исключения третьего:

_

AVA = 1


10. преобразования логических выражений Закон поглощения:

  — для логического сложения:

AV(A&B) = A

  — для логического умножения:

A&(AVB) = A


11. преобразования логических выражений Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

_

(A & B)V(A& B) = B

— для логического умножения:

_

(AVB) & (AVB) = B


12. преобразования логических выражений Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(A<=>B) = (B<=>A)


Примеры приведения логических формул к нормальному виду с помощью законов алгебры логики.

Формула имеет ненормальную форму, если в ней присутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при логических переменных.

Пример: упростить логическое выражение

_____________

_____

F= (A V B) → (B V C)

Ответ: B V A & C


Решение логических задач формул к нормальному виду с помощью законов алгебры логики.

Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

  • средствами алгебры логики;

  • табличный;

  • с помощью рассуждений.


Решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи; 2. вводится система обозначений для логических высказываний; 3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи; 4. определяются значения истинности этой логической формулы; 5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении


Пример 1. средствами Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?


Решение. средствами Введем обозначения для логических высказываний:

Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.


Решение логических задач табличным способом

Пример 2. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

1. Смит самый высокий; 2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; 5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?


Решение. табличным способом Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трoе, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним нулями:


Ответ: табличным способом Браун играет на альте и кларнете, Смит — на флейте и гобое, Вессон — на скрипке и трубе.


Пример 2. табличным способом Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.


Решение. табличным способом Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение).

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.


Решение логических задач с помощью рассуждений

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?


Решение помощью рассуждений. Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский; 2. Сергей не изучает китайский; 3. Михаил не изучает арабский. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.


Решение задач с помощью таблицы помощью рассуждений

ЗАДАЧА. Пятеро одноклассников – Аня, Саша, Лена, Вася и Миша – стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, информатике, литературе и географии. Известно, что:

  • Победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на компьютере;

  • Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;

  • Саша всегда побаивался физики;

  • Лена, Саша и победитель и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

  • Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике;

  • Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

    Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят?


Решение задач средствами алгебры логики

ЗАДАЧА. Виновник ночного дорожно-транспортного происшествия скрылся с места аварии. Первый из опрошенных свидетелей сказал работникам ГАИ, что марка машины нарушителя – «Жигули», первая цифра номера машины – единица. Второй свидетель сказал, что машина была марки «Москвич», а номер начинался с семерки. Третий свидетель заявил, что машина была иностранная, номер начинался не с единицы. А доброжелатель по телефону сообщил, что каждый из свидетелей правильно указал либо марку машины, либо первую цифру номера. Помогите следствию, определите марку машины и первую цифру номера?


Построение логических схем алгебры логики

Любая информация в компьютере представлена в виде электрических импульсов. С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет, электрический импульс есть или его нет. Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции.


Схема 1 алгебры логики

  • Оба контакта в положении «вкл». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

  • Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.

  • Обратная ситуация. Лампочка не горит.

  • Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

    Вывод: первая схема действительно реализует логическую операцию «И»


Схема 2 алгебры логики

  • Оба контакта в положении «вкл». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

  • Первый контакт в положении «вкл», второй – в положении «выкл». Ток идет, лампочка горит.

  • Обратная ситуация. Лампочка горит.

  • Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

    Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «ИЛИ»


Схема 3 алгебры логики

В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ Когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «НЕ»


Правила построения логических схем

  • Определить число логических переменных.

  • Определить количество базовых логических операций и их порядок.

  • Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

  • Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.


Пример 1. схем

Составить логическую схему для выражения F = X v Y & X,

где Х = истина, Y = ложь.


Пример 2 схем

Составить логическую схему для

_____

выражения F = X & Y v (Y v X),

где Х = 1, Y = 0.



Дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом.Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).


Из логических элементов путем их комбинации строятся основные схемы компьютера:

  • Триггер - электронный прибор, имеющий два устойчивых состояния является типичным запоминающим элементом, способным хранить 1 бит информации.

  • Регистр - совокупность триггеров, предназначенных для хранения числа в двоичном коде.

  • Сумматор - устройство обеспечивающее суммирование двоичных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда.


Что такое триггер? комбинации строятся основные схемы компьютера:

Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю.


ad