Eksponentiel vækst

1. Eksponentiel vækst Hvad forstås ved begrebet vækst? Vækstformlen – hvordan, hvorfor, hvornår? Hvordan regnes der med eksponentiel vækst? Eksempler…

2. Hvad forstås ved vækst? • Ved vækst forstås, at noget vokser… • Priser på varerne i et supermarked, f.eks. havregrynen, vokser fra år til år. • Lønningerne vokser. • Beløbet på bankkontoen vokser (hvis man ikke hæver penge på kontoen) • Antallet af biler i trafikken vokser. • Antallet af mus i buret vokser (hvis de er sunde og raske og har nok at spise). • Antallet af bakterier i en bakterieprøve vokser. • Antal indbyggere på jordkloden vokser. • Verdens produktion af forskellige afgrøder og forbrugsgoder vokser.

3. Hvad forstås ved vækst? • … eller at noget falder (negativ vækst). • De små danske øer mister indbyggere fra år til år på grund af fraflytning. • Den radioaktive stråling (fra f.eks. Uran) falder (bliver mindre) med tiden. • Legemstemperaturen i et lig falder med tiden. • Jordens beholdning af fossile brændstoffer falder over en årrække. … osv.

4. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

5. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

6. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

7. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

8. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

9. Hvad forstås ved vækst? Vækst kan foregå i absolutte tal eller relativt (procentuelt):

10. Hvad forstås ved vækst? Skal man afbilde envækst i absolutte talgrafisk i et koordinatsystem, bliver der tale om enret linie (enheden på x-aksen er tid, f.eks. årstal) Tid

11. Hvad forstås ved vækst? Skal man afbilde envækst i procentergrafisk i et koordinatsystem, bliver der derimod tale om eneksponentialfunktion (enheden på x-aksen er igen tid) Tid

12. Hvad forstås ved vækst? Kendetegnende ved vækst i absolutte værdier er, at tilvæksten er den samme for hver periode. Der lægges hele tiden det samme til! Ved vækst i procenter bliver tilvæksten større og større, desto længere tid der går. Dette skyldes begrebet ”rentes rente” – der tages hele tiden procenten af et større tal. Vækst i procenter (eksponentiel vækst) Vækst i absolutte værdier (lineær vækst) Tid

13. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.:

14. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.: Bemærk, at det beløb, man får tilskrevet i rente, vokser som årene går. Dette skyldes, at renten tages at et stadigt større beløb!

15. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.:

16. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi først på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 % i rente pr. år.: Når vi afbilder indeståendet på vores bankkonto år for år, får vi en let stigende ”linie”

17. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.:

18. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.: Bemærk igen, at beløbet, man får tilskrevet i rente, vokser som årene går. Her er det bare mere markant, da procentsatsen er større!

19. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.:

20. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi dernæst på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 20 % i rente pr. år.: Her ser vi, at ”liniens” stigning bliver kraftigere end før – svarende til at vi før en større procentvis tilskrivning!

21. Vækstformlen - hvordan? Når noget vokser med samme procentsats hvert år, får man følgende udregning; her ser vi samlet på, hvad der sker med 100 kr i en bank, der tilskriver 10 %, hhv. 20 % i rente pr. år.: Jo større procentvis tilskrivning – desto stejlere ”linie”!

22. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen:

23. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken

24. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år

25. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år

26. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år r = procentsatsen, der tilskrives i rente

27. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: For oversigtens skyld indfører vi et par udtryk, der kan munde ud i en formel, vækstformlen: K0 = det beløb, vi sætter i banken K1 = det beløb, der står på kontoen efter 1 år Kn = det beløb, der står på kontoen efter n år r = procentsatsen, der tilskrives i rente n = antallet af år, der går

28. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år:

29. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100

30. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100 = K0·(1+r/100)

31. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100 = K0·(1+r/100) (K1 = 100·(1+20/100) = 100·(1+0,20) = 100·1,20 = 120)

32. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: … at lægge 20 % til = at gange med 1,20) Udregningen vil se således ud for 1. år: K1 = K0+K0·r/100 = K0·(1+r/100) (K1 = 100·(1+20/100) = 100·(1+0,20) = 100·1,20 = 120)

33. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: - og se således ud for 2. år: K2 = K0·(1+r/100)2 (K2 = 100·(1+20/100)2 = 100·(1+0,20)2 = 100·1,202 = 144)

34. Vækstformlen - hvordan? Lad os lige igen se på udregningerne i nedenstående skema: … at lægge 20 % til 2 gange = at gange med 1,202) - og se således ud for 2. år: K2 = K0·(1+r/100)2 (K2 = 100·(1+20/100)2 = 100·(1+0,20)2 = 100·1,202 = 144)

35. Vækstformlen - hvordan? Og hermed er vi nået frem til vækstformlen: Kn = K0·(1+r/100)n - hvor: K0 = startværdien Kn = værdien efter n år (eller perioder) r = procentsatsen, der tilskrives pr. år (eller periode) n = antallet af år (eller perioder), der går

36. Vækstformlen - hvordan? Og hermed er vi nået frem til vækstformlen: Kn = K0·(1+r/100)n - hvor: K0 = startværdien Kn = værdien efter n år (eller perioder) r = procentsatsen, der tilskrives pr. år (eller periode) n = antallet af år (eller perioder), der går Bemærk, at der kan regnes i andre periodelængder end år. En periode kan f.eks. også være et halvt år, en måned, en dag, en time – eller enhver anden tidsangivelse.

37. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 1. Vi skal beregne Kn – det vil sige, at vi skal regne frem i tiden. Vi kender startværdien (K0), rentesatsen (r) samt ved, hvor langt frem i tiden, vi skal gå (n). Eks.: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 mennesker (K0). Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt (r). Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år (n)?

38. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 2. Vi skal beregne K0 – det vil sige, at vi skal regne tilbage i tiden. Vi kender slutværdien (Kn), rentesatsen (r) samt ved, hvor langt tilbage i tiden, vi skal gå (n). Eks.: Danmarks indbyggertal er på 5,5 mio. mennesker (Kn). Indbyggertallet stiger 0,35 % årligt (r). Hvor mange indbyggere var der i Danmark for 100 år siden (n)?

39. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 3. Vi skal beregne r– altså finde den procentvise stigning pr. år. Vi kender startværdien (K0) og slutværdien (Kn) samt ved, hvor lang tid, vi taler om (n). Eks.: 6,9 mio. biler (K0) kørte over Storebæltsbroen i 1999, og dette tal var i 2007 steget til 10,7 mio. biler (Kn) Hvor mange procent stiger trafikken med årligt? – der er jo tale om 8 år (n)?

40. De 4 indgange… Da vækstformlen indeholder 4 variable, vil der også være 4 mulige opgavetyper, når vi regner med vækst: Kn = K0·(1+r/100)n 4. Vi skal beregne n– det vil sige, finde det antal år, der går. Vi kender startværdien (K0) og slutværdien (Kn) samt ved, hvilken stigningsprocent (r), vi taler om. Eks.: Jeg indsætter 10.000 kr (K0) på en konto i en bank, der tilskriver 2,25 % årligt i rente (r). Hvor lang tid skal der gå, før der står 25.000 kr (Kn) på kontoen?

41. De 4 indgange… Beregning af Kn

42. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år?

43. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n

44. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12

45. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12=

46. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12= Bemærk parenteserne! De skal med, når du taster ind på lommeregneren!

47. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12= Kn = 143.678

48. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 1: Ålborgs indbyggertal er på 121.600 personer. Indbyggertallet stiger 1,4 % årligt. Hvor mange indbyggere vil der være i Ålborg om 12 år? K0 = 121.600 r = 1,4 % årligt N = 12 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 121.600·(1+1,4/100)12 På lommeregneren tastes: 121600·(1+1,4/100) 12= Kn = 143.678 Der er 143.678 indbyggere i Ålborg om 12 år

49. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 2: Pers forældre indsætter ved Pers fødsel 10.000 kr på en børneopsparing. Hvor meget vil der stå på kontoen, når Per fylder 21 år, hvis banken giver 4,5 % pr år i rente? K0 = 10.000 r = 4,5 % årligt N = 21 år Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 10.000·(1+4,5/100)21 På lommeregneren tastes: 10000·(1+4,5/100) 21= Kn = 25.202 Der 25.202 kr på kontoen, når Per er 21 år.

50. Beregning af Kn… Kn = K0·(1+r/100)n Eksempel 3: En vandprøve indeholder 400 colibakterier. Hvor mange bakterier er der i prøven 2 døgn senere, når colibakterier formerer sig med 12,7 % i timen? K0 = 400 r = 12,7 % i timen N = 2 døgn = 48 timer Kn = K0·(1+r/100)n Kn = 400·(1+12,7/100)48 På lommeregneren tastes: 400·(1+12,7/100) 48= Kn = 124.282 Der er 124.282 colibakterier i prøven 2 døgn senere.