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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores. Computadores são "binários". Por que 0 ou 1 ? 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico Transistores tem duas posições estáveis: ligado ou desligado Expansão binária de um número

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c lculo num rico m todos num ricos

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Representação de números em computadores

computadores s o bin rios
Computadores são "binários"
  • Por que 0 ou 1 ?
  • 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico
    • Transistores tem duas posições estáveis: ligado ou desligado
  • Expansão binária de um número
    • Representação binária: (an, an-1, ..., a1, a0)
convers es entre base 10 e base 2

2

17

1

2

8

1

2

4

0

2

2

0

Conversões entre base 10 e base 2
  • Da base 2 para a base 10
    • (100011) = 1¢25 + 0¢24 + 0¢23 + 0¢22 + 1¢21 + 1¢20

= 35

  • Da base 10 para a base 2

35

2

1

100011

0

representa o de n meros reais
Representação de números reais
  • Representação de ponto fixo
    • k e n são inteiros satisfazendo k < n e usualmente k· 0 e n>0
    • xi são inteiros satisfazendo 0 ·xi < 
  • Exemplo:
representa o de n meros reais1
Representação de números reais
  • Representação de ponto flutuante
    •  é a base do sistema de numeração
    • e é o expoente
    • d é a mantissa. d é um número em ponto fixo:
    • frequentemente: k=1

0 · di <  i=1,...,t (número de dig. sign.)

-1· d < 1

-m · e · M

representa o de n meros reais2
Representação de números reais
  • d1 0 representa o sistema de números em ponto flutuante normalizado.
  • Como representar o zero ?
    • mantissa = 0
    • e = -m
exemplos
Exemplos
  • 0.35 =
    • mantissa: (3 £ 10-1 + 5£ 10-2)
    • e = 0
    • = 0.35 £ 100
  • -5.127 =
    • mantissa: -(5 £ 10-1 + 1£ 10-2 + 2 £ 10-3 + 7 £ 10-4)
    • e = 1
    • = -0.5127 £ 101
  • 0.0003 =
    • mantissa: (3 £ 10-1)
    • e = -3
    • 0.3 £ 10-3
nota o
Notação
  • Representação de um sistema de notação com base , número de dígitos significativos t e expoentes máximo e mínimo m e M:
    • F(, t, m, M)

§ 0.d1d2d3...dt£e

    • d1 0;
    • m · e · M
exemplos1
Exemplos
  • Represente os números 0.35, 5391 e 0.0003 no sistema F(10,3,2,2)
    • O.35:

(3£10-1 + 5£10-2 + 0£10-2)£ 100

0.350 £100

    • 5391

(5£10-1 + 3£10-2+ 9£10-3) £ 104

    • 0.0003

(3£10-1 + 0£10-2+ 0£10-3) £ 10-3

overflow

underflow

exemplo c lculo num rico sperandio mendes e silva
Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e Silva)
  • Tome o sistema de representação dado por

F(2,10,-15,15)

a) Represente de alguma maneira como esse sistema pode ser armazenado em um computador binário.

valor da mantissa

valor do expoente

Sinal do expoente

Sinal da mantissa

exemplo c lculo num rico sperandio mendes e silva1

2

11

1

2

1

0

1

1

1

5

1

2

2

valor da mantissa

valor do expoente

1

1

Sinal do expoente

0

Sinal da mantissa

Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e Silva)
  • Tome o sistema de representação dado por

F(2,10,-15,15)

a) Represente o número (23)10.

23

2

0 0 0 0 0

100011

exemplo c lculo num rico sperandio mendes e silva2

2

2

1

1

0

1

1

1

1

0

valor da mantissa

valor do expoente

Sinal do expoente

Sinal da mantissa

Exemplo (Cálculo Numérico. Sperandio, Mendes e Silva)
  • Tome o sistema de representação dado por F(2,10,-15,15)

x 25

1x2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2 -4 + 1 x 2-5

23 = 1x24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20

5

2

0

0 0 0 0 0

0 1 0 1

0

curiosidade ieee 754
Curiosidade: IEEE 754

mais informação: http://grouper.ieee.org/groups/754/

http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating-point_standard

mudan a de base
Mudança de base
  • Da base 2 para a base 10
    • N2 = 1010.1110

N10 = 1 £ 23 + 0 £ 22 + 1 £ 21 + 0 £ 20 +

1 £ 2-1 + 1 £ 2-2 + 1 £ 2-3 + 0 £ 2-4

= 10.875

mudan a de base1

2

6

1

2

3

0

1

1

Mudança de base
  • Da base 10 para a base 2
    • N10 = 13.75

0.75

0.75 £ 2 = 1.50

0.50 £ 2 = 1.00

0.00 £ 2 = 0.00

13

2

(13.75)10 = (1101.110)2

1101

e para outras bases

3

2

0

E para outras bases ?
  • 12.20 da base 4 para a base 3

(12.20)4 = (1£ 41 + 2 £ 40 + 2 £ 4-1 + 0 £ 4-2)10 = (6.5)10

0.50

0.50 £ 3 = 1.50

0.50 £ 3 = 1.50

0.50 £ 3 = 1.50

...

6

20

(12.20)4 = (6.5)10 = (20.111...)3

arredondamento
Arredondamento
  • F(,t,m,M)

base 10:

t=1: 0.05

t=2: 0.005

t=3: 0.0005

...

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