Estimação dos parâmetros
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Estimação dos parâmetros. Pontos mais importantes:. -método dos momentos -método de máxima verosimilhança -intervalos de confiança para a média de distr. normal: s 2 conhecida -intervalos de confiança para a média de distr. normal: s 2 incógnita

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Estimação dos parâmetros

Pontos mais importantes:

-método dos momentos

-método de máxima verosimilhança

-intervalos de confiança para a média de distr. normal: s2 conhecida

-intervalos de confiança para a média de distr. normal: s2 incógnita

-estimação de diferença na m entre duas populações normais

-intervalos de confiança para a variância de distr. Normal

-intervalos de confiança para a média de distr. Bernoulli

-eficiência de um estimador pontual: “mean square error” e “bias”

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Seja X1, X2,..., Xn uma amostra de F completamente definido pelo um vector dos parâmetros P (e.g. uma distr. normal P={m s2}).

Teoria de probabilidades:

o vector P é supostamente conhecido questões de probabilidade

Estatística:

o vector P é incógnito estimação dos parâmetros com estimadores

estimação dos parâmetros  estimador pontual (um valor só)

estimação do intervalo a onde o parâmetro cai  intervalo de confiança

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M todo dos momentos
Método dos momentos

-Seja uma amostra X1, X2,..., Xn de F com parâmetro P incógnito.

-Suponha: P=g(E[X])

-Assim:

-Não todos os parâmetros podem ser escritas em função do E[X] só. E.g. a variância:

3


-Em geral: P=g(E[X], E[X2],..., E[Xr])

e

-onde Mk representa o momento amostral de ordem k:

4


Exemplo: Determine o estimador da média e variância de uma população normal com o método dos momentos.

solução:

5


M todo de m xima verosimilhan a
Método de máxima verosimilhança população normal com o método dos momentos.

Suponha que X1, X2,..., Xn são variáveis aleatórias. A função f(X1, X2,..., Xn) éassumida ser conhecida excepto P.

Porque P é desconhecido, f(X1, X2,..., Xn) depende de P. A função f(X1, X2,..., Xn| P) representa a probabilidade (ou densidade de prob.) da mostra ser x1, x2,..., xn para o vector dos parâmetros P.

A estimativa máxima verosimilhança do P é o vector que maximiza a probabilidade das observações serem x1, x2,..., xn,ou :

f(X1, X2,..., Xn| P) também chama-se função de verosimilhança.

6


Amostra normal de tamanho n: população normal com o método dos momentos. X1, X2,..., Xn são v.a.s independentes, m e s?

-tirando o logaritmo:

7


-a estimativa máxima verosimilhança de população normal com o método dos momentos.m e s é obtida nos pontos e igualando as derivadas a zero:

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Intervalos da confian a para o valor m dia normal s conhecido
Intervalos da confiança para população normal com o método dos momentos.o valor média normal(s conhecido)

m

X

mX

-Por vezes, é vantajoso definir um intervalo () tal:

-Sabemos que:

ou,

9


-O intervalo ,chama-se população normal com o método dos momentos.intervalo de

confiança (“bilateral”) a 95%.

Porquê 1,96 ?  P(Z<-1,96)=0,025, P(Z>1,96)=0,025

0,025+0,025=0,05

Assim a probabilidade que m está no intervalo é 1-0,05=0,95

-“unilateral” intervalo de confiança:

“pelo menos”

ou

“não é maior que”

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11 população normal com o método dos momentos.



Exemplo: Calcule o 95% intervalo de confiança para o coeficiente de transferência do calor (h) num permutador de calor se os valores calculados após 9 experiências são (W/m2K): 502, 488, 495, 504, 511, 493, 490, 512, 507 com s=8.

mh=500,25,3 W/m2K com 95% confiança

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Intervalos da confian a para o valor m dia normal s inc gnita
Intervalos da confiança para coeficiente de transferência do calor (h) num permutador de calor se os valores calculados após 9 experiências são (W/mo valor média normal(s incógnita)

Geralmente a variância de população não é conhecida, mas podemos construir intervalos de confiança para a mesma forma.

ou

com (1-a) percentagem de confiança

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Exemplo: Calcule o 95% intervalo de confiança para o coeficiente de transferência do calor (h) num permutador de calor se os valores calculados após 9 experiências são (W/m2K): 502, 488, 495, 504, 511, 493, 490, 512, 507.

h=500,2

t0.025,8=2,306

mh=500,2  7,9 W/m2K com 95% confiança

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16 coeficiente de transferência do calor (h) num permutador de calor se os valores calculados após 9 experiências são (W/m


Estima o de diferen a na m entre duas popula es normais
Estimação de coeficiente de transferência do calor (h) num permutador de calor se os valores calculados após 9 experiências são (W/mdiferença na m entre duas populações normais

Sejam X1,..., Xn e Y1,..., Ym duas mostras normais e independentes. Como podemos estimar mx-my e a correspondente intervalo de confiança?

,

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Assim já é fácil construir o intervalo de confiança para a diferença porque:

(P(|Z|>za/2)=a)

ou

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-se a diferença porque:sX e sY forem desconhecidos, é complicado determinar o tipo de distribuição:

-de facto, só pode ser deduzida assumindo que sX = sY.

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Intervalos da confian a para a vari ncia da distribui o normal
Intervalos da confiança a diferença porque:para a variância da distribuição normal

Podemos calcular os intervalos de confiança para s2 simplesmente usando a seguinte informação:

(n-1)s2/s2 ~ c2n-1

assim

ou

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Exemplo: Tiramos uma amostra n=10 de vinho tinto e medimos a correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126

c20,05, 9 =16,917

c20,95, 9 =3,334

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22 correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126


Intervalos da confiança (aproximado) para correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126o valor média normal (p) de uma variável Bernoulli

Se np for suficientemente grande, uma variável binomial pode ser aproximada:

Onde, p é a probabilidade de sucesso ou valor de esperança de correspondente variável Bernoulli. Assim, uma aproximação do 1-a intervalo de confiança para o valor média pode ser obtida a partir:

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Aplicando que um estimador pontual do P pode ser escrito: correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126

p=X/n

Temos,

Arengar a equação anterior para P temos:

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Efici ncia de um estimador pontual
Eficiência correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126 de um estimador pontual

Seja X1,..., Xn uma amostra com parâmetro P não conhecida. Utiliza-se como estimador do P. Quanto é que vale

?

O valor de estimador pode ser caracterizado por o “ mean square error” (desvio quadrático do parâmetro):

r( ,P)=E[( -P)2]

O estimador que minimiza r é o melhor estimador, infelizmente raramente existe.

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Definição do enviesamento (b correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126P( )):

Um bom estimador diz-se não-enviesado se o seu valor de esperança matemática é igual com o parâmetro da população.

Seja X1,..., Xn uma amostra. b=? se a estimador de m foram 1) X1 e 2) X

1) E[X1]= m -> b1=0

2) E[(X1+X2+,...,+Xn)/n]=m -> b2=0

Generalizando: bm=0 se:

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-o “mean square error” de um estimador com b=0: correspondente concentração de açúcar (C, kg/l). Determine o intervalo de confiança a 90% para o desvio padrão. Os resultados: 0,123, 0,124, 0,126, 0,120, 0,13, 0,133, 0,125, 0,128, 0,124 e 0,126

-o “mean square error” de um estimador com b0:

-combinação de dois estimadores independentes:

minimizar r:

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Exemplo: Suponha que mandamos duas amostras do rio Douro para dois laboratórios independentes com o objectivo de determinar (estimar) a concentração dos ácidos na água ma. Os resultados são (mg/l):

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