Einf hrung in die meteorologie met210 teil iv dynamik der atmosph re
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 32

Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre PowerPoint PPT Presentation


  • 80 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre. Clemens Simmer. IV Dynamik der Atmosphäre. Kinematik Divergenz und Rotation Massenerhaltung Stromlinien und Trajektorien Die Bewegungsgleichung Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte Navier-Stokes-Gleichung

Download Presentation

Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Einf hrung in die meteorologie met210 teil iv dynamik der atmosph re

Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

Clemens Simmer


Iv dynamik der atmosph re

IV Dynamik der Atmosphäre

  • Kinematik

    • Divergenz und Rotation

    • Massenerhaltung

    • Stromlinien und Trajektorien

  • Die Bewegungsgleichung

    • Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte

    • Navier-Stokes-Gleichung

    • Skalenanalyse

  • Zweidimensionale Windsysteme

    • natürliches Koordinatensystem

    • Gradientwind und andere

    • Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne


Iv 3 zweidimensionale windsysteme

IV.3 Zweidimensionale Windsysteme

  • Vereinfachte zweidimensionale Bewegungsgleichung

  • Geostrophischer Wind

  • Gradientwind

  • Zyklostrophischer Wind

  • Trägkeitskreis

  • Einfluss der Reibung

  • Ekman-Spirale


Iv 3 1 horizontale bewegungsgleichung im nat rlichen koordinatensystem 1

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (1)

  • einfachere Beschreibung, welche Zentrifugalbeschleunigung durch gekrümmte Isobaren explizit enthält

    Ausgangspunkt: horizontale Bewegungsgleichung ohne 2Ωwcosφ-Term

Übergang in natürliches Koordinaten- system

… mit

Produktregel


Iv 3 1 horizontale bewegungsgleichung im nat rlichen koordinatensystem 2

R>0 R<0

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (2)

Δφ

Δl

R

Achtung: Der Krümmungsradius R ist wieder so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung positiv ist!


Iv 3 1 horizontale bewegungsgleichung im nat rlichen koordinatensystem 3

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (3)

Annahmen:

a) Stationarität →∂vh/∂t=0

b) keine Änderung des Betrags der Windgeschwindigkeit entlang der Bahn →∂(vh2/2)/∂s=0

Reibung und Druckgradient kompensieren sich entlang der Strömung.

Zentrifugal-, Druckgradient und Coriolisbeschleunigung kompensieren sich senkrecht zur Strömung

Keine Reibung senkrecht zur Strömung


Iv 3 1 horizontale bewegungsgleichung im nat rlichen koordinatensystem 4

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (4)

Fallunterscheidung - Bezeichnungen


Iv 3 2 geostrophischer wind

IV.3.2 Geostrophischer Wind

  • keine Reibung

  • keine Zentrifugalbeschleunigung, vh2/R=0 → R=±∞ , also gradlinige Isobaren!


Iv 3 3 gradientwind 1

T

H

IV.3.3 Gradientwind (1)

  • keine Reibung

Im H wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!

Im T kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.


Iv 3 3 gradientwind 2

IV.3.3 Gradientwind (2)

Größenabschätzung des „Korrekturterms“ 1/f vh2/R:

Formale Bestimmung von vG

(quadratische Gleichung)

Es gibt also 2 Lösungen.

Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) ∂p/∂n>=<0,

so gewinnt man insgesamt 18 „Lösungen“ für den Gradientwind.


Iv 3 3 gradientwind 4

fC

= - fC

= - fC

= - fC

+

= - fC

+

+

+

fP fZ

fP fZ

fP fZ

fP fZ

T

H

H

T

anormales

Hoch

anormales

Tief

normales

Hoch

normales

Tief

IV.3.3 Gradientwind (4)

  • Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen wir erst qualitative Überlegungen anstellen.

  • Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber quer zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ.

  • Mit Geschwindigkeit (und damit fC) fest gibt es vier Möglichkeiten, wie sich fP und fZ dazu orientieren können:

hohe Druckgradienten

schwache Krümmung

niedrige Druckgradienten

starke Krümmung

  • Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.


Iv 3 3 gradientwind 5

|vh2/R|

Wirbel mit R=250 km

fC

= - fC

= - fC

= - fC

+

= - fC

+

+

+

fP fZ

fP fZ

fP fZ

fP fZ

|fvh|

T

H

5x10-3

m/s²

H

T

C

anormales

Hoch

anormales

Tief

D

normales

Hoch

normales

Tief

A,B

niedrige Druckgradienten

starke Krümmung

0

hohe Druckgradienten

schwache Krümmung

0

20

40

m/s

IV.3.3 Gradientwind (5)

D

A

B

C

  • Die rechte Darstellung zeigt die Coriolisbeschleunigung (mit f=10-4 s1) und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Wirbel mit 250 km Radius.

  • Hochs sind nur bis zum Kreuzungspunkt von fC und fZ möglich da fC>fZ sein muss. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt dabei der Druckgradient erst zu (normales Hoch) und dann wieder ab (anormales Hoch).

  • Bei hohen Geschwindigkeiten ist nur ein (normales oder anormales) Tief möglich.

  • Anomale Systeme können nur durch Störungen erzeugt werden.


Iv 3 3 gradientwind 51

IV.3.3 Gradientwind (5)

Analyse der 2x3x3 Lösungen von

  • R=0 → vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig)

  • ∂p/∂n=0 → vG=-fR/2±|fR/2|

    • R>0 → vG≤0 triviale oder unphysikalische Lösung

    • R<0 → vG=0 triviale Lösung

    • → vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonal

    • Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4 unphysikalisch sein müssen


Iv 3 3 gradientwind 6

IV.3.3 Gradientwind (6)

Diskussion

  • Geostrophischer Wind ist in allen Lösungen mit R=±∞ enthalten

  • Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet da Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.

  • Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte auftreten (Staubteufel, Badewanne)

  • Besonderheit des Hochs:

  • Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen.

  • Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.


Iv 3 4 zyklostrophischer wind

IV.3.4 Zyklostrophischer Wind

  • keine Reibung

  • keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius)


Iv 3 5 tr gheitskreis 1

IV.3.5 Trägheitskreis (1)

  • keine Reibung

  • kein Druckgradient

Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.


Iv 3 5 tr gheitskreis 2

IV.3.5 Trägheitskreis (2)

  • Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf:

    • Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung über den Kontakt zur Erdoberfläche.

    • Stabilisiert sich die Luftschicht durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.

    • Nehmen wir an, dass die Reibung vollständig aufhört, so haben wir es mit einem stark ageostrophischen Wind zu tun bei gegebenem Druckgradient und Coriolisbeschleunigung.

    • Der Wind beschleunigt dann zunächst so lange die Windrichtung eine Komponente zum Druckgradient hat.

    • Ist der Wind parallel zu den Isobaren ist er supergeostrophisch und wird bei weiterer Rechtsablenkung abgebremst bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….

  • Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.


Iv 3 5 tr gheitskreis 3

y ,

x ,

IV.3.5 Trägheitskreis (3)

  • Ausgangspunkt: stationäres Druckfeld, ageostrophische Windkomponente, ohne Reibung.

  • Die Zentrifugalbeschleunigung ist jetzt wieder im ersten Term enthalten!


Iv 3 5 tr gheitskreis 4

allgemein v(t0)=0 vg=0

IV.3.5 Trägheitskreis (4)

  • Weicht der ursprüngliche Wind vom geostrophischen ab, so führt der Windvektor eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit f um letzteren aus (a, b).

  • Ohne Druckgradient ergibt sich der Trägheitskreis (c).

  • Wie sehen die Trajektorien für die 3 Fälle aus?


Iv 3 6 einfluss der reibung

IV.3.6 Einfluss der Reibung

  • Fallunterscheidung

  • Ist Coriolisbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung vernachlässigbar, so sind im stationären Fall Druchgradientbeschleunigung und Reibung entgegengesetzt und gleich. Der dann resultierende antitripische Wind weht direkt vom hohen zum niedrigen Druck.

  • Erweitern wir um den Beitrag der Coriolisbeschleunigung bei Beschränkung auf gradlinige Isobaren (also keine Zentrifugalbeschleunigung), so muss der Windvektor eine Komponente zum tiefen Druck haben. Die Reibung selbst kann dabei nicht genau parallel zum Windvektor wirken.

  • Eine vereinfachte mathematische Analyse ergibt, dass der Wind vom Boden, wo er mit ca. 45° in das Tief weht, mit der Höhe zunehmend in den geostrophische Wind in der freien Atmosphäre in Form der Ekman-Spirale hineindreht.


Iv 3 6 1 antitriptischer wind

T

H

IV.3.6.1 Antitriptischer Wind

Annahmen:

Coriolisbeschleunigung = 0 (z. B. Äquatornähe)

Zentrifugalbeschleunigung =0(gradlinie Isobaren)

Der antitriptische Wind ist ein Ausgleichswind zwischen Druckgradientbeschleunigung und Reibungsbremsung: Die Luft wird gerade so stark beschleunigt, dass die mit dem Wind zunehmenden Reibung die Druckgradientbeschleunigung gerade ausgleicht.


Iv 3 6 2 richtung der reibung

T

H

IV.3.6.2 Richtung der Reibung

  • Annahmen:

  • stationäre Strömung

  • gradlinige Isobaren

  • keine horizontale Windscherung

  • Reibung durch Turbulenz: nach 3. reduziert sich dann die Divergenz des Schubspannungstensors auf eine reduzierte vertikale Komponente

Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind nicht parallel zum Windvektor. Dies ist auch ersichtlich aus der Form des Reibungsterms unter Berücksichtigung einer zunächst mit der Höhe stark, dann schwächer zunehmenden Windgeschindigkeit.


Konstruktion des reibungsvektors

T

H

Konstruktion des Reibungsvektors


Ekman spirale 1

Ekman-Spirale (1)

Wir beginnen mit:

  • Annahmen:

  • turbulenter Diffusionskoeffizient K

  • höhenunabhängig

  • b) geostrophischer Wind höhenunabhängig

Komponentenweise aufschreiben

v-Komponente mit i multiplizieren

Komponenten addieren

Definiere:

Homogene Diff‘gleichung 2. Ordnung


Ekman spirale 2

Ekman-Spirale (2)

Lösung der homogenen Diff‘gleichung 2. Ordnung

mit

  • Lösungsschritte:

  • Möglichst allgemeinen Lösungsansatz machen

    • charakteristische Gleichung

    • i.a. unterschiedliche Lösungen

  • Die allgemeine Lösung ergibt sich dann durch Addition aller Lösungen mit freien Koeffizienten

  • Die Bestimmung der freien Koeffizienten erfolgt aus der Anwendung bekannter Bedingungen an den Rändern (z.B. v=0 am Boden) oder aus physikalischen Erwartungen an die Lösung (z.B. kein Wachsen nach ∞)

  • Schritt 1: Allgemeiner Ansatz

  • schlägt eine Höhenabhängigkeit vor

  • exponentielle Zunahme oder Abnahme wenn m imaginär ist

  • periodische Änderung, wenn m real ist, da


Ekman spirale 3

Ekman-Spirale (3)

Einsetzen von

ergibt

in


Ekman spirale 4

Ekman-Spirale (4)

Schritt 2:

Allgemeine Lösung durch Addition der möglichen Lösungen

Mit dem Ansatz

und der

charkteristischen Gleichung

ergibt sich dann die allgemeine Lösung zu


Ekman spirale 5

Ekman-Spirale (5)

Schritt 3:

Einschränkung der allgemeinen Lösung durch Randbedingungen u.ä.


Ekman spirale 6

Ekman-Spirale (6)

Teile wieder auf nach

Annahme:


Ekman spirale 7

Ekman-Spirale (7)

Theorie: Ablenkwinkel bei z=0 ist 45°

Achtung:

K war höhenkonstant angesetzt, ändert sich aber mit der Höhe, Stabilität und Windgeschwindigkeit

Beobachtungen in 10 m Höhe:

45°

Beispiel einer Messung


Ekman spirale 8

Ekman-Spirale (8)

Reibung gibt dem bodennahen Wind eine Komponente zum tiefen Druck

→ Auffüllen des Tiefs

→ Abbau des Hochs


Bungen zu iv 3

Übungen zu IV.3

  • In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche ein Druckgradient von 5 hPa/200km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50° und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle), c) der zyklostrophische Wind bei R = 100 km., d) der antitriptische Wind, wenn für die Reibungsbeschleunigung als grobe über Land gültige Beziehung angenommen wird aR = - 1 x 10-4 s -1vH. Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Dichte 1 kg/m3 beträgt.

  • Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan, Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab.

  • Berechne und zeichne die Trajektorien für die drei Fälle auf Folie IV.3.5 Trägheitskreis (4).


  • Login