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STORIA DELL’ALGEBRA. C. S. Roero 2006-07. ALGEBRA RETORICA xviii a. C.-III ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète. Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala Operazione del “completamento”, trasferimento di termini da un membro all’altro

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STORIA DELL’ALGEBRA

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Presentation Transcript


Storia dell algebra l.jpg

STORIA DELL’ALGEBRA

C. S. Roero 2006-07

  • ALGEBRA RETORICA xviii a. C.-III

  • ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto

  • ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète


Slide2 l.jpg

Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala

Operazione del “completamento”, trasferimento di termini da un membro all’altro

Arte di trasformare un’equazione in un’altra ad essa equivalente

INCOGNITA

Say’ =cosa

Reslatinoarte cossica, arte dei cossisti

Coss tedesco


Algebra l.jpg

algebra

Fino alla metà del XIX sec. l’Algebra era lo studio delle equazioni

Serret 1866 Traité d’algèbre superieure

LAGRANGE 1770

Proprietà di simmetria delle radici

RUFFINI 1799 ABEL 1823

eqz di 5° non risolubile

GALOIS 1830

teoria dei gruppi – strutture algebriche


Egitto equazioni lineari 1 incognita l.jpg

EGITTO EQUAZIONI LINEARI 1 incognita

Una quantità cui viene aggiunto un suo settimo diventa 19. Assumi come falsa risposta 7. Aggiungi 1/7 di essa alla medesima quantità e hai come risultato 8. Poi tante volte 8 deve essere moltiplicato per dare 19, quante 7 per dare il numero corretto. Così dividi 19 per 8. Ottieni 2+1/4+1/8. Ora moltiplica questo per 7. La risposta è 16+1/2+178. Prendi 1/7 di questa quantità e aggiungilo alla medesima, il risultato è il richiesto 19.


Egitto equazioni 1 grado l.jpg

EGITTO EQUAZIONI 1 grado

  • Metodo di falsa posizione


Mesopotamia l.jpg

MESOPOTAMIA

  • Incognita lunghezza uš

  • Larghezza say Area a-šà volume sahar

  • Tavoletta BM 13091

  • 1-7 risoluzioni di equazioni 2° ad 1 incognita

  • 8-14 sistemi di 2 equazioni in 2 incognite

    (nella prima compare la somma dei quadrati, nella 2a la somma o la differenza o il rapporto o il prodotto delle incognite)

  • 15-24 esercizi e applicazioni , con numero qualsiasi di incognite


Mesopotamia7 l.jpg

MESOPOTAMIA

Metodi utilizzati

  • Completamento del quadrato

  • Semisomma e semidifferenza delle incognite


Problema 1 tavoletta bm 13901 l.jpg

Ho addizionato la superficie e il lato del quadrato 0;45

Tu porrai 1 l’unità

Tu dividerai in due l’unità: 0;30 e la moltiplicherai per 0;30: 0;15.

Tu aggiungerai 0;15 a 0;45: 1

E’ il quadrato di 1.

Tu sottrarrai 0;30 che hai moltiplicato da 1: 0,30.

È il lato del quadrato.

Problema 1 tavoletta BM 13901

Completamento del quadrato


Completamento del quadrato l.jpg

Completamento del quadrato

Si basa sull’identità

analogamente


Semisomma e semidifferenza problema 9 tavoletta bm 13901 l.jpg

Ho sommato la superficie di due quadrati: 21,40, l’uno supera l’altro di 10

Tu dividerai in due 21,40, scriverai 10,50

Dividerai in due 10: 5

Moltiplicherai 5 per 5: 25

Sottrarrai 25 da 10,50: 10,25

Questo è il quadrato di 25

Scriverai 25 due volte

Aggiungerai il 5 che hai moltiplicato al primo 25: 30, è il primo quadrato

Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20, è il secondo quadrato

Semisomma e semidifferenzaproblema 9 tavoletta BM 13901


Semisomma e semidifferenza delle incognite l.jpg

Semisomma e semidifferenza delle incognite


Euclide elementi libri ii vi l.jpg

EuclideElementi libri II VI

  • Algebra geometrica

  • Applicazione delle aree


Elementi ii 4 l.jpg

Elementi II.4

ab

Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta è uguale alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo compreso dalle parti stesse.

b2

a2

ab


Applicazione delle aree ed equazioni l.jpg

Applicazione delle aree ed equazioni

  • Applicazione parabolica (applicazione)

    Costruire un rettangolo di area data S su una base data b

  • Applicazione ellittica (mancanza)

    Costruire un rettangolo di area data S su una parte di un segmento dato b, in modo che l’altezza sia la parte rimanente del segmento

  • Applicazione iperbolica (eccesso)

    Costruire un rettangolo di area data S su un segmento dato b più un segmento aggiuntivo, in modo che l’altezza sia uguale al segmento aggiunto.


Slide15 l.jpg

  • Applicazione parabolica (applicazione)

    Costruire un rettangolo di area data S su una base data b

  • Applicazione iperbolica (eccesso)

  • Applicazione ellittica (mancanza)

S

x

b

S

x

b-x

S

x

x

b+x


Elementi ii 5 l.jpg

Elementi II.5

Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al quadrato della metà della retta.

b

b2

a2

a-b

a

a+b


Elementi ii 517 l.jpg

D

A

C

a-x

K

L

H

E

G

Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta insieme col quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al quadrato della metà della retta.

Elementi II.5

B

M

F

ADHK applicazione ellittica

Forma geometrica della formula risolutiva dell’equazione di 2°


Elementi vi 27 in forma pi generale e separando i casi in cui possibile risolvere il problema l.jpg

L

D

N

E

G

F

M

A

C

K

B

Elementi VI.27 in forma più generale e separando i casi in cui è possibile risolvere il problema

Tra tutti parallelogrammi costruiti su uno stesso segmento e mancanti di parallelogrammi simili a quello descritto sulla metà del segmento dato è massimo quello costruito sulla metà del segmento dato ed è simile al parallelogramma mancante

ACDL>AKFG


Elementi vi 27 l.jpg

L

D

N

E

G

M

F

C

K

A

B

Elementi VI.27

Diorisma: l’area da applicare non deve superare il quadrato costruito su metà base


Diofanto iii sec d c l.jpg

DIOFANTO III sec. d. C.

ARITHMETICA 13 libri

problemi determinati e indeterminati

I.27 Trovare due numeri tali che la loro somma e il loro prodotto siano numeri dati

Condizione necessaria:

Il quadrato della semisomma supera di un quadrato perfetto il prodotto


Diofanto arithmetica i 27 l.jpg

Diofanto Arithmetica I.27

Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma supera di un quadrato perfetto il prodotto


Diofanto arithmetica iii 4 l.jpg

Diofanto Arithmetica III.4

Problema indeterminato

Trovare tre numeri tali che se il quadrato della loro somma è sottratto da ciascuno di essi, il resto sia un quadrato.

Poniamo che la somma sia un aritmo x


Diofanto arithmetica l.jpg

Diofanto Arithmetica

Algebra sincopata abbreviazioni per incognite

  • x S

  • x2y

  • x3 Ky

  • x4y

  • Il resto è scritto a parole, ad esempio


Confini dell impero abbaside al tempo di harun al rashid l.jpg

Confini dell’impero abbaside al tempo di Harun al-Rashid


Storia l.jpg

storia

CALIFFI – biblioteche, arabi chiedono ai bizantini libri come indennità di guerra

MANSUR754-775 chiede a Bisanzio trattati matematici Euclide

HARUN AL-RASHID786-809 incoraggia scienziati e traduzioni in lingua araba e siriacaMille e una notte

MAMUN813-833 sogno - Baghdad

lacasa della saggezza


Le scienze arabe viii xvi traduzioni l.jpg

Scienze religiose

Geografia

Scienze linguistiche

Scienze storiche

Scienze giuridiche:

diritto – computo di eredità, …

Astrologia

Teologia e filosofia

Retorica

Le scienze arabe VIII-XVI traduzioni

Scienze fisiche:

medicina – botanica – veterinaria – agraria

Filosofia:

logica – metafisica – fondamenti

Matematica:

aritmetica – geometria

Astronomia

Musica


Traduzioni di opere matematiche ix sec l.jpg

EuclideElementi

Data

scritti di ottica

di meccanica, …

Archimede tutte le opere

ApollonioConiche

De sectione rationis

Pappo

Diofanto Arithmetica

Nicomaco di Gerasa

Erone diAlessandria

TRADUZIONI di opere matematiche IX sec.


Scienze matematiche contributi principali l.jpg

Scienze matematichecontributi principali

  • Algebra

    • Teoria delle equazioni di 2° e 3° grado

    • Algebra dei polinomi

  • Geometria

    • V postulato di Euclide

    • Costruzioni con riga e compasso

    • Teoria delle coniche

  • Aritmetica- numerazione posizionale indiana

  • Trasmissione di opere classiche


  • 790 850 al khwarizmi padre dell algebra l.jpg

    790 - 850 AL-KHWARIZMIpadre dell’algebra

    • Algoritmi de numero indorum

    • Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala

      Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere

      • Problemi su contratti commerciali

      • Teoria equazioni di 1° e 2° grado

      • Geometria e algebra

      • Divisione di eredità


    Slide30 l.jpg

    1 Igin

    2 Andras

    3 Ormis

    4 Arbas

    5 Quinas

    6 Calcus

    7 Zenis

    8 Temenias

    9 Celentis

    0 Zephir

    Algoritmi de numeroindorum

    B. BoncompagniAlgoritmi de numeroindorum (Roma 1857)

    K. VogelMohammed ibn MusaAlchwarizm’s Algorithmus (Aalen 1963)

    Algoritmus algoritmo

    Evoluzione delle cifre indo-arabiche


    Slide31 l.jpg

    Al-kitab al-muhtasar fi hisab

    al-giabr wa’l-muqabala

    Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere

    opera che racchiude le più raffinate e le più nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle loro eredità e delle loro donazioni, per le divisioni e i giudizi, per i loro commerci e per tutte le operazioni che essi hanno fra loro relative agli strumenti, alla ripartizione delle acque dei fiumi, all’architettura e ad altri aspetti della vita civile


    Slide32 l.jpg

    dirham (moneta greca dracma) numero

    say’ cosa o gizr radice incognita res

    malbenequadrato dell’incognitacensus

    EQUAZIONI 6 tipi canonici

    l. I quadrati sono uguali alle radiciax2 = bx

    2. I quadrati sono uguali a numeroax2 = c

    3. Le radici sono uguali a numeroax = c

    4. I quadrati e le radici sono uguali a numeroax2 + bx = c

    5. I quadrati e i numeri sono uguali alle radiciax2 + c = bx

    6. Le radici e i numeri sono uguali ai quadratibx + c = ax2


    Slide33 l.jpg

    operazioni

    al-jabrcompletamento, riempimento restauratio

    al-muqabalamessa in opposizione, bilanciamentooppositio

    al-hattcoefficiente dell’incognita ridotto all’unità

    x2 + (10 – x)2 = 58

    2x2 + 100 – 20x = 58

    con l’al-jabr2x2 + 100 = 20x + 58

    con l’al-muqabala

    2x2 + 42 = 20x

    e infine l’al-hattdàx2 + 21 = 20x

    che riconduce l’equazione di partenza al tipo 5


    Algebra retorica l.jpg

    Algebra retorica

    l. I quadrati sono uguali alle radiciax2 = bx

    2. I quadrati sono uguali a un numeroax2 = c

    3. Le radici sono uguali a un numeroax = c

    x2 = 5x

    “La radice del quadrato è 5 e 25 costituisce il suo quadrato”

    1/2 x = 10x = 20 x2 = 400


    Slide35 l.jpg

    Formula per radicali

    Dimostrazione geometrica

    Quadrato x2

    4 rettangoli 10/4x

    4 quadratini che completano il quadrato

    x=3

    x

    x

    10/4

    Tipo 4

    x2 + 10x = 39

    x2 + px = q


    Slide36 l.jpg

    x

    x

    10/4

    Completamento del quadrato

    x2 + px = q


    Tipo 4 x 2 10 x 39 x 2 px q l.jpg

    x2 + 2·5x

    39+25=64

    5+x=8

    x=3

    5

    x

    5

    Tipo 4x2 + 10x = 39 x2 + px = q


    Quadrati e numeri uguali a radici x 2 21 10 x l.jpg

    Quadrati e numeri uguali a radicix2 + 21 = 10x

    Il seguente esempio è un’illustrazione di questo tipo: un quadrato e 21 unità uguali a 10 radici.

    La regola risolutiva è la seguente: dividi per 2 le radici, ottieni 5. Moltiplica 5 per se stesso, hai 25. Sottrai 21 che è sommato al quadrato, resta 4. Estrai la radice, che dà 2 e sottrai questo dalla metà della radice, cioè da 5, resta 3. Questa é la radice del quadrato che cerchi e il suo quadrato è 9. Se lo desideri, aggiungi quella alla metà della radice. Ottieni 7, che è la radice del quadrato che cerchi e il cui quadrato è 49.

    10 : 2 = 5

    5 · 5 = 25

    25 – 21 = 4

    5 – 2 = 3

    x = 3 x2 = 9

    2 + 5 = 7

    x = 7 x2 = 49


    Slide39 l.jpg

    x2 + q = p xdiscussione sulle radici

    • > 0

      due radici distinte

      (p/2)2 < q

    • < 0

      (p/2)2 = q

    • = 0

      due radici coincidenti

    Se tu affronti un problema che si riconduce a questo tipo di equazione, verifica l’esattezza della soluzione con l’addizione, come si è detto. Se non è possibile risolverlo con l’addizione, otterrai certamente il risultato con la sottrazione. Questo è il solo tipo in cui ci si serve dell’addizione e della sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti.

    Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato, allora il problema è impossibile.

    Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la radice del quadrato sarà uguale alla metà delle radici che sono col quadrato, senza che si tolga o si aggiunga qualcosa.


    Slide40 l.jpg

    GCDE = px

    GCDE=ABCD+GBAE

    ABCD = x2GBAE=(p–x)x = q

    GFKM= (p/2)2IHKL = (p/2 x)2

    EILM = FBAH

    IHKL= GFKM – GBAE

    (p/2x)2 = (p/2)2 q

    IH = AH

    AD = HD–AH =

    Tipo 5x2 + 21 = 10x

    x2 + q = p x x < p/2

    L

    M

    K

    A

    H

    D

    E

    I

    x

    p/2

    G

    F

    C

    B


    Tipo 5 l.jpg

    A

    E

    L

    K

    M

    x2

    (p/2)2

    H

    I

    p/2

    x - p/2

    G

    B

    C

    F

    x2 + 21 = 10xx2 + q = p x x > p/2

    Tipo 5

    D

    ABCD=x2 GF=FC=p/2

    AL=BF=x-p/2

    BFHI=(x-p/2)2

    GFKM = (p/2)2

    GBLM+IHKL=GBAE = q

    BC=BF+FC=


    Tipo 6 3 x 4 x 2 px q x 2 l.jpg

    M

    x

    B

    C

    q

    K

    N

    R

    H

    (p/2)2

    p

    G

    L

    T

    p/2

    x

    D

    A

    Tipo 63x + 4 = x2px+q=x2

    ABCD=x2 ARHD = px

    RBCH = x2 – px = q

    quadrato TKHG = (p/2)2

    TL = CH= MN = x–p

    GL=CM=CG, GL=GT+LT=GH+HC

    LNKT=RBMN

    NMCH+BMNR=RBCH=q=gnomoneNMCHGTKN

    LMCG=TKHG+q=(p/2)2+q

    CG =

    CD = CG+GD =


    Slide43 l.jpg

    Abu-Kamil (850-930)

    Libro sull’al-jabr e l’almuqabala

    elevato livello teorico - tendenza all’aritmetizzazione

    cubo x3quadrato-quadratox4

    quadrato-quadrato-cosax5

    espressioni con irrazionali

    regole per la determinazione immediata di x2 sotto forma di radicali

    Ogni regola è dimostrata geometricamente e si prescinde dall’omogeneità dimensionale


    Abu kamil 850 930 l.jpg

    Abu-Kamil (850-930)

    Dividere 10 in due parti x e 10 –x tali che

    moltiplicata per diventa

    (10 –x)/x = y è trasformata in

    Elevando al quadrato giunge a un’equazione di 2° di soluzione


    X xii sec due correnti l.jpg

    indirizzo aritmetico-algebrico

    X sec.

    traduzione araba dell’opera di Diofanto

    961-976Abul-Wafa

    Libro sull’aritmetica necessaria agli scribi e ai mercanti

    XI sec al-KaragiAl-Fahri

    XI-XII secas-Samaw’al

    Libro luminoso sull’aritmetica

    indirizzo geometrico-algebrico

    965-1093ibn al-Haytham

    Al-hazen

    973-1048 Al-Biruni

    1048-1123Omar al-Khayyam

    Sulle dimostrazioni dei problemi di algebra e almuqabala

    XII sec.Sharaf al-din al-Tusi

    Teoria delle equazioni

    X-XII sec.due correnti


    Algebra e aritmetica l.jpg

    al-Khwarizmi

    regola di approssimazione radice quadrata di

    N = a2 + r

    al-Uqlidisi (morto intorno al 952)

    Algebra e Aritmetica


    Algebra e aritmetica47 l.jpg

    al-Karagi

    al-hisabimaestro di aritmetica

    Manuale sulla scienza dell’aritmetica

    Al-Fakri

    scopo dell’algebra

    Potenze

    x5 = x2x3quadrato-cubo

    x6 = x3x3cubo-cubo

    1:x=x:x2=x2:x3=x3:x4=...

    tabella dei coefficienti di

    (a + b)n fino an = 12

    Algebra e Aritmetica


    Algebra e aritmetica48 l.jpg

    AL-KARAGI

    Al-Fakri

    l’algebra è l’aritmetica dell’incognita

    ax2n + bxn = c

    ax2n+ c = bxn

    bxn + c = ax2n

    ax2m+n = bxm+n + cxm

    Algebra e Aritmetica


    Algebra e aritmetica49 l.jpg

    D

    C

    n2

    E

    F

    S

    A

    B

    R

    G

    Algebra e Aritmetica

    al-Karagi Manuale sulla scienza dell’aritmetica

    quadrato

    Gnomone (rettangoli uguali di lati n e 1+2+3+...+n)

    Area gnomone

    2n(1+2+...+n) – n2 = n3

    Essendo

    1+2+3+...+n =n(n+1)/2

    da cui

    13+23+ …+n3 = (1+2+ …+n)2


    Xi xii sec as samaw al l.jpg

    XI-XII secas-Samaw’al

    Libro luminoso sull’aritmetica

    Regole da usare coi negativi

    432101234 ______________________________________

    x4 x3x2x11/x 1/x2...

    Algoritmo per la divisione dei polinomi

    Algoritmo per l’estrazione di radici quadrate di polinomi


    Indirizzo geometrico algebrico l.jpg

    indirizzo geometrico-algebrico

    equazioni cubiche - problemi classici

    duplicazione del cubo Menecmo parabola x2= ay

    iperbole xy = ab

    problema di Archimede

    “Dividere una sfera data in modo tale che il rapporto fra i volumi dei segmenti ottenuti sia uguale ad un rapporto dato”

    965-1093ibn al-Haytham Al-hazen

    973-1048 Al-Biruni trisezione dell’angolo


    Omar al khayyam 1048 1122 poeta matematico astronomo l.jpg

    Omar al-Khayyam 1048-1122Poeta matematico astronomo

    Rubaiyyàt

    Ogni mattina che il volto del tulipano si riempie di rugiada,

    la corolla della viola si incurva sul prato.

    in verità, mi piace il boccio della rosa

    Che si raccoglie attorno il lembo della sua veste.

    Sotto specie di verità, non di metafora,

    noi siamo dei pezzi da gioco, e il cielo è il giocatore.

    Giochiamo una partita sulla scacchiera della vita,

    e ad uno ad uno ce ne torniamo nella cassetta del Nulla

    Questa volta del cielo in cui noi ci troviamo smarriti,

    ci appare a somiglianza di una lanterna magica.

    Il sole è la candela, il mondo la lanterna,

    e noi siam come le immagini che vi vanno intorno rotando.


    Omar al khayyam 1048 1122 l.jpg

    Omar al-Khayyam1048-1122

    Rubaiyyàt

    Giacché non si può contar sulla vita dalla sera al mattino,

    bisogna in conclusione seminare ogni seme di bontà.

    Giacché a nessuno lasceranno in possesso questo mondo,

    bisogna almeno sapersi serbare il cuor degli amici.

    Dicono dolce l’aria di primavera

    dolce la corda del liuto e la flebile melodia,

    dolce il profumo della rosa, il canto degli uccelli, il roseto…

    O stolti, tutto ciò sol con l’Amico è dolce!


    Omar al khayyam 1048 112254 l.jpg

    Omar al-Khayyam 1048-1122

    Rubaiyyàt

    Ci troviamo a vivere sotto questa volta del cielo piena di frottole.

    L’anima è una caraffa, la morte una pietra, il cielo un pazzo.

    La coppa della mia vita è giunta ai settanta:

    e quegli la romperà appena essa sia colma.

    Il cielo versa dalle nuvole petali candidi.

    Diresti che si sparge sul giardino una pioggia di fiori.

    Nella coppa pari a un giglio io verso il vino rosato,

    ché dalla nuvola color di viola scende una pioggia di gelsomini.


    Omar al khayyam l.jpg

    Omar al-Khayyam

    Sulle dimostrazioni dei problemi di

    al-jabr e al-muqabala

    l’algebra è la teoria delle equazioni

    Non riesce a trovare la soluzione per radicali

    delle equazioni cubiche

    “Forse uno di quelli che verranno dopo di noi riuscirà a trovarla.”

    classifica 14 tipi di equazioni cubiche

    risoluzione con l’intersezione di coniche


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    Omar al-Khayyam Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala

    quadrinomie

    tre termini positivi uguali ad un termine positivo

    x3+ cx2+ a = bx

    x3= a + bx + cx2

    x3 + a + bx = cx2

    x3 + bx + cx2 = a

    due termini positivi sono uguali a due positivi

    x3 + cx2 = bx + a

    x3 + a = cx3+ bx

    x3 + bx = cx2 + a

    14 tipi di equazioni cubiche

    binomiax3=a.

    trinomiex3+bx=a

    x3+a=bx

    bx+a=x3

    x3+cx2=ax3+a=cx2x3=a+cx2


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    Omar al-KhayyamSulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala

    x3 + p2x =p2 q

    Cerchio

    x2+y2=qx

    Parabola

    x2=py


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    Fine XII Sharaf Al-Din al-Tusi

    Teoria delle equazioni cubiche

    sviluppa lo studio delle curve

    discussione sistematica dell’esistenza delle radici positive, legata al ruolo del discriminante

    Teoria delle equazioni

    Soluzioni approssimate


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    Sharaf Al-Din al-TusiTeoria delle equazionisoluzioni approssimate

    x3+px=Nx3+36x=91 750 087

    x = x1+x2+x3 x1 = a∙102x2= b∙10x3 = c

    x3=(x1+x2+x3 )336x= 36x1+36x2+36x3

    x3=a3106+3a2b105+3ab2104+3a2c104+6abc103+b3103+3ac2

    102+3b2c102+3bc210+c3

    36x=36a102+36b10+36c

    Si cerca a tale che a3<91 sitrovaa=4 tabella

    N 9 1 7 5 0 0 8 7

    x1336x164144

    N12 7 7 3 5 6 8 7

    N1= 91750087-64000000-14400=27735687

    N - x13· 106 - 36x1·102


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    Sharaf Al-Din al-TusiTeoria delle equazionisoluzioni approssimate

    Si cerca b tale che 3a2b<277 cioè 3·16 b<277 trovab=5

    N12 7 7 3 5 6 8 7

    x23 1 2 5

    3x1x22+ 3x2x12+36x2 2 7 0 0 1 8 0

    N26 0 8 8 8 7

    N2 = N1 – 3a2b·105 –3ab2104 – b3103 – 36b10

    Si cerca c tale che 3a2c<60 cioè 3·16 c<60 trovac=1

    x = 4·102 + 5·10 + 1= 451


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    Equazioni di terzo grado

    Leonardo Fibonacci Pisano Flos1225

    Fornisce una soluzione approssimata in forma sessagesimale 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40

    Paolo Gherardi Libro di ragioni1328 classifica 9 casi e le formule risolutive sonoerrate perché generalizzazioni della formula di secondo grado


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    Equazioni di terzo grado

    Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344

    Formule risolutive esatte per particolari equazioni, ma non svela il procedimento


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    Equazioni di terzo e quarto grado

    Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344

    Qual è l’interesse mensile richiesto a quel tale cui sono state prestate 100 lire se dopo 3 anni tra capitale e interesse sono state restituite 150 lire?

    Calcolo degli interessi per un periodo di 4 anni


    Calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni l.jpg

    EQUAZIONI

    Calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni

    Piero della FrancescaTrattato d’abaco

    Luca PacioliSumma de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia


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    Equazioni di terzo grado 1530-1534

    Cartelli di sfida matematica

    Antonio Maria del Fiore sfida

    Zuannin de Tonini da Coi

    Nicolò Tartaglia

    Scipione dal Ferro 1465-1526

    Girolamo Cardano

    Annibale della Nave

    Nicolò Tartaglia 1500-1557


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    Scipione dal Ferro 1465-1526

    Ms. 595 Biblioteca Universitaria Bologna Pompeo Bolognetti

    Il capitolo di cose e cubo uguale a numero.

    Quando le cose e li cubi si agguagliano al numero, ridurai la equatione a 1 cubo, partendo per la quantità delli cubi. Poi cuba la terza parte delle cose, poi quadra la metà dil numero, e questo summa con il detto cubato, et la radice quadra di detta summa più la metà dil numero fa un binomio, et la radice cuba di tal binomio men la radice cuba dil suo residuo val la cosa.


    Tartaglia confida a cardano la sua formula sotto giuramento che non la sveler l.jpg

    Tartaglia confida a Cardano la sua formula sotto giuramento che non la svelerà

    Cardano1501-1576

    Tartaglia 1500-1557


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    Tartaglia

    Quando che 'l cubo con le cose appresso

    Se agguaglia a qualche numero discreto

    Trovami dui altri, differenti in esso;

    Dapoi terrai, questo per consueto,

    Che 'l loro produtto, sempre sia eguale

    Al terzo cubo delle cose neto;

    El residuo poi suo generale,

    Delli lor lati cubi, ben sottratti 

    Varrà la tua cosa principale.         


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    Tartaglia

    In el secondo, de cotesti atti

    Quando che 'l cubo, restasse lui solo,

    Tu osserverai quest'altri contratti

    Del numer farai due tal part' a volo,

    Che l' una, in l' altra, si produca schietto,

    El terzo cubo delle cose in stolo;

    Delle quali poi, per commun precetto,

    Terrai li lati cubi, insieme gionti,

    Et cotal somma, sarà il tuo concetto


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    Tartaglia

    El terzo, poi de questi nostri conti,

    Se solve col secondo, se ben guardi

    Che per natura son quasi congionti.

    Questi trovai, et non con passi tardi

    Nel mille cinquecent' e quattro e trenta

    Con fondamenti ben saldi, e gagliardi

    Nella Città del mar 'intorno centa.

    Venezia 1534


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    Tartaglia


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    Tartaglia


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    Tartaglia


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    Tartaglia


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    Girolamo Cardano 1501-1576

    • Ars Magna 1545

    • Pubblica le soluzioni dell’equazione di terzo e di quarto grado

    • Mostra di saper eliminare il termine nell’equazione di grado n con un’opportuna traslazione


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    CARDANO Ars Magna 1545

    Dimostrazione geometrica

    Solidi AB3, BC3, 3AB2 BC, 3AB BC2


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    CARDANO Ars Magna 1545

    interpretazione

    originale


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    CARDANO Ars Magna 1545


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    Raffaele BOMBELLI 1530-1572

    Opera su l’Algebra 1572

    Il caso irriducibile: q2/4 - p3/27 < 0 porta alla radice quadrata di un numero negativo, espressione intrattabile,

    “sofistica e lontana dalla natura dei numeri”


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    Caso irriducibile

    ha 3 radici reali

    Bombelli dà un senso alle radici dei numeri negativi


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    Rafael BOMBELLI 1530-1572

    Radici quadrate di una quantità negativa

    Più di meno p d m

    Meno di meno m d m

    Più via più di meno fa più di meno

    Meno via più di meno fa meno di meno

    Più via meno di meno fa meno di meno

    Meno via meno di meno fa più di meno

    Più di meno via più di meno fa meno

    Più di meno via men di meno fa più

    Meno di meno via più di meno fa più

    Meno di meno via men di meno fa meno


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    Equazioni di quarto grado

    Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano

    Luca PacioliSumma de arithmetica, geometria, proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia


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    Equazioni di quarto grado

    INDIA Bhaskara 115-1178 Vija Ganita

    Se sei versato nelle operazioni di algebra, dimmi il numero il cui biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e 200 volte il numero è uguale alla miriade meno uno.


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    Equazioni di quarto grado

    Zuannin de Tonini da Coi (Giovanni Colla) sfida Tartaglia nel 1535

    Dividere 20 in tre parti che siano in proporzione continua e tali che il prodotto delle due minori sia 8


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    Equazioni di quarto grado

    1539 Cardano chiede a Tartaglia di risolvergli un quesito postogli da Zuannin de Tonini da Coi, analogo al precedente

    “Questo proponeva Zuannin de Tonini da Coi, e diceva che non era risolubile; io invece dicevo che si sarebbe potuto risolvere, solo che tuttavia non sapevo come sino a che non lo risolse FERRARI.”

    Ferrari elenca 20 possibili tipi di equazioni di quarto grado, 14 quadrinomie, 6 trinomie


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    Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano

    Il metodo consiste inizialmente nel cambiare la variabile ed eliminare il termine di terzo grado

    Se non è un quadrato perfetto, lo si rende tale con opportune aggiunte, in modo da scrivere l’equazione nella forma


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    Ferrari aggiunge alcuni termini così da avere quadrati perfetti

    Ora si dovrà scegliere w in modo che il secondo membro risulti un quadrato ed essendo

    Si dovrà imporre che il discriminante sia zero, cioè

    Equazione di terzo grado in w, detta risolvente cubica di Ferrari, una cui soluzione permette di scrivere


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    Siala soluzione dell’equazione cubica, per cui si avrà solo da risolvere un’equazione di secondo grado


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    esempio


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    François Viète 1540-1603

    In artem analyticem isagoge sursim excussa ex operae restitutae mathematicae analyseos seu algebra nova 1591

    “L’arte che oggi presento è un’arte nuova, o per lo meno un’arte talmente degradata dal tempo, talmente sporcata e intricata dai barbari, che ho creduto necessario, dopo avere eliminato tutte le proposizioni erronee, … di donarle una forma interamente nuova. … Tutti i matematici sanno che sotto il nome di Algebra et Almucabala, che essi vantano e chiamano la Grande Arte, si nasconde una miniera d’oro di incomparabile ricchezza. Essi fecero anche delle ecatombe e dei sacrifici ad Apollo quando avevano trovato la soluzione di uno solo di quei problemi, che io risolvo spontaneamente a decine, a ventine, un fatto che prova che la mia arte è il metodo d’invenzione più sicuro in matematica”.


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    Viète In artem analyticem isagoge

    • logistica numerosa, il calcolo numerico

    • logistica speciosa, il calcolo letterale

    “Per rendere con un artificio questo metodo più facile, le grandezze date si distingueranno dalle grandezze incognite o cercate, rappresentandole con un simbolo costante, immutabile e ben chiaro, indicando, per esempio, le grandezze cercate con la lettera A oppure con un’altra vocale E, I, O, U, Y e le grandezze date con le consonanti B, D, G, ecc.”.


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    Terminologia e simbolismo

    latus o radix incognita xA

    quadratumAq

    cubusAc

    quadrato-quadratumAqq

    quadrato-cubusAqc

    +addizione, – sottrazione, =minus incertum,

    in o submoltiplicazione,---- divisione,

    Rqradice quadrata,

    Rcradice cubica,

    Rqqradice quarta,

    aeq.uguaglianza.


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    Zetesi Forma canonica delle equazioni

    • Le operazioni che riconducono un’equazione alla sua forma canonica sono:

    • l’antitesi (trasposizione), cioè il passaggio dei termini da un membro all’altro;

    • l’hypobabismo(abbassamento), abbassamento della potenza massima dell’incognita in un’equazione mancante del termine noto;

    • il parabolismo (divisione), che consente di togliere, mediante divisione, il coefficiente della potenza massima dell’incognita.


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    Viète mira a fondere il linguaggio della geometria con quello dell’algebra, per cui spesso, dopo aver scritto l’equazione in forma canonica, la mette sotto forma di analogismo, cioè il primo membro dell’equazione è uguale al prodotto degli estremi di una proporzione e il secondo membro al prodotto dei medi.

    esempio: l’equazione

    corrisponde a

    Viète la scrive come analogismo, nella forma


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    Viète De aequationum recognitione et emendatione 1615

    Tramite la ZETESI procede ad un esame diretto delle relazioni fra l’incognita, i coefficienti e i termini noti dell’equazione canonica

    Interpretazione delle equazioni di secondo e terzo grado come proprietà di una serie incognita di 3 o 4 grandezze in proporzione continua

    Dati la media proporzionale e la somma degli estremi trovare le grandezze


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    Teoria delle equazioni algebriche

    2° grado

    tipo soluzioni:

    2 reali se

    2 complesse se

    legami radici-coefficienti


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    Teoria delle equazioni algebriche

    3° grado

    tipo soluzioni:

    3 reali se

    1 reale, 2 complesse se Δ>0

    legami radici-coefficienti


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    Teoria delle equazioni algebriche

    problemi studiati

    esistenza di soluzioni

    AA. Girard 1629

    ogni eqz di grado n ha esattamente n radici

    teorema fondamentale dell’algebra

    1799 Carl Friedrich Gauss

    Ogni equazione algebrica ammette almeno una radice reale o complessa

    determinazione soluzioni: esatte o approssimate


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    Teoria delle equazioni algebriche

    Dai problemi di calcolo delle radici delle equazioni algebriche sorti nel Cinquecento, sotto la spinta delle difficoltà di soluzione delle equazioni di quinto grado, progressivamente l'attenzione si spostò sulle proprietà che legano il sistema delle radici al campo dei coefficienti. La principale di queste proprietà era data dalle funzioni simmetriche elementari delle radici, che sono date direttamente, a meno del segno, dai coefficienti dell'equazione.


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    equazioni algebriche

    • 1770 J. L. Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations

    • 1799 Gauss teorema fondamentale dell’algebra

    • 1799 P. Ruffini

      L’equazione di grado 5 non è in generale risolubile per radicali

    • 1824 N. Abel

    • 1829-1832 E. Galois teoria dei gruppi

    • 1846 ad opera di Liouville è edita sul Journal de Math. Pure et appl. la teoria di Evariste Galois


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