Modellistica del trasporto per diodi tunnel Double Barrier – Quantum Well interbanda

1. Facoltà di IngegneriaDipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Laboratorio di Microelettronica Modellistica del trasporto per diodi tunnel Double Barrier – Quantum Well interbanda Candidato: Matteo Camprini Relatori: Prof. G. Manes Prof. G. Borgioli Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Universitá di Firenze Universitá di Firenze Prof. G. Frosali Ing. A. Cidronali Dipartimento di Matematica Applicata “G. Sansone” Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Universitá di Firenze Universitá di Firenze Anno Accademico 1999 - 2000

2. NDR Diodi tunnel: caratteristiche La principale caratteristica di un diodo tunnel è la presenza di una regione di funzionamento a resistenza differenziale negativa (N.D.R.). Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente utili in numerose applicazioni sia analogiche che digitali. • Le moderne tecnologie nella lavorazione dei semiconduttori consentono di realizzare strutture multilayer e lattice – matched che permettono di: • Ottimizzare i parametri di funzionamento R.F. del diodo. • Ottenere un elevato livello di integrazione

3. Realizzazione di un modello physical based per la corrente dovuta all’effetto tunnel in diodi D.B.Q.W interbanda. Obiettivi Possibilità di effettuare reverse modelling su dispositivi quantistici. Dati • Parametri fisici dei semiconduttori. • Diagramma a bande nella regione svuotata. Procedimento • Definizione di un adeguato un formalismo simbolico. • Implementazione del modello. • Verifica sperimentale mediante confronto con i campioni da laboratorio forniti dal Motorola Physical Sciences Research Lab. • Relativa semplicità formale. • Accettabili possibilità di simulazione e previsione della caratteristica quasi-statica dei dispositivi. Caratteristiche

4. Modelli fisico - matematici per dispositivi ad effetto tunnel • L’elettrone è descritto come un pacchetto di onde piane. • Si assume che la funzione d’onda mantenga coerenza di fase durante la transizione attraverso la barriera • non sono considerati fenomeni collisionali. Modelli Coerenti Envelope wave function • Sono prese in considerazione, in numero limitato, le collisioni con i fononi. • L’elettrone può subire una variazione della propria energia E. Modelli Cinetici Density Matrix Wigner Function Green’s Function

5. Approccio scelto Modello di Kane a due bande Matrici di trasferimento + Condizioni W.K.B. Tecnica di raccordo tra le soluzioni Definizione del modello utilizzato • E’ un modello coerente introdotto da E. O. Kane nel 1960. • Descrive il comportamento di un elettrone in un sistema a due bande con dispersione di tipo parabolico (massa efficace costante). • Lo stato dell’elettrone è identificato da un pacchetto di onde piane. • La dinamica dell’elettrone è regolata da un sistema di due equazioni differenziali tipo • Schrödinger accoppiate da un termine k·P.

6. Modello di Kane a due bande Ipotesi preliminari • Si considerano solo transizioni conservative. • Si suppone di avere un moto unidirezionale ed una struttura omogenea ed illimitata nel piano trasversale alla direzione di trasporto. • L’elettrone mantiene costante la quantità di moto nel piano trasversale. • Il campo elettrico nella regione svuotata è costante. • Per tenere conto degli effetti del drogaggio fortemente degenere si considera una massa efficace derivata da un modello a quattro bande ed una energia di gap ridotta (band gap narrowing)

7. Modello di Kane a due bande: funzioni di propagazione se si cercano soluzioni stazionarie nella forma nella banda proibita si ottiene nelle bande consentite con

8. L’espressione della corrente di tunneling è data da è il coefficiente di trasmissione attraverso la barriera è l’energia dell’elettrone nel piano trasversale al moto è la distribuzione di Fermi - Dirac nello strato a drogaggio p è la distribuzione di Fermi - Dirac nello strato a drogaggio n dove dove è la funzione di attenuazione della barriera Espressione della corrente di tunneling • Il coefficiente di trasmissione T dipende, in generale, dall’energia E dell’elettrone incidente e dalla tensione di polarizzazione Vaapplicata alla struttura. • Nel caso classico di singola barriera sottile l’espressione che si ottiene è

9. Tecnica delle matrici di trasferimento Barriera singola Barriera doppia • La matrice di trasferimento della struttura D.B.Q.W. è data da

10. Il coefficiente di trasmissione è dato da Per una struttura D.B.Q.W. si ottiene: e sono le funzioni di attenuazione delle barriere dove è la funzione di sfasamento della buca La condizione di risonanza è data da Coefficiente di trasmissione di un diodo DBQW Il valore assunto dal coefficiente di trasmissione in condizioni di risonanza dipende esclusivamente dalla differenza delle funzioni di attenuazione delle barriere.

11. con Valutazione della corrente di tunneling: parametro di calibrazione Il modello di Kane, come tutti i principali approcci, sia coerenti che cinetici, è caratterizzato da una sottostima dei valori di corrente, dovuta agli effetti che non sono presi in considerazione (transizioni non conservative, presenza di stati trappola e di superficie, campo elettrico non costante). Dato che tali fenomeni non sono direttamente implementabili nel modello, l’unico modo di evitare tale sottostima è quello di inserire un parametro di calibrazioneC nelle funzioni di attenuazione delle barriere

12. Struttura dei diodi PSRL - Lot K11A-M21 Proc. MBE840 e MBE842 Diagramma a bande fornito dal P.S.R.L. Versione linearizzata del diagramma a bande (campo elettrico costante)

13. Misura delle caratteristiche dei prototipi Le caratteristiche statiche dei prototipi forniti dal P.S.R.L. sono state misurate utilizzando la strumentazione del Laboratorio di Microelettronica (L.M.E.). Dai dati ottenuti è stata quindi ricavata una caratteristica media per il successivo confronto con i risultati forniti dalla simulazione del modello. K11A-M21 MBE840 2.5x2.5 m

14. Applicazione della procedura di simulazione • Definizione della struttura D.B.Q.W. • Valutazione della dipendenza dalla tensione di polarizzazione dei parametri del diagramma a bande • Identificazione delle modalità di tunneling possibili (con e senza passaggio per la buca) • Definizione di una mappa nel piano E,Va delle regioni associate alle varie modalità di tunneling

15. Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va) • Nell’intervallo di energia in cui può avvenire il passaggio dei portatori, il coefficiente di trasmissione delle due barriere non subisce forti variazioni. • La probabilità di tunneling presenta una discontinuità in corrispondenza del minimo della buca, dovuta al fatto che la condizione K11A-M21 MBE840 massimizza il coefficiente di riflessione.

16. Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va) • Per valori di energia superiori si riscontra un picco di risonanza. • All’aumentare della tensione di polarizzazione la condizione di risonanza viene raggiunta più rapidamente ed il picco di risonanza diminuisce in ampiezza. K11A-M21 MBE840

17. Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio Dati misurati K11A-M21 MBE840 2.5x2.5 m C = 0.52 Dati simulati • Errori commessi: • tensione di picco: 3.3 % • corrente di picco: 5.1 %

18. Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio Dati misurati K11A-M21 MBE842 2.5x2.5 m C = 0.52 Dati simulati • Errori commessi: • tensione di picco: 8.0 % • corrente di picco: 3.4 % L’errore commesso è in parte imputabile alla maggiore dispersione delle caratteristiche nel lotto di diodi misurato.

19. Conclusioni e sviluppi futuri • Il modello è in grado di riprodurre con buona precisione l’andamento della corrente statica dei diodi nell’intervallo di tensioni in cui la componente di tunneling è predominante. • In particolare il modello è in grado di prevedere gli effetti della variazione del drogaggio Risultati ottenuti Sviluppi • Verifica del comportamento del modello su strutture D.B.Q.W. con differenti caratteristiche. • Implementazione, almeno per via semi – empirica, degli effetti di bordo che determinano una corrispondenza non lineare tra la corrente e la sezione del diodo. La parte di definizione fisico – matematica del modello è stata presentata con il titolo: L. Barletti, G. Borgioli, M. Camprini, A. Cidronali, G. Frosali “Tunneling current in resonant interband tunneling diodes” al V Congresso Nazionale della Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale, SIMAI, Ischia 5-9 Giugno 2000.