RACHUNEK PREDYKATÓW

1. RACHUNEK PREDYKATÓW

2. Język RP (KRK) W KRZ brak możliwości operowania na abstrakcyjnych obiektach, czyli nie można formułować praw dotyczących tych obiektów. Rozszerzamy zatem nasz język, w którym będziemy zapisywać formuły: i) zmienne x1,x2,.. ii) n-argumentowe symbole funkcyjne f1,f2,.. (symbole 0-arg to stałe) iii) n-argumentowe symbole predykatowe P1,P2 (symbole 0-arg to zdania) iv) symbole logiczne {, , } v)stałe interpunkcyjne (, ) UWAGA: Pozostałe symbole logiczne {,, ,  } można wyprowadzić za pomocą tych wymienionych w pkt. iv) x P(x)   (x  P(x))

3. Kwantyfikatory - uniwersalny  - egzystencjalny Zadaniem kwantyfikatora jest związanie zmiennej wymienionej po kwantyfikatorze W formułach KRK mogą występować zmienne „wolne” i „związane” Przykład: z (x  z) x – zmienna wolna; z – zmienna związana z y (x  z  y=1 ) x – zmienna wolna; y, z – zmienne związane Przykład: Zapis ostatniego wyrażenia w języku predykatów z y ((x,z) =(y,1) ) UWAGA: Jeśli w formule nie występują zmienne wolne, to otrzymujemy formułę rachunku zdań zx (x < z)

4. Kwantyfikatory c.d. Zasięg kwantyfikatora – wyrażenie znajdujące się w nawiasie bezpośrednio po kwantyfikatorze x (x =x)  x>0 Ta zmienna jest wolna Jeżeli {x1,x2, .., xn} są zmiennymi wolnymi formuły , to domknięciem uniwersalnym tej formuły jest formuła x1…xn  domknięciem egzystencjalnym tej formuły jest formuła x1…xn  Przykład: x P(x) Q(x) formuła ta powinna być zapisana jako x P(x) Q(y) domknięciem uniwersalnym tej formuły jest y (x P(x) Q(y))

5. Kwantyfikatory c.d. Kwantyfikator uniwersalny jest uogólnieniem koniunkcji Jeśli X={a1,..,an} oraz P(x) jest predykatem określonym na zbiorze X, to x P(x)  P(a1)P(a2)…P(an) Kwantyfikator egzystencjalny jest uogólnieniem alternatywy Jeśli X={a1,..,an} oraz P(x) jest predykatem określonym na zbiorze X, to x P(x)  P(a1)P(a2)…P(an)

6. Kwantyfikatory ograniczone Zakres zmiennej kwantyfikowanej ograniczony jest formułą ((x)) (x) ((x)) (x) ((x)) (x) jest prawdziwe wttw x ( (x)(x) ) jest prawdziwe ((x)) (x) jest prawdziwe wttw x ( (x)(x) ) jest prawdziwe Przykłady: x (xNx>0) czyli xN(x>0)

7. Język rachunku predykatów cd. Predykat (relacja, którą predykat wyraża) ma tyle zmiennych, ile występuje w nim zmiennychwolnych. Wyrażenia nie zawierające zmiennych wolnych są zdaniami. W mocy pozostają założenia z pierwszego slajdu, aby w pełni zdefiniować zbiór dopuszczalnych formuł w RP wprowadzimy jeszcze pojęcie TERMU. TERMY: Najmniejszy zbiór spełniający warunki i) stałe indywiduowe są termami ii) zmienne są termami iii) jeśli f jest n-arg symbolem funkcyjnym i t1,..,tn są termami, to f(t1,..,tn) również jest termem

8. Język rachunku predykatów cd. FORMUŁY: Najmniejszy zbiór spełniający warunki: i) zdania są formułami ii) jeśli R jest n-arg predykatem a t1,..,tn są termami, to R(t1,..,tn) jest formułą iii) jeśli ,  są formułami, to , , , , również są formułami iv) jeśli (x) jest formułą ze zmienną wolną, to x (x) i x (x) są formułami Przykłady Stałe={zeus, ares, harmonia} Zmienne={X,Y,Z} Funkcje={Ojciec(X), Matka(X)} Predykaty={Jest_ojcem(X,Y), Bog(X)} Termy: zeus, ares, harmonia, X,Y,Z, Ojciec(X), Matka(X), Ojciec(Matka(X)) Formuły: Jest_ojcem(zeus,X), Bog(Ojciec(X)), X Jest_ojcem(Ojciec(X),X), Bog(zeus) <- to już są zdania UWAGA: Zbiory Stałe, Zmienne, Funkcje, Predykaty MUSZĄ być rozłączne

9. Spełnianie – przypadek prosty Element (stała) a spełnia predykat P(x), jeśli po wstawieniu a w miejsce x otrzymamy zdanie prawdziwe Ogólniej (dla formuł) Element a spełnia formułę P(x)R(x) wttw, gdy spełnia P(x) lub spełnia R(x); podobnie jest z funktorami ,  Zdanie x P(x) jest prawdziwe wttw każda stała a spełnia P(x). Zdanie x P(x) jest prawdziwe wttw istnieje taka stała a, że a spełnia P(x). UWAGA: Z powyższej definicji wynika, że o spełnialności i prawdziwości mówimy w kontekście jakiejś dziedziny. Przykłady: Możemy mówić o spełnialności lub prawdziwości formuły x (x) (x), jeśli ustalimy interpretację dla ,  oraz ustalimy wartości (zakres) dla zmiennych x (xNx>0) prawdziwa x (xZx>0) spełnialna dla x naturalnych

10. Spełnianie • Powtórzmy • Aby określić sens formuły rachunku predykatów należy: • wybrać wartości dla zmiennych • ustalić interpretację symboli funkcyjnych i predykatowych ad i) czyli za zmienne wstawić stałe (nie zawsze wprost, czasem kwantyfikator) ad ii) Interpretacją I formuły  nazywamy dowolną parę I=(D, m), w której D jest dziedziną, a m jest taką funkcją, która: 1. Każdemu symbolowi stałej przyporządkowuje element ze zbioru D 2. Każdemu n-arg symbolowi fi przyporządkowuje odwzorowanie DnD 3. Każdemu p-arg symbolowi Pi przyporządkowuje odwzorowanie Dp{0,1} 4. Każdemu zdaniu przyporządkowuje wartość logiczną {0,1}

11. Przykład cz. I Przykład: Formuły B(z), B(a), O(z,a), O(a,h), O(X,Y) D(Y,X), D(X,Y)  D(Y,Z)  W(X,Z) O(X,X) Stałe={z, a, h}, Zmienne={X,Y,Z} Funkcje= , Predykaty={W,D,O,B} Interpretacja D={zeus, ares, harmonia} zeus=z, ares=a, harmonia=h m(B(zeus))=1 bezpieczniej używać nazw predykatów oddających sens relacji Bog(zeus), Bog(ares), Ojciec(zeus,ares), Ojciec(ares, harmonia) Ojciec(X,Y)Dziecko(Y,X), (Dziecko(X,Y) Dziecko(Y,Z))  Wnuk(X,Z) Ojciec(X,X) aby policzyć wartości logiczne tych formuł przy naszej interpretacji musimy mieć jeszcze wartościowanie

12. Przykład cz. II Interpretacja D={zeus, ares, harmonia} zeus=z, ares=a, harmonia=h m(B(zeus))=1 bezpieczniej używać nazw predykatów oddających sens relacji Bog(zeus), Bog(ares), Ojciec(zeus,ares), Ojciec(ares, harmonia) Ojciec(X,Y)Dziecko(Y,X), (Dziecko(X,Y) Dziecko(Y,Z))  Wnuk(X,Z) Ojciec(X,X) Mając interpretację i wartościowanie jestem w stanie przeprowadzić wnioskowanie dla formuł zawierających zmienne Ojciec(zeus,harmonia)Dziecko(harmonia,zeus) (Dziecko(harmonia,ares) Dziecko(ares, zeus))  Wnuk(harmonia,zeus) UWAGA: Przy naszej interpretacji i dowolnym wartościowaniu Ojciec(X,X)

13. Spełnianie i prawdziwość formuł Interpretacja ma zatem wpływ na wartość logiczną formuł Formuła  jest spełniona przy interpretacji I oraz przy ustalonych wartościach zmiennych występujących w  wttw hI,w()=1 tutaj możemy powiedzieć o pewnej analogii do hv z KRZ Formuła  jest prawdziwa przy interpretacji I wttw w w:ZmienneDhI,w()=1 (I spełnia  ; I jest modelem dla ) • jest spełnialna wttw  I  w hI,w()=1 • jest prawdziwa (tautologia) wttw I  w hI,w()=1

14. Przykłady tautologii 1. ( (x) (x) )  ( (x) (x) ) 2. ((x) (x) )  ( (x) (x) ) prawa de`Morgana 3. x ( (x)(x) )  ( x (x)  x (x) ) 4. x y (x,y)  y x (x,y) 5. x ( (x)   )  ( x (x)   ) o ile zmienna x nie występuje w  6. x y (x,y) y x (x,y) 7. x y (x,y)  y x(x,y)

15. ,   Modus ponens (x) x(x) Generalizacji (x) Podstawiania (y) Ograniczenie: za zmienną x w formule (x) można podstawić zmienną y, jeśli w (x) x nie występuje w zasięgu kwantyfikatora wiążącego zmienną y (x)  x(x)  zakładamy, że x nie występuje w  jako zmienna wolna Dołączania kwantyfikatora egzystencjalnego Reguły wnioskowania Rachunek predykatów jest systemem formalnym, posiadającym swoją aksjomatykę i zbiór reguł wnioskowania

16. Istotność ograniczenia w regule podstawiania (rozważmy zbiór N0) y (yx) y=0podstawmy za x/y y (yy)  y=0wiemy również, że y (yy) stosując regułę odrywania (modus ponens) otrzymamy y=0 stosując teraz regułę podstawiania y/1otrzymamy 1=0 Rozstrzygalność Twierdzenie Rachunek kwantyfikatorów nie jest rozstrzygalny (Alonzo Church – 1936; na podstawie prac Alana Turinga).

17. Do systemu hilbertowskiegoH dodajemy dwa aksjomaty i jedną regułę wnioskowania (generalizacji) (x) x(x) Systemy dowodzenia System gentzenowski System hilbertowski Wyprowadza się reguły wtórne (w szczególności regułę dedukcji) Hilbertowski system dowodzenia jest poprawny i pełny

18. Przykład Przykład: Skrót RZ oznacza, że przekształcenia dokonano na podstawie twierdzeń i reguł wnioskowania Rachunku Zdań