材料力学
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第三章 扭 转 PowerPoint PPT Presentation


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材料力学. 第三章 扭 转. B. O. A. . O. . A. B. m. m. §3–1 概 述. 轴: 工程中以扭转为主要变形的构件。如:机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。. 扭转: 外力的合力为一力偶,且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直,杆发生的变形为扭转变形。. O. . . A. B. m. m. 扭转角(  ): 任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变(  ): 直角的改变量。. §3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图.

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第三章 扭 转

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


4301205

材料力学

第三章 扭 转


4301205

B

O

A

O

A

B

m

m

§3–1 概 述

轴:工程中以扭转为主要变形的构件。如:机器中的传动轴、

石油钻机中的钻杆等。

扭转:外力的合力为一力偶,且力偶的作用面与直杆的轴线

垂直,杆发生的变形为扭转变形。


4301205

O

A

B

m

m

扭转角():任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。

剪应变():直角的改变量。


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§3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图

一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系:

其中:P — 功率,千瓦(kW)

n — 转速,转/分(rpm)

其中:P — 功率,马力(PS)

n — 转速,转/分(rpm)


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m

m

x

T

m

二、扭矩及扭矩图

1 扭矩:构件受扭时,横截面上的内力偶矩,记作“T”。

2 截面法求扭矩

3 扭矩的符号规定:

“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正,反之为负。


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①扭矩变化规律;

②|T|max值及其截面位置 强度计算(危险截面)。

4 扭矩图:表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目 的

T

x


4301205

m2m3m1m4

n

A B C D

[例1]已知:一传动轴, n =300r/min,主动轮输入 P1=500kW,从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW,试绘制扭矩图。

解:①计算外力偶矩


4301205

m2m3m1m4

1

2

3

n

A B C D

3

1

2

②求扭矩(扭矩按正方向设)


4301205

m2m3m1m4

n

A B C D

③绘制扭矩图

BC段为危险截面。

T

6.37

x

4.78

9.56


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薄壁圆筒:壁厚

(r0:为平均半径)

§3–3 薄壁圆筒的扭转

一、实验:

1.实验前:

①绘纵向线,圆周线;

②施加一对外力偶 m。


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´

a

dy

´

b

c

d

dx

2.实验后:

①圆周线不变;

②纵向线变成斜直线。

微小矩形单元体如图所示:

①无正应力

②横截面上各点处,只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ,沿周向大小不变,方向与该截面的扭矩方向一致。


4301205

´

a

dy

´

b

t

z

c

d

dx

二、剪应力互等定理:

上式称为剪应力互等定理。

三、剪切虎克定律:


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T=m

剪切虎克定律:当剪应力不超过材料的剪切比例极限时(τ ≤τp),剪应力与剪应变成正比关系。


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式中:G是材料的一个弹性常数,称为剪切弹性模量,因 无量纲,故G的量纲与 相同,不同材料的G值可通过实验确定,钢材的G值约为80GPa。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料,这三个弹性常数之间存在下列关系:


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§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件

①变形几何方面

②物理关系方面

③静力学方面

等直圆杆横截面应力

一、等直圆杆扭转实验观察:

1. 横截面变形后

仍为平面;

2. 轴向无伸缩;

3. 纵向线变形后仍为平行。


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二、等直圆杆扭转时横截面上的应力:

1. 变形几何关系:

距圆心为  任一点处的与到圆心的距离成正比。

—— 扭转角沿长度方向变化率。


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t

t

max

max

2. 物理关系:

虎克定律:

代入上式得:

T


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T

dA

O

3. 静力学关系:

代入物理关系式 得:


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—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。

式中: T—横截面上的扭矩,由截面法通过外力偶矩求得。

 —该点到圆心的距离。

Ip—极惯性矩,纯几何量,无物理意义。

单位:mm4,m4。


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对于实心圆截面:

尽管由实心圆截面杆推出,但同样适用于空心圆截面杆, 只是Ip值不同。

d

D

O


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D

d

对于空心圆截面:

d

O


4301205

t

max

4. 应力分布

t

t

max

max

T

T

t

max

(实心截面)

(空心截面)

工程上采用空心截面构件:提高强度,节约材料,重量轻, 结构轻便,应用广泛。


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知:当

对于实心圆截面:

对于空心圆截面:

5. 最大剪应力:

Wt — 抗扭截面系数(抗扭截面模量),

几何量,单位:mm3或m3。


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三、圆轴扭转时的强度计算

强度条件:

([]称为许用剪应力。)

对于等截面圆轴:

强度计算三方面:

① 校核强度:

② 设计截面尺寸:

③ 计算许可载荷:


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m

m

C

A

B

D2=75

D1=70

D3=135

[例2] 功率为150kW,转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图,许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。

解:①求扭矩及扭矩图

T

m

x

②计算并校核剪应力强度

③此轴满足强度要求。


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§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件

一、扭转时的变形

由公式

知:长为l一段杆两截面间相对扭转角为


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二、单位扭转角 :

GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截面的抗扭刚度。

三、刚度条件

[ ]称为许用单位扭转角。


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刚度计算的三方面:

① 校核刚度:

② 设计截面尺寸:

③ 计算许可载荷:

有时,还可依据此条件进行选材。


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[例3]长为 L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m的作用,如图,若杆的内外径之比为=0.8 ,G=80GPa,许用剪应力 []=30MPa,试设计杆的外径;若[]=2º/m,试校核此杆的刚度,并求右端面转角。

解:①设计杆的外径


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代入数值得:

D  0.0226m。

② 由扭转刚度条件校核刚度

40Nm

T

x


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③右端面转角为:

40Nm

T

x


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N1

N2

N3

A

B

C

500

400

[例4]某传动轴设计要求转速n = 500 r / min,输入功率N1 = 500 马力, 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力,已知:G=80GPa ,[ ]=70M Pa,[ ]=1º/m,试确定:

①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2?

②若全轴选同一直径,应为多少?

③主动轮与从动轮如何安排合理?

解:①图示状态下,扭矩如

图,由强度条件得:

T

x

(kNm)

– 4.21

–7.024


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N1

N2

N3

A

B

C

500

400

由刚度条件得:

T

(kNm)

x

–4.21

–7.024


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综上:

②全轴选同一直径时


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③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理,所以,1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。

T

(kNm)

2.814

x

– 4.21


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§3–6 等直圆杆的扭转超静定问题

解决扭转超静定问题的方法步骤:

平衡方程;

几何方程——变形协调方程;

物理方程;

补充方程:由几何方程和物理方程得;

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。


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[例5]长为 L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m的作用,如图,若杆的内外径之比为=0.8 ,外径D=0.0226m ,G=80GPa,试求固端反力偶。

解:①杆的受力图如图示, 这是一次超静定问题。平衡方程为:


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②几何方程——变形协调方程

③ 综合物理方程与几何方程,得补充方程:

④ 由平衡方程和补充方程得:

另:此题可由对称性直接求得结果。


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§3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形

非圆截面等直杆:平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此,由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用,须由弹性力学方法求解。


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b

t

h

max

t

T

1

³

h

b

注意!

一、自由扭转:杆件扭转时,横截面的翘曲不受限制,任意两相

邻截面的翘曲程度完全相同。

二、约束扭转:杆件扭转时,横截面的翘曲受到限制,相邻截面

的翘曲程度不同。

三、矩形杆横截面上的剪应力:

1. 剪应力分布如图:

(角点、形心、长短边中点)

2. 最大剪应力:


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塑性材料扭转断裂演示


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脆性材料扭转断裂演示


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本章结束


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