第五章 线性系统的频域分析法
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第五章 线性系统的频域分析法. 5 -1 引言. 频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法,它反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以间接地分析系统的 动态性能 与 稳态性能 。频率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时,可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次,应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论,并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时,可以利用 曲线,图表及经验公式 ,因此,用频率特性法分析系统是很方便的。. 5 -2 频率特性. R. U 0. U I. C.

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5-1 引言

频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法,它反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时,可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次,应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论,并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时,可以利用曲线,图表及经验公式,因此,用频率特性法分析系统是很方便的。


5-2 频率特性


R

U0

UI

C

一、频率特性的基本概念


可见输出幅值是输入的 ,输出相位比输入滞后 。

幅频特性:

相频特性:

频率特性 是当输入为正弦信号时,系统稳态输出(也是一个与输入同频率的正弦信号)与输入信号的幅值比,称为幅频特性;相角之差称为相频特性。



二、频率特性的几何表示法 ,输出相位比输入滞后

1、幅相频率特性曲线(奈奎斯特)

2、对数频率特性曲线

3、对数幅相曲线


5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制


一、典型环节的幅相频率特性曲线的绘制 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

1 比例环节


微分环节 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

积分环节

2、 积分环节和微分环节


3、一阶惯性环节 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制


Im 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

=∞

Re

=0

4、一阶微分环节


5 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、二阶振荡环节


谐振峰值 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制—振荡环节稳态输出能达到的最大幅值比

谐振频率—使输出达到幅值时的频率值


6 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、二阶微分环节


三、开环幅相特性曲线的绘制 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

1、将开环传递函数按典型环节分解


2 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、确定幅相曲线的起点和终点

求出G(j)H (j) →A (),  () → A (0),  (0) 和A (∞),  (∞)


3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、求与实轴交点

令虚部为0,求出实部值


4 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、求与虚轴交点

令实部为0,求出虚部值


例题: 系统开环传递函数为 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

试概略绘制系统的开环幅相曲线。

解:


与虚轴的交点: 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制


例题: 系统开环传递函数为 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

试概略绘制系统的开环幅相曲线。

起点和终点:

与实轴交点:令虚部为0

解:


j 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制


1、比例环节 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

四、典型环节对数频率特性


2 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、积分环节


3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、微分环节


4 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、一阶惯性环节


5 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、一阶微分环节


6 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、二阶振荡环节


7 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、二阶微分环节


五、开环对数幅频渐近特性曲线的绘制 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

1、将开环传递函数按典型环节分解

2、求出各典型环节的交接频率,按从小到大依次标在横坐标轴上

3、绘制起始段渐近线(低频段 <min)

低频段取决于K/v,即20lgK-v20lg,直线斜率为v×(-20dB/dec),直线通过(1,20lgK)

4、从 >min开始,每经历一个交接频率,直线频率变化一次。

一阶惯性 -20dB/dec,二阶振荡-40dB/dec

一阶微分20dB/dec, 二阶微分40dB/dec

5、对数相频曲线绘制:将各典型环节相角叠加,用描点法绘制。


例题: 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制系统开环传递函数为

试绘制系统的对数幅频渐近特性曲线。

解:

交接频率:

(1)1=1时: 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec

(2) 2=10时: 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec

低频段,斜率-20dB/dec, =1,20lgK=20lg20=26dB

过(1,26dB)点

相频特性


5 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制-4 频率域稳定判据


开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制F(s)为复变函数, 在s平面上任一点s1,通过映射,在F(s)平面上的象F(s1)。

一、奈氏判据的数学基础

1、幅角原理


j 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

j

C

p1

z1

p2

s平面

F(s)平面

F(s)相角变化

当s沿s平面上C曲线顺时针运动一周( C曲线不通过F(s)的任一零点和极点),在F(s)平面上映射出一条闭合曲线F。

C曲线内部F(s)零点(或极点)相角变化-2, C曲线外部F(s)零点(或极点)相角变化0,若C曲线包含p个F(s)极点和z个零点,则△∠F(s)=(p-z) 2=R ×2R _ F包含原点的圈数。


2 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、F(s)与G(s)H(s)的关系


二、奈氏判据 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制

闭环稳定

闭环所有极点位于S左半平面

P=R

C曲线包含F(s)右半平面零点个数Z=0

Z=P-R=0

P_开环右半平面极点数(不含虚轴上极点)

R_GH曲线绕(-1,j0)点圈数

Z-闭环右半平面极点数

注意: GH曲线不经过(-1,j0)点。


1 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、C曲线的选择

(1)G(s)H(s)在虚轴上无极点

(2)G(s)H(s)在虚轴上有极点


2 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、GH曲线的绘制


3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制、R的计算

设为GH曲线穿越(-1,j0)左侧负实轴的次数

N+__正穿越(相角增加), N-__负穿越(相角减小)

R=2N=2(N+- N-)


例题: 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 系统开环传递函数为

判断闭环系统稳定性。

解:

R=0,P=0,Z=P-R=0

闭环系统稳定


例题: 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 系统开环传递函数为

试确定闭环系统稳定的K范围。

j

闭环稳定

解:


例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。


解:例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。

所以系统稳定

所以系统不稳定

所以系统不稳定


所以系统稳定例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。

所以系统不稳定

所以系统稳定


三、对数频率稳定判据例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。


例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。

 =0

=+

-

+

-1

+

-

P=0

例题:某系统开环稳定,开环幅相曲线如图所示,将其

转会成对数频率特性曲线,运用对数频率判据判断系统

的闭环稳定性。


5例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。-5 稳定裕度


-1/例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。h

稳定裕度是表征系统稳定程度的两个指标:相角裕度和幅值裕度

一、相角裕度

其定义的含义:对于闭环稳定的系统,如果开环相频特性滞后°,则系统处于临界稳定状态。


-1/例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。h

二、幅值裕度h

如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍,则系统处于临界稳定状态。


L(例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。)

c

()

x


注意:例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。

(1)只有最小相位系统,当>0,h>1两个条件同时满足时,闭环系统稳定。

(2)对于非最小相位系统,不能用>0,h>1两个条件判断闭环系统稳定性。

(3)对于最小相位系统,越大,h越大,系统的相对稳定性越好,但同时考虑系统的动态性能和稳态误差。 =30°~70°,h=6~20dB。


例题例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。:设单位反馈系统的开环传递函数为

试分别计算K=2, K=20时,系统的相角裕度和幅值裕度。

解:


K例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。=5,>0,h(dB)>0,闭环稳定;

K=20,<0,h(dB)<0,闭环不稳定;


5例题:如图所示的奈氏曲线中,判别哪些是稳定的,哪些是不稳定的。-6 闭环系统的频域性能指标


对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:

1、系统带宽和带宽频率

闭环对数幅频特性下降到频率为0时分贝值以下3dB 时对应的频率,称为带宽频率b,[0, b ]称为带宽。

一、闭环频域性能指标及其域时域性能指标之间的关系


L(对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:)

20lgMr

3dB

20lg|(j0)|

r

b

当输入正弦信号的频率> b,系统输出将呈现较大的衰减,带宽大,表明系统能通过较高频率的输入信号,跟踪输入信号的能力强,但抑制输入端高频干扰的能力弱。


(1)一阶系统对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:

结论:b大,响应速度快。


结论对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:2: 给定后,b与ts成反比,即b大,响应速度快。该结论可以推广到任意阶次的系统。

(2)欠阻尼二阶系统

结论1: n不变,↑→b↓;不变, n↑→b↓


2对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:、谐振峰值Mr

|(j)|最大值为谐振峰值,对应的频率为谐振频率r。谐振峰值越小,稳定性越好。

L()

20lgMr

3dB

20lg|(j0)|

r

b

二阶系统

结论:Mr↓→↑,系统平稳性好。


闭环对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:频域指标:Mr——平稳性; b——响应速度。

开环频域指标:——平稳性; c——响应速度。

二、闭环频域指标与开环频域指标之间的关系

1、 b和c之间的关系

若两个系统稳定程度相同,b大,c大。


j对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:

o

c

A

B

2、 和Mr之间关系


谐振峰值 对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:

谐振频率

带宽频率

截止频率

相角裕度

幅值裕度

三、频域指标与时域指标的关系

1、二阶系统


2对于单位反馈系统,闭环和开环系统频率特性的关系:、高阶系统


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