Dane informacyjne
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 65

DANE INFORMACYJNE PowerPoint PPT Presentation


  • 93 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

DANE INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Liceum Ogólnokształcące im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni ID grupy: 97/65_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa Semestr drugi, rok szkolny 2010/2011. CELE PROJEKTU.

Download Presentation

DANE INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Dane informacyjne

DANE INFORMACYJNE

  • Nazwa szkoły:

  • Liceum Ogólnokształcące im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni

  • ID grupy:

  • 97/65_MF_G1

  • Kompetencja:

  • Matematyczno-fizyczna

  • Temat projektowy:

  • Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa

  • Semestr drugi, rok szkolny 2010/2011


Cele projektu

CELE PROJEKTU

Celem projektu „AS KOMPETENCJI” jest umożliwienie uczniom szkół ponadgimnazjalnych rozwoju kompetencji matematyczno-fizycznych.


Nasz zesp

Nasz zespół


Sk ad

Skład

  • Opiekun:

  • Justyna Rewers

Uczestnicy projektu:

Robert Kamiński

Marta Mielcarek

Marta Student

Patryk Szymkowiak

Jarosław Długosz

Weronika Majchrzak

Katarzyna Harendarz

Patrycja Wojciechowska

Kamila Kubasiak

Natalia Dewo


Spis tre ci

SPIS TREŚCI

  • Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa

  • Rachunek prawdopodobieństwa

  • Cel rachunku prawdopodobieństwa

  • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

  • Własności prawdopodobieństwa

  • Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

  • Zdarzenia losowe


Spis tre ci1

SPIS TREŚCI

  • Schemat Bernoulliego

  • Wartość oczekiwana

  • Metoda „drzewek” w rachunku prawdopodobieństwa

  • Zadanie 1

  • Zadanie 2

  • Zadanie 3

  • Zadanie 4

  • Ciekawostki


Spis tre ci2

SPIS TREŚCI

  • Loterie

  • Loteria fantowa

  • Rodzaje gier

  • Ruletka – zasady gry

  • Lotto

  • Prawdopodobieństwo w lotto


Spis tre ci3

SPIS TREŚCI

  • Poker

  • Ryzyko i łączenie ryzyka

  • Gry

  • Kamień, papier, nożyce

  • Kości

  • Szkółka

  • Szachy


Dane informacyjne

Intuicje

w

rachunku

prawdopodobieństwa


Dane informacyjne

Rachunek prawdopodobieństwa

  • Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

  • Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyły gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo, że gra znana była już w starożytności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy z XVII w. Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Podstawowymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa są: przestrzeń zdarzeń elementarnych, z jej elementami, doświadczenie oraz zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia.


Dane informacyjne

Blaise Pascal

Pierre de Fermat


Dane informacyjne

Cel rachunku

prawdopodobieństwa

Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia tej szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego.


Dane informacyjne

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Sposób liczenia prawdopodobieństwa podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Twierdzenie to brzmi:

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe.

|liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających A|

P(A) =

|liczba wszystkich zdarzeń elementarnych|


Dane informacyjne

Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe

|A|

P(A) =

|Ω|

|A| oznacza liczbę elementów zbioru A

|Ω|- liczbę elementów zbioru Ω.

Pierre Simon de Laplace


Dane informacyjne

Własności prawdopodobieństwa

  • 0≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω

  • P (Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne

  • P (Ø) = 0 Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω)

  • P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω

  • P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.


Dane informacyjne

  • Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem:

P(A’) = 1 – P(A)

  • Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

  • Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli

P(A) ≤ P(B)

to

P(B\A) = P(B) – P(A)


Dane informacyjne

Twierdzenie

o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki:

1. Bi ∩ Bj = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω,3. P (Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n

to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość:

P (A) = P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) + ... + P (A | Bn)· P (Bn)


Dane informacyjne

Zdarzenia losowe

  • To zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć.

  • To wyniki eksperymentu losowego, którym może być np.:

    • opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą,

    • losowy wybór elementu z określonego zbioru,

    • obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie.

    • Dla zdarzeń losowych chcemy

    • badać szansę ich zajścia.


Dane informacyjne

Zdarzenia niezależne

i prawdopodobieństwo warunkowe

  • Zdarzenia niezależne Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy

  • P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

  • Prawdopodobieństwo warunkowe

  • Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0.Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, ze zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę:

P(A ∩ B)

P(A|B) =

P(B)


Dane informacyjne

Schemat Bernoulliego

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem :

( )

n

k

. .

k n-k

p q

p + q = 1

gdzie:p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.


Dane informacyjne

Wartość oczekiwana

  • W przypadku gier losowych wartość oczekiwaną możemy zdefiniować jako średni zysk przypadający na pojedynczą grę.Ale nie możemy tego rozpatrywać w stosunku do jednej gry. Przyjmuje się, że ten średni zysk wynika z gier rozgrywanych nieskończoną ilość razy.

  • Wartość oczekiwaną możemy wyliczyć w oparciu o prosty wzór:

  • E = p x zysk + (1-p) x strata

  • E – wartość oczekiwana gryp – prawdopodobieństwo wygranej(1-p) – prawdopodobieństwo porażki


Dane informacyjne

Przykład

  • Ruletka europejska

  • Załóżmy, że chcemy postawić na pojedynczy numer 100 żetonów.Wiemy, że jeżeli wygramy, to nasz zysk wyniesie 3500 żetonów.Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1 do 37 .

  • Podstawiamy do wzoru:

  • E = 1/37 x 3500 + (1-1/37) x (-100) = -2,70

  • Zakład na kolor

  • Stawiamy 100 żetonów na czarny. Zysk, który możemy osiągnąć również wynosi 100 żetonów. Prawdopodobieństwo wygranej to 18 do 37.

  • E = 18/37 x 100 + (1-18/37) x (-100) = -2,70

  • Oba wyniki są ujemne i nawet na tym samym poziomie.Ujemna wartość oznacza, że gra ta jest dla nas niekorzystna, bo tracimy na każdej grze średnio 2,70 żetona, czyli ok. 2,70%.


Dane informacyjne

Metoda „drzewek” w rachunku prawdopodobieństwa

Definicje i wzory dotyczące permutacji, wariacji i kombinacji oraz ich zastosowanie, sprawiają pewnej części młodzieży problemy, które w zasadzie nie występują podczas omawiania i prezentowania metody "drzewek". Większość zagadnień dotyczących rachunku prawdopodobieństwa, rozważanych dotąd czysto teoretycznie, można po prostu zobaczyć. Uczeń rozwiązując zadanie z rachunku prawdopodobieństwa metodą drzewka uczy się organizacji pracy, wprowadzając ład i porządek nie tylko w zbiorze danych, ale i w całej analizowanej przez nich sytuacji. Widoczne są wówczas wielostronne powiązania pomiędzy danymi występującymi w zadaniu. Graficzne odwzorowanie toku rozumowania ma ogromny wpływ na dyscyplinę pracy uczniów rozwiązujących dany problem. Bez stosowania środków graficznych postępowania ich były często chaotyczne i przypadkowe.Rysując "drzewo" uczniowie w sposób aktywny i naturalny odkrywają różne zależności kombinatoryczne i dochodzą do twierdzeń probabilistycznych. Krótko mówiąc metoda ta zdecydowanie ułatwia im przejście od konkretu do abstrakcji matematycznej.


Dane informacyjne

Zadanie 1

Losujemy 3 karty z talii 52 kart. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane karty to trzy asy, a jakie, że wśród wylosowanych kart są dokładnie dwa asy.


Dane informacyjne

Zadanie 2

W pewnej grze rzucamy kostką. Jeśli otrzymamy 1,2 lub 3 oczka, to wykonujemy dodatkowy rzut, a jeśli otrzymamy 4 lub 5 oczek, to mamy prawo do dwóch kolejnych rzutów. Grę wygrywamy, jeśli w jednym z rzutów wypadnie szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej w tej grze?


Dane informacyjne

Zadanie 3

W dwóch pudełkach są cukierki. W pierwszym pudełku jest 15 cukierków czekoladowych i 5 owocowych, a w drugim pudełku jest 20 cukierków czekoladowych i 30 owocowych. Losujemy cukierek najpierw z pierwszego, a potem z drugiego pudełka.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyniku losowania otrzymamy dwa cukierki czekoladowe?

Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden z wylosowanych cukierków będzie czekoladowy, a drugi owocowy?


Dane informacyjne

Zadanie 4

Najstarsi górale oceniają, że w tym roku szanse na ciepłą jesień są dwa razy większe niż na jesień zimną. Przewidują oni, że jeśli jesień będzie ciepła, to z prawdopodobieństwem 95% zima będzie śnieżna. Natomiast jeśli jesień będzie zimna, to śnieżnej zimy należy się spodziewać z prawdopodobieństwem 90%. Oblicz, jakie - według górali – jest prawdopodobieństwo, że zima będzie śnieżna.


Dane informacyjne

Ciekawostki


Dane informacyjne

  • Wydawałoby się, że bardzo rzadko się zdarza, by przypadkowo spotkały się dwie osoby urodzone tego samego dnia roku. Można jednak obliczyć, że nawet w małej grupie osób prawdopodobieństwo takiego spotkania jest dość duże.

  • Przykład:

  • Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej grupie 50 osób są dwie osoby urodzone tego samego dnia ,wynosi ponad 0,97.

  • Nawet w grupie 23 osób jest ono większe od ⅟2.


Dane informacyjne

Wolfgang Amadeusz Mozart znany był z poczucia humoru. Jednym z przykładów może być utwór MusikalischesWurfelspiel (Muzyczna gra w kości), wydany już po śmierci autora. Dziełko to jest przepisem na tworzenie różnych 16-taktowych menuetów. Mozart przedstawił po dwie propozycje taktów ósmego i szesnastego oraz po jedenaście propozycji każdego z pozostałych taktów. Wykonawca sam mógł dokonać wyboru wariantów taktów i „skomponować” własny menuet. Odegranie takiego utworu zajmowało około pół minuty. Mozart chciał, by wybór wersji taktu ósmego i szesnastego następował na przykład w wyniku rzutu monetą, a wybór wersji każdego z pozostałych jedenastu taktów — w wyniku rzutu kostkami. Proponował, by rzucać dwiema kostkami i od sumy oczek na kostkach odejmować 1. Wynik wskazywałby, którą z jedenastu wersji należy wybrać.


Dane informacyjne

Loterie


Dane informacyjne

Loteria fantowa

  • Loterie fantowe, w których uczestniczy się przez nabycie losu lub innego dowodu udziału w grze, a podmiot urządzający loterię oferuje wyłącznie wygrane rzeczowe.

  • Podmiot urządzający loterię fantową jest obowiązany zgłaszać pisemnie właściwemu naczelnikowi urzędu celnego zamiar zniszczenia losów, kartonów lub innych dowodów udziału w takiej grze co najmniej na 7 dni przed planowanym terminem przeprowadzenia tych czynności. Czynność zniszczenia podlega kontroli.

  • W grach losowych, z wyjątkiem loterii fantowych i loterii promocyjnych, mogą uczestniczyć wyłącznie osoby, które ukończyły 18 lat.


Dane informacyjne

Rodzaje gier

W kasynie może grać w wiele różnych odmian gier. Hazard przyciąga amatorów mocnych wrażeń, chętnych poczuć adrenalinę i zgarnąć wysoką pulę pieniężną. Poniżej rodzaje gier hazardowych oraz ich najpopularniejsze wersje.

Wrzutowe:

-CrazySports

-GoldRush

-Lucky8-Line

-MagicLove

-MegaJoker

-PiratesGold

-SkeetShooter

-SuperSevens

Inne:

-Bingo

-BonusKeno

-JackpotTicket

-JungleKeno

-Keno

- Triple Win

Stołowe:

-Baccarat

-BlackJack

-BlackJackDoubleJack

-CaribbeanStudPoker

-CasinoHold'em

-FrancuskaRuletka

-HighLow

-HighRollerBlackJack


Dane informacyjne

Ruletka – zasady gry

Gra w ruletkę to stół do gry, na którym obstawia się poszczególne numery oraz koło do ruletki, na których znajduje się 37 lub 38 pół z poszczególnymi numerami. Ruletka europejska posiada 37 pól, a ruletka amerykańska 38 przedziałów z poszczególnymi numerami. Cała gra ruletka opiera się na obstawianiu zakładów, w których to można obstawiać poszczególne numery oraz tak zwane zakłady zewnętrzne. Całość gry jest prowadzona przez krupiera, czyli osobę prowadząca, która najpierw wprawia w ruch koło ruletki, a następnie w przeciwnym kierunku wyrzuca kulkę, która ma za zadanie zatrzymać się na jednym z ponumerowanych pól. Jedną z możliwości obstawianych zakładów jest liczba od 0 do 36, a inną możliwością jest kolor czarny lub czerwony na kole ruletki. Każdy z graczy obstawia zatem określone liczby na stole do ruletki lub wybiera jeden z kolorów, przy czym stawki są wysokie za dobrze wytypowaną liczbę, natomiast za kolor wynoszą tylko 1:1. każdy z graczy ma wiele możliwości do obstawienia na kole ruletki, a kierują się oni wyłącznie szczęśliwym losem oraz przeczuciem. Im więcej graczy, oraz obstawionych liczb, tym cała gra "ruletka" jest ciekawsza i bardziej ekscytująca.


Dane informacyjne

LOTTO

Na kuponie Lotto zaznaczamy 6(k) liczb z 49(n). Za taki zakład płacimy 3 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało? Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb tworzymy sześcioelementowe kombinacje zbioru 49 elementów. Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru:

Za każdy zakład musimy zapłacić 3 zł, więc za 13 983 816 zakładów zapłacimy 41 951 448 zł, czyli prawie 42 mln złotych.


Dane informacyjne

PRAWDOPODOBIEŃSTWO W LOTTO

  • Prawdopodobieństwo trafienia wynosi dokładnie 1 : 13.983.816. Matematycznie patrząc jest mniej prawdopodobne, niż uderzenie w ziemię rozpędzonej planetoidy.

  • Wbrew powszechnej opinii nie ma znaczenia czy losujemy liczby (chybił-trafił), czy podajemy swoje. Wielu graczy stawia na stałą kombinację, ufając, że w końcu musi ona paść. Jednak szansa, że dana kombinacja nie padnie przez 1000 lat, wynosi 98,9%

  • Gdyby zwiększyć liczbę kul o jeden (do 50 kul), to ilość kombinacji zwiększyłaby się o 1 906 884 (do 15 890 700 kombinacji)


Dane informacyjne

PRAWDOPODOBIEŃSTWO W LOTTO

  • Obliczenie prawdopodobieństwa wygranej w którejś z gier Lotto staje się proste, gdy wykorzystamy do tego np. kalkulator udostępniany przez Google. Zobacz metodę obliczania prawdopodobieństwa wygranej, na przykładzie Dużego Lotka

  • Duży Lotek - prawdopodobieństwo wygranej

  • - trójka: 1 do 57

  • - czwórka: 1 do 1032,

  • - piątka: 1 do 54201,

  • szóstka: 1 do 13983816.

  • Ekspress Lotek - prawdopodobieństwo wygranej

  • - trójka: 1 do 128

  • - czwórka: 1 do 4598,

  • - piątka: 1 do 850668.


Dane informacyjne

  • Multi Lotek - prawdopodobieństwo wygranej

  • Liczba typowanych liczb: 10

  • czwórka: 1 do 7,

  • piątka: 1 do 19,

  • szóstka: 1 do 87,

  • siódemka: 1 do 621,

  • ósemka: 1 do 7384,

  • dziewiątka: 1 do 163381,

  • dziesiątka: 1 do 8911711.

  • Liczba typowanych liczb: 9

  • czwórka: 1 do 9,

  • piątka: 1 do 31,

  • szóstka: 1 do 175,

  • siódemka: 1 do 1690,

  • ósemka: 1 do 30682,

  • dziewiątka: 1 do 1380688.

  • Liczba typowanych liczb: 8

  • czwórka: 1 do 12,

  • piątka: 1 do 55,

  • szóstka: 1 do 423,

  • siódemka: 1 do 6232,

  • ósemka: 1 do 230115.

  • Liczba typowanych liczb: 7

  • trójka: 1 do 6,

  • czwórka: 1 do 19,

  • piątka: 1 do 116,

  • szóstka: 1 do 1366,

  • siódemka: 1 do 40979.

  • Liczba typowanych liczb: 6

  • trójka: 1 do 8,

  • czwórka: 1 do 35,

  • piątka: 1 do 323,

  • szóstka: 1 do 7753.

  • Liczba typowanych liczb: 5

  • trójka: 1 do 12,

  • czwórka: 1 do 83,

  • piątka: 1 do 1551.

  • Liczba typowanych liczb: 4

  • dwójka: 1 do 5,

  • trójka: 1 do 23,

  • czwórka: 1 do 326.

  • Liczba typowanych liczb: 3

  • dwójka: 1 do 7,

  • trójka: 1 do 72.

  • Liczba typowanych liczb: 2

  • dwójka: 1 do 17,

  • Liczba typowanych liczb: 1

  • jedynka: 1 do 4.


Dane informacyjne

Poker

Poker - gra karciana, rozgrywana talią składającą się z 52 kart, której celem jest wygranie pieniędzy od pozostałych uczestników lub żetonów (CHIPS) w wersji sportowej dzięki skompletowaniu najlepszego układu lub za pomocą tzw. blefu.

Liczba graczy przy jednym stole ograniczona jest jedynie liczbą kart w talii, jednakże nie może być mniejsza niż dwóch. W praktyce nie gra się więcej niż w dziesięć osób.


Dane informacyjne

Poker - prawdopodobieństwo

Rachunek prawdopodobieństwa odgrywa w pokerze zasadniczą rolę. Gracze po otrzymaniu kart kalkulują, jaką mają szansę na dany układ po wymianie kart i na tej podstawie obstawiają. Należy jednak zauważyć, iż prawdopodobieństwo to może wynosić zero lub być niższe niż to zakładane przez gracza. Np. - gracz mający cztery karty w tym samym kolorze - karo (zakładając, iż grają trzy osoby) - chce mieć kolor i jako pierwszy dostanie kartę po wymianie. Zakładając, iż w takim układzie dostanie tę jedną kartę ze zbioru 37 pozostałych kart (52 - 15) to prawdopodobieństwo otrzymania karty w kolorze karo jest od 0 do 9/37 (0,2432) - pomimo iż intuicyjnie może się wydawać, iż ta szansa wynosi 1/4 (są cztery kolory kart). Przedział takiego prawdopodobieństwa jest taki dlatego, że pozostali gracze mogą mieć 9 kart w kolorze karo - wówczas w talii nie ma już kart karo. Można sobie wyobrazić drugi skrajny przypadek w którym to żaden z graczy nie ma ani jednej karty karo i pozostałe 9 kart tego koloru znajduje się w talii - wówczas szansa, iż gracz dostanie karo i będzie miał kolor, wynosi 9 do 37. Wynika z tego wniosek, iż w pokerze gracze nie znają dokładnego prawdopodobieństwa - a jedynie mogą je szacować w zależności od ilości graczy.


Dane informacyjne

Ryzyko i łączenie ryzyka


Dane informacyjne

Grami nazywamy sytuacje, kiedy wyniki o określonej wartości (np. pieniężnej) pojawiają się ze znanym prawdopodobieństwem

Wartość oczekiwana gry, WO, jest to suma jej wyników pomnożonych przez prawdopodobieństwo ich pojawienia się. Informuje ona o przeciętnym wyniku wielu partii tej gry.

πs – prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku

ws – wynik gry

s – liczba możliwych wyników

Gra jest tym bardziej opłacalna, im większa jest jej wartość oczekiwana.

Gra jest tym bardziej ryzykowna, im większy jest rozrzut jej wyników i im częściej pojawiają się wyniki bardziej oddalone od wartości oczekiwanej gry.


Dane informacyjne

Wariancja gry, WG, jest to suma podniesionych do kwadratu odchyleń wyników gry od jej wartości oczekiwanej, zważonych prawdopodobieństwem wystąpienia tych wyników. Informuje ona o ryzykowności gry.

πs – prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku

ws – wynik gry

s – liczba możliwych wyników

Z dwóch gier o równej wartości oczekiwanej osoby niechętne ryzyku wybierają grę mniej ryzykowną, a osoby lubiące ryzyko – grę bardziej ryzykowną. Osobom neutralnym wobec ryzyka jest obojętne, którą z gier wybiorą.


Dane informacyjne

Zmiana użyteczności całkowitej, spowodowana zwiększeniem się majątku o daną, stałą porcję, czyli użyteczność krańcowa, zmniejsza się w miarę wzrostu majątku.

Za kolejne, równe porcje dochodu ludzie kupują dobra coraz mniej użyteczne. Najbardziej użyteczne produkty zostają nabyte szybko, za pierwsze porcje dochodu.

Skoro użyteczność krańcowa majątku maleje, to utrata danej sumy pieniędzy powoduje spadek użyteczności całkowitej, który jest większy od przyrostu użyteczności całkowitej, spowodowanego dodatkowym dochodem tej samej wielkości.

(na podstawie Czarny 2002)

Malejąca krańcowa użyteczność majątku sprawia, że wartość bezwzględna straty jest większa niż wartość bezwzględna korzyści. |U1| > |U2|

Gra sprawiedliwa w kategoriach pieniężnych może być niekorzystna

w kategoriach użyteczności.


Dane informacyjne

Łączenie ryzyka

Połączenie dochodów i ryzyka nie zmienia wartości oczekiwanej gry, ale za to zmniejsza jej ryzykowność.

Gra o wynikach 4 i 2, które pojawiają się z prawdopodobieństwem ½, zmienia się w grę o wynikach 4,3,2 pojawiających się z prawdopodobieństwem odpowiednio ¼, ½, ¼ .

Połączenie dochodów malarza i żołnierza

Skutki łączenia ryzyka


Dane informacyjne

Łączenie ryzyka na rynku kapitałowym

Prawo wielkich liczb mówi, że przeciętny wynik gry jest tym bliższy jej wartości oczekiwanej, im więcej partii gry zostanie rozegranych.

Emisja akcji i ich sprzedaż na giełdzie oznaczają, że właściciele przedsiębiorstwa pozbywają się części obciążającego ich ryzyka, którego źródłem jest zmienność wyników gospodarowania. Ryzyko to zostaje przeniesione na nabywców akcji.

Dochody właściciela z emisji akcji mogą zostać przeznaczone na zakup w innych przedsiębiorstwach. W taki sposób właściciele przedsiębiorstw mogą połączyć ryzyko związane z udziałem w wielu różnych grach gospodarczych, co wiąże się ze zmniejszeniem ryzyka.

Różnicowanie portfela inwestycyjnego

Warunkiem możliwości sensownego różnicowania portfela inwestycyjnego

jest niezależność zdarzeń.


Dane informacyjne

Linia charakterystyczna papieru wartościowego, zwana również linią najlepszego dopasowania wskazuje jakiej stopy zwrotu z inwestycji w akcje konkretnego przedsiębiorstwa może inwestor oczekiwać przy danej stopie zwrotu z portfela rynkowego.

Współczynnik kierunkowy linii jest nazywany współczynnikiem beta (β) – ukazuje on siłę reakcji stopy zwrotu z danej akcji na zmiany stopy zwrotu z portfela rynkowego.

W przypadku akcji, których dochodowość zmienia się przeciwnie do portfela rynkowego linia najlepszego dopasowania będzie miała nachylenie ujemne (współczynnik β

będzie przyjmował wartości ujemne).


Dane informacyjne

  • Rynek ubezpieczeń

  • Zadanie

  • Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję z gry w „ubezpieczanie samochodu” i „nie ubezpieczam samochodu”.

  • Dane:

  • wartość samochodu 50 000 zł

  • prawdopodobieństwo, że samochód zostanie skradziony w ciągu roku 0,1

  • roczna polisa 5000 zł

  • w razie skradzenia samochodu firma ubezpieczeniowa zwraca całą wartość samochodu.

  • Pierwsza gra – nie ubezpieczam samochodu:

  • WO1= -50 000 zł · 0,1 + 0 zł · 0,9 = - 5000 zł + 0 zł = -5000 zł

  • Druga gra – ubezpieczam samochód:

  • WO2 = - 5000zł · 0,1 + (-5000zł) · 0,9 = -5000zł

  • Obydwie gry są więc tak samo niekorzystne.

  • Sprawdźmy, która gra jest bardziej ryzykowna:

  • WG1= (-45 000)2 zł · 0,1 + (5000) 2 zł · 0,9 = 225 000 000

  • WG2= 02 zł · 0,1 + 0 2 zł · 0,9 = 0

  • Pierwsza gra jest więc bardzo ryzykowna, druga nie jest obciążona ryzykiem.

  • Ta sama gra, ale grającym jest ubezpieczyciel.

  • WOu= (-50 000 zł (odszkodowanie) + 5000 zł (składka)) · 0,1

  • + 5000zł (składka) · 0,9 = 0 zł

  • WGu = (-45 000)2 zł · 0,1 + 50002 zł · 0,9 = 225 000 000 zł

  • Ubezpieczyciel przejął więc na siebie całe ryzyko, jakiego pozbył się ubezpieczający.

  • Aby zmniejszyć ryzyko ubezpieczyciel może stosować:

  • łączenie ryzyka

  • dzielenie ryzyka


Dane informacyjne

Łączenie ryzyka

polega na tworzeniu puli składek, z której wypłacane są odszkodowania. Połączywszy niezależne rodzaje ryzyka, ubezpieczyciel zmniejsza prawdopodobieństwo wystąpienia sytuacji, że zabraknie mu na wypłaty. Tym samym zachęca klientów przez większą wiarygodność.

Towarzystwo ubezpieczeniowe może oferować wiele rodzajów polis. Wspólna pula ryzyka, którą zarządza ubezpieczyciel, obejmuje zatem wiele niezależnych rodzajów ryzyka, co zmniejsza zagrożenie niewypłacalnością.

Dodatkowo rzeczywista stawka za ubezpieczenia jest wyższa od „sprawiedliwej” czyli korzystna dla towarzystwa ubezpieczeniowego.


Dane informacyjne

Dzielenie ryzyka przez towarzystwa ubezpieczeniowe

Reasekuracja polega na odstępowaniu części transakcji ubezpieczeniowych innym firmom ubezpieczeniowym. Ubezpieczyciel przekazuje część składek w zamian za zobowiązanie reasekuratora do zwrotu proporcjonalnej części wypłacanych odszkodowań. Celem reasekuracji jest wyeliminowanie niebezpieczeństwa strat przekraczających fundusze ubezpieczyciela.

Wymiana ryzyka, polega na wymianie polis. Przykładem jest CATEX (Catastrophe Risk Exchange). Do systemu CATEX przystąpiło już ponad 300 towarzystw ubezpieczeniowych z całego świata. Wymiana polis następuje według uzgodnionego stosunku, który zależy od oceny prawdopodobieństwa wystąpienia szkód oraz od nastawienia stron do różnych rodzajów ryzyka. W efekcie ubezpieczyciel działający tylko w jednym regionie może rozłożyć ryzyko większy obszar. Ponadto specjalizując się w ubezpieczeniach jednej grupy klientów, nie koncentruje ryzyka na tej grupie.

Sekurytyzacja (ang. securitization) polega na zamianie ryzyka ubezpieczeniowego na papiery wartościowe (np. obligacje), które są lokowane na rynku kapitałowym. Dochodowość tych obligacji dla nabywców zależy od tego, czy zdarzenie którego dotyczy ryzyko - zajdzie czy też nie zajdzie. W razie nieszczęścia pozwala to emitentowi sfinansować odszkodowanie oszczędnościami wynikającymi z mniejszych wypłat dla nabywców tych papierów.


Dane informacyjne

Bariery rozwoju rynku ubezpieczeń

Pokusa nadużycia występuje, gdy ubezpieczenie zwiększa prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, którego dotyczy.

Przykładowo właściciel ubezpieczonego samochodu jeździ bardziej brawurowo i nie zamyka samochodu.

Oczywiście towarzystwa ubezpieczeniowe bronią się przed stratami ubezpieczając np. tylko część wartości przedmiotu, co sprawia, że ubezpieczający się uczestniczy w ewentualnej stracie. Innym rozwiązaniem jest żądanie od klienta zamontowania dodatkowego zabezpieczenia (np. alarmu).

Selekcja negatywna oznacza względnie częstsze ubezpieczenie się osób szczególnie zagrożonych zdarzeniem, którego dotyczy ubezpieczenie.

Przykładowo ubezpieczenie na życie wykupują ci, którzy są szczególnie schorowani.

W tym przypadku towarzystwa ubezpieczeniowe bronią się przez podwyższanie cen polis dla klientów z grup wysokiego ryzyka.

Rynek transakcji terminowych służy do zawierania transakcji, w przypadku których cenę uzgadnia się na długo przed dokonaniem płatności i dostawy. Płatność i dostawa następują w uzgodnionym terminie w przyszłości.

Na rynkach transakcji terminowych handluje się tylko towarami nadającymi się do standaryzacji, takimi jak: zboża, metale kolorowe, paliwa.

Szczególnie rozwinęły się również rynki transakcji terminowych dla walut i papierów wartościowych.


Dane informacyjne

  • Opcje

  • Kontrakt pomiędzy wystawcą a nabywcą, który daje temu drugiemu prawo do kupna (lub sprzedaży) określonej ilości instrumentu podstawowego (np. waluty czy akcji) w określonym terminie i po z góry ustalonej cenie.

  • Posiadacz opcji nabywa prawo (nie zaś zobowiązanie), zaś wystawca opcji przyjmuje na siebie zobowiązanie do zrealizowania transakcji. Za nabyte prawo posiadacz płaci wystawcy opcji premię (cena opcji).

  • Jeśli w dniu realizacji transakcji kurs terminowy ustalony w kontrakcie opcyjnym jest mniej korzystny dla kupującego niż bieżący kurs na rynku Klient może nie realizować swojego prawa. Jednym kosztem dla Klienta jest wtedy premia płacona Bankowi przy zawieraniu kontaktu.

  • Banki oferują swoim Klientom opcje typu call i put oraz możliwość ich łączenia w strategie składające się z przynajmniej dwóch opcji o dowolnych parametrach:

  • opcja kupna (call) - dająca jej posiadaczowi prawo do kupna waluty w ściśle określonym momencie w przyszłości po cenie ustalonej w momencie zawierania transakcji

  • opcja sprzedaży (put) - dająca jej posiadaczowi prawo do sprzedaży waluty w ściśle określonym momencie w przyszłości po cenie ustalonej w momencie zawierania transakcji


Dane informacyjne

  • Korzyści

  • możliwość zabezpieczenia się przed niekorzystnymi zmianami kursów walutowych, przy zachowaniu prawa do nieograniczonych zysków w przypadku korzystnej zmiany kursów walutowych

  • prawo do wycofania się z kontraktu poprzez odsprzedanie Bankowi wystawionej przez Klienta opcji przed upływem terminu jej ważności po aktualnej cenie

  • możliwość wykorzystania opcji w celach maksymalizacji wyniku finansowego. Przy trafnym przewidywaniu ruchu kursów walut, opcje walutowe dają możliwość zysku przy z góry określonym poziomie ryzyka. Maksymalna strata w przypadku opcji, zwana premią, którą Klient musi zapłacić. Klient poznaje tę cenę już w momencie zawierania transakcji opcyjnej.


Dane informacyjne

GRY


Dane informacyjne

Kamień, papier, nożyce

Gra składa się z kolejnych tur. W każdej turze obydwaj gracze, na umówiony sygnał, szybko wystawiają przed siebie dłoń, pokazującą symbol papieru, kamienia lub nożyc. Gracz, który pokazał silniejszy symbol, otrzymuje jeden punkt. W przypadku pokazania dwóch takich samych symboli następuje remis – punktu brak. Oto hierarchia symboli:

- nożyce są silniejsze od papieru, ponieważ go tną,

- kamień jest silniejszy od nożyc, ponieważ je tępi,

- papier jest silniejszy od kamienia, ponieważ go owija.

Gracz, który pierwszy uzyska dziesięć punktów, wygrywa partię.

Formalnie, papier, kamień, nożyce można rozważać jako grę o sumie zerowej.

Gra w papier, kamień, nożyce nie posiada równowagi Nasha w strategiach czystych (w teorii gier jest to strategia, w której każdy gracz dokonuje jednego wyboru z prawdopodobieństwem 1 i trwa przy nim) . Znając deterministyczną strategię przeciwnika i grając optymalnie każdy z graczy może zapewnić sobie zwycięstwo.

Gra w papier, kamień, nożyce posiada jednak równowagę Nasha w strategiach mieszanych (gracze podejmują decyzje na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa).. Ma to miejsce wówczas, gdy każdy z graczy randomizuje wybierając każdą z dostępnych mu opcji z jednakowym prawdopodobieństwem 1/3.


Dane informacyjne

Kości

Każdy gracz ma w jednej rundzie trzy rzuty. Pierwszy rzut wykonujemy obowiązkowo wszystkimi kostkami. W następnych rzutach można odłożyć dowolną liczbę kości i rzucać pozostałymi (można też ponownie rzucać wszystkimi kostkami).

Wartości:PARA (symbol: 1P) - dwie takie same kości (np. 2*5=10 pkt)DWIE PARY (symbol: 2P) - dwa razy dwie takie same kości (np. 2*4+2*5=8+10=18 pkt)TRÓJKA (symbol: 3)- trzy takie same kości (np. 3*4= 12 pkt)MAŁY STREET (symbol: MS) (1+2+3+4+5 = 20 pkt)DUŻY STREET (symbol: DS) (2+3+4+5+6= 40 pkt)FULL (symbol: F) - trójka i para razem (np. 3*6+2*5=28 pkt)

KARETA (symbol: K) - cztery kości takie same + premia za karetę" 25 pkt (np. 4*5+25=45 pkt)

POKER (symbol: P) - pięć kości takich samych + premia za pokera" 100 pkt (np. 5*4+100=120 pkt)

Rzut "z ręki" - podwójna premia. Rzut "z ręki" dotyczy wyłącznie pierwszego z 3 rzutów w rundzie.

Żeby nie było wątpliwości w jakiej sytuacji można zapisać rzut "z ręki": kiedy w pierwszym rzucie wypadł układ: 5,5,5,5,4 , gracz może zrezygnować z dwóch kolejnych rzutów i zapisać sobie podwójną wartość KARETY (2*45 pkt = 90 pkt). Może on zdecydować się, że rzuca pozostałe dwa rzuty i próbuje wyrzucić POKERA z „5”. Jeśli to mu się uda, będzie mógł zapisać sobie wartość wyrzuconego POKERA z „5” (125 pkt), jeśli nie, będzie mógł zapisać już tylko zwykłą (pojedynczą) wartość KARETY z „5”, czyli 45 pkt.


Dane informacyjne

Szkółka

Pierwsze wiersze tabeli (wiersze ponumerowane od 1 do 6 oraz wiersz pod nimi, zatytułowany "SZKOŁA") stanowią tzw. porządek 1-6. Każda z 3 kolumn tabeli stanowi osobną szkółkę, a więc w sumie gracz ma do "zaliczenia" 3 szkółki.

Aby "zaliczyć" jedno pole szkółki na 0 pkt, gracz musi wyrzucić odpowiednią TRÓJKĘ.

Szkółka zostaje zamknięta wówczas, gdy dokonaliśmy już wpisów we wszystkich jej sześciu wierszach (ponumerowanych od 1 do 6). Jeżeli suma wszystkich wpisów w 6 wierszach kolumny jest równa 0 pkt, premia za zamknięcie szkółki wynosi również 0 pkt, czyli de facto nie otrzymujemy w ogóle premii za jej zamknięcie.

Dodatnie wpisy w SZKÓŁCE: kiedy uda nam się wyrzucić więcej, niż TRÓJKĘ, czyli KARETĘ lub POKERA, możemy wpisać sobie dodatnie punkty równe sumie punktów za "nadwyżkowe" kostki (np. za układ (4,4,4,4,,3) zawierający karetę z „4” możemy wpisać sobie +4 pkt za jedną "nadwyżkową" „4” w 4 wierszu szkółki.

Bardzo opłaca się walczyć o dodatnie punkty w szkółce, ponieważ można na tym zarobić dużą premię za zamknięcie szkółki!

Ujemne wpisy w SZKÓŁCE: gdy nie uda nam się wyrzucić TRÓJKI, a jesteśmy zmuszeni dokonać wpisu w szkółce (np. dlatego, że wszystkie wpisy na dole są już zajęte) - wówczas dostajemy punkty ujemne na takiej samej zasadzie, jak dodatnie, tyle że za "brakujące" kostki. Np. za układ (6,6,5,4,2) zawierający tylko parę „6”, możemy sobie wpisać -6 pkt w szóstym wierszu szkółki za "brakującą" „6”.


Dane informacyjne

Szachy

Szachy są grą dwuosobową. Gra odbywa się na szachownicy sześćdziesięcioczteropolowej (8x8) przy użyciu ustawionych w określony sposób bierek (figur, pionów) przyporządkowanych odpowiednio każdemu z dwóch graczy.

- Bierki mają kolor biały i czarny.

- Każdy z graczy posiada po 16 bierek (8 figur i 8 pionów).

- Każda z bierek posiada określone funkcje oraz reguły poruszania się po planszy i bicia.

- Zawodnicy wykonują ruchy na przemian po jednym posunięciu, do chwili zakończenia partii.

- Celem gry jest danie mata królowi przeciwnika.

- Grę rozpoczyna gracz grający białymi bierkami.


Dane informacyjne

Król - porusza się na dowolne sąsiednie pole (wyjątek to roszada), które nie jest atakowane przez bierkę przeciwną.

Hetman (Królowa) - porusza się na dowolne pole po liniach, rzędach i przekątnych, na których się znajduje.

Wieża - porusza się na dowolne pole po liniach i rzędach, na których się znajduje.

Goniec (zwany też Laufrem) - porusza się na dowolne pole po przekątnych, na których się znajduje.

Skoczek (Konik szachowy) - ruch składa się z dwóch faz: najpierw wykonuje on krok o jedno pole wzdłuż rzędu lub linii, a następnie krok o jedno pole na dowolnej przekątnej oddalając się od pola wyjściowego.

Pion (Pionek) - porusza się tylko do przodu o jedno pole. Wyjątkiem jest pierwszy ruch każdym pionem, kiedy może się on poruszyć o dwa pola w przód. Pion, który osiągnął ostatni rząd pól, może ulec promocji, tzn. być wymieniony na dowolną figurę (np. Hetman).


Dane informacyjne

Poruszanie bierek po szachownicy:

 Żadna bierka (oprócz Skoczka), nie może w czasie ruchu przeskakiwać innych bierek. Wyjątek stanowi tu roszada, polegająca na jednoczesnym posunięciu Króla i jednej z Wież, która go przeskakuje i ustawia się tuż za nim ( nie można wykonać roszady, gdy pole, które Król ma przeskoczyć (lub zająć) jest atakowane przez bierkę przeciwnika lub gdy między Królem a Wieżą znajduje się jakakolwiek bierka).

 Z wyjątkiem roszady, posunięciem jest przemieszczenie bierki z jednego pola na inne, które jest wolne lub zajęte przez bierkę przeciwnika.

Zbijanie bierek:

 Zbijanie bierek na zajmowaniu pola, na którym znajduje się bierka przeciwnika przy równoczesnym jej wyeliminowaniu z gry i postawieniu w jej miejsce bierki atakującej.

 W przypadku bicia piona - pion przesuwa się o jedno pole wzdłuż jednej z przekątnych, na których się znajduje.

 Bicie w przelocie - pion atakujący pole przekroczone przez piona przeciwnika, który przesunął go w jednym posunięciu o dwa pola z początkowego miejsca - może tego piona zbić, jak gdyby pion przeciwnika został przesunięty tylko o jedno pole; takie bicie może być jednak wykonane tylko w odpowiedzi na ten ruch.


Dane informacyjne

  • Szach:

  •   Król jest szachowany, jeśli pole, które zajmuje jest atakowane przez jedną lub dwie bierki przeciwnika.

  •   Ostatnie posunięcie przeciwnika określa się jako szachujące Króla.

  •  Zawodnik nie może wykonać posunięcia, pozostawiającego Króla pod szachem.

  •   Szach musi być odparty najbliższym posunięciem.

  •  Jeżeli tego nie można uczynić – Król jest

  • zamatowany - Mat.


Dane informacyjne

  • Koniec partii:

  • Partię wygrywa zawodnik, który dał mata Królowi przeciwnika, co kończy partię.

  • Partię wygrywa zawodnik, którego przeciwnik oświadczył, że poddaje się, co kończy partię.

  • Partia kończy się remisem, gdy Król zawodnika, będącego na posunięciu, nie jest szachowany, ale zawodnik ten nie może wykonać żadnego prawidłowego posunięcia. Pozycję taką określa się jako Pat i partia zostaje zakończona.

  • Partia kończy się remisem, jeżeli powstała jedna z następujących pozycji:

  • Król przeciwko Królowi

  • Król przeciwko Królowi z Gońcem lub Skoczkiem

  • Król i Goniec przeciwko Królowi i Gońcowi, jeśli obydwa Gońce znajdują się na przekątnych tego samego koloru

  • Zawodnik, mający jedynie Króla, nie może wygrać partii.

  • Partia kończy się remisem również w wyniku zgodnego porozumienia zawodników.

  • Partia kończy się remisem na żądanie zawodnika będącego na posunięciu, jeżeli taka sama pozycja po raz trzeci:

  • - ma się powtórzyć

  • - właśnie powtórzyła się i za każdym razem ten sam zawodnik jest na posunięciu

  • Pozycja będzie uznana za identyczną, jeśli bierki tego samego rodzaju i koloru zajmują te same pola oraz istnieje możliwość wykonania tymi bierkami takich samych posunięć, łącznie z prawem roszady i bicia w przelocie.

  • Partia kończy się remisem, jeżeli zawodnik znajdujący się na posunięciu zażąda remisu i jednocześnie wykaże, że obie strony wykonały przynajmniej 50 ostatnich posunięć, podczas których żadna bierka nie została zabita ani żaden pion nie wykonał ruchu.


Dane informacyjne

Bibliografia

Matematyka z plusem, klasa 3. M.Dobrowolska,M.Karpiński,J Lech

Nowa Era ,Babiański

Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa J.Ligman, E. Stachowski, A. Zalewska

www.math.edu.pl

www.supermatma.pl

www.matematyka.pl

www.matematyka.pisz.pl

www.edukator.pl

www.supermatma.pl

www.aries.com.pl

www.wikipedia.pl

www.szachy.adiasz.pl

www.ruletka.org.pl

www.portalwiedzy.onet.pl


  • Login