Download
1 / 8
80 likes | 191 Views
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ. Διαδικασίες Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Processes) 2 - 4 -2012. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Η εκθετική κατανομή Μια τ.μ . Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = 1-exp(- λ t), f Χ (t) = λ exp(- λ t) E( Χ ) = 1/ λ, var ( Χ ) = 1/λ 2
E N D
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Processes) 2-4-2012
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Η εκθετική κατανομή • Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: • Fχ(t) = 1-exp(-λt), fΧ(t) = λ exp(-λt) • E(Χ) =1/λ, var(Χ) = 1/λ2 • Ιδιότητα έλλειψης μνήμης • P[X>t+s/X>t]=P[X>s] • Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων • Χ1: με παράμετρο λ1 • Χ2: με παράμετρο λ2 • Χ=min{Χ1,Χ1}είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = (λ1+λ1)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ • ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Στοχαστικές διαδικασίες • Ανεξάρτητες διαδικασίες • Στάσιμες διαδικασίες • Διαδικασίες Markov • P[X(tn+1)=xn+1/X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=X1]= =P[X(tn+1)=Xn+1/X(tn)=xn] • Εργοδικότητα • Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις • Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων • Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Η κατανομή Poisson: • kαφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα • Pk(T) = e –λT (λΤ)k/ k ! • ET(k) = λT • VarT(k) = λΤ • Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της ΔιωνυμικήςΚατανομής: • Χωρίζω το διάστημα Τ σε Νυποδιαστήματα. Σε κάθε υποδίαστημα θεωρώ N ανεξάρτητεςδοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p T = N x ΔΤ, p = λΔΤ = λΤ/Ν • Η πιθανότητα kεπιτυχιών σε Nδοκιμές είναι Pk (T) = Pk (N) = N!/(K!(N-k)!) x (λΤ/N) kx (1-λΤ/N) N-k • Στο όριοΝ ∞, ΔΤ 0, : Pk (T) e –λT (λΤ)k / k !
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: • Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ • Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poissonλ1, λ2 διαδικασία Poissonλ = λ1+ λ2 • Διάσπαση διαδικασίας Poissonλμε πείραμα Bernoullip, q = 1-p ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ1= p λ λ2= q λ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στοιχεία από Έννοιες Διαδικασιών Markov • Συστήματα και Αλυσίδες Markov διακριτού και συνεχούς χρόνου • Πιθανότητες και γράφοι / διαγράμματα μετάβασης • Στατικές κατανομές και πιθανότητες καταστάσεων Birth-Death Processes • Παραδοχές: • Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων • Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) • Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών • Κατάσταση ισορροπίας (steady state)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδοχές Διαδικασίας Γεννήσεων – Θανάτων • Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-ΔΤ, ΔΤ0: • Μία άφιξη στο διάστημα ΔΤ, με πιθανότητα λn-1ΔΤ • Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μn+1ΔΤ • Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1- (λn+μn)ΔΤ • Η εξίσωση μετάβασης (Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: Pn(t) = λn-1ΔΤ Pn-1(t-ΔΤ) + μn+1ΔΤ Pn+1(t-ΔΤ) + [1- (λn+μn)ΔΤ] Pn(t-ΔΤ)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στο όριο, ΔΤ dt: [Pn(t) - Pn(t-dt)]/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) ή d Pn(t)/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) d P0(t)/dt = μ1P1(t) – λ0P0(t) και σε σταθερή κατάσταση t οο (αν υπάρχει) : Pn(t) = Pn: Εργοδικές Πιθανότητες (λn+μn)Pn= λn-1Pn-1 + μn+1Pn+1(εξισώσεις ισορροπίας) λ0P0= μ1P1 P0 +P1 +P2+… = 1
