四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 ⊙ 四川省特级教师 ⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙ 西昌学院客座教授

1. 中考数学新题型研究 四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 ⊙ 四川省特级教师⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙西昌学院客座教授 欢迎访问 业锋教育在线http://www.lsyf.cn 谌业锋主页http://lsyf.cn/jksyf.html （讲座幻灯课件请在网上下载，让我们一起思考！） QQ:178990915 电话:18981539788E-mail:jksyf@163.com

2. 中考数学新题型研究 四川省凉山州教育科学研究所 谌业锋 • 一、近几年中考数学试题的特点 • 二、中考新题型分析 • 三、中考应用问题新题型研究 • 四、感悟新题型、探索新解法 • 五、新题型的复习建议

3. 一、近几年中考数学试题的特点 • 近几年的中考试卷，试题融入新课标的教育理念，多角度、多视点地考察学生的数学素养，使学生的自主性和个性得以发挥。体现数学与社会、人与自然的和谐统一。

4. 许多试题体现了时代气息，有创新特色，应用题的考察力度继续加大，以非客观性命题的形式出现，知识的考虑更趋全面、深刻，试题不再纠缠于“文字游戏”，不再给出几个干巴巴的数据，不再涉足于几个死板硬套的公式，而是以现实为背景，注意考察学生对概念的理解和应用能力。

5. （一）关注学生的生活实际 近几年的中考试题更加关注学生生活，试题中有大量生活背景，充分体现了“从生活走向数学，从数学走向生活”，符合新课标“学习资源和实践机会无所不在，无时不有”的理念。

6. 例1 例1（江西20）仔细观察下图，认真阅读对话： 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？

7. 例2 　例2（吉林16）根据下图给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格.

8. 例3 　例3（海口20）如图，如果士所在位置的坐标为（-1,-2）,相所在位置的坐标为 （2,-2）, 那么，炮所在位置的坐标为_____.

9. 例.4 　例4 （2004金华）图1表示某地区2003年12个月中每个月的平均气温，图2表示该地区某家庭这年12个月中每月的用电量。根据统计图，请你说出该家庭用电量与气温之间的关系（只要求写出一条信息即可）：。

10. 例５ 　例５（济南18）当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢?小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80 cm、∠DBA=20°、端点C、D 　与点A的距离分别为115cm 35 cm．他经过认真思考只 　选用了其中的部分数据就求 　得了结果，你知道小明是怎 　样计算的吗?也请你算一算雨 　刷CD扫过的面积为cm2 　（π取3.14）．

11. 例６ 例６（沈阳25）某地有一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1）．小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36 ’ ，∠β=73°30’，小明又量得窗户的高AB=1．65米．若同时满足下面两个条件：（1）当太阳光与地面的夹角为a时，要想使太阳光刚好全部射入室内；（2）当太阳光与地面的夹角为p时，要想使太阳光刚好不射入室内．请你借助下面的图形（如图2），帮助小明算一算，遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少?（精确到0．O1米） 以下数据供计算中选用 sin24°36’ =0．416， cos24°36’=0．909tan24°36’=0．458 ，cot24°36’=2．184 sin73°30’=0．959 ，cos73°30’=0．284 tan73°30’=3．376 ，cot73°30’=0. 296

12. 续图

13. 35 3 3 2 例7 例7（河北21）图11中的数字表示每一级台阶的高度（单位:cm）.并且数15,16,16,14,14,15的方差 ,数据11,15,18, 17,10,19的方差 　在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图11是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答： （1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ （2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ （3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请提出合理的整修建议. 图11中的数字表示每一级台阶的高度（单位:cm）.并且数 15,16,16,14,14,15的方差 S2甲=, 数据11,15,18, 17,10,19的方差 S2乙=

14. （二）面向社会生产实践 • 近几年试题在实践应用性上，注重社会现实，体现时代精神，试题选材体现社会热点，关注当前科技新发展。

15. 例1 例1（杭州15）甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，提供了两方面的信息图（如图）。 　甲调查表明：养鸡场的平均产鸡数从第1年的1万只上升到第7年的2.8万只； 　乙调查表明：养鸡场的个数由第1年的46个减少到第7年的22个。现给出下列四个判断：①该县第2年养鸡场产鸡的数量为1.3万只；②该县第2年养鸡场产鸡的数量低于第1年养鸡场产鸡的数量；③该县这7年养鸡场产鸡的数量逐年增长；④这7年中，第5年该县养鸡场出产鸡的数量最多。根据甲、乙两人提供的信息，可知其中正确的判断有 （A）3个 　（B）2个 　（C）1个 　（D）0个

16. 例2 　例2（嘉兴23）有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分对话地点）的收费标准如图所示；乙公司每月通话收费：如右图所示，为这几项收费的总和。 　（1）①观察图形，写出甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额； 　②求出由甲公司的用户通话400分钟以后，每分钟的通话费； 　（2）王先生由于工作需要，从4月份开始经常出去外市出差，估计每月各种通话时间的比例是：本地接听时间：本地拨打时间：外地通话时间＝2：1：1。你认为王先生的月通话时间不少于多少分钟时，入乙通讯公司更合算？请说明理由。

17. 例３ 例３（重庆29）我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为 : P=-１／５０（x-30）2+10万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润　　　　　　　　　　　　　　　　Q=-４９／５０（50-x）2+194／5（50-x）+308万元． 　（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少? 　（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是　　多少? 　 （3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．

18. 例４ 　例４（重庆23）某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元。公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的。问： 　（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ 　（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？

19. （三）突出对学生实践动手能力的培养 • 近几年数学试卷中出现大量不同类型，不同梯度的实验探究题已成为一道亮丽的风景线，以生活、社会、科学为试题背景，要求学生运用所学的知识去提出问题，分析数据，建立数学模型，从而得出结论，考察学生获得数学知识的过程。

20. A B C D 　例1（ 大连7）将一圆形纸片对折后再对折，得到如图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 （ ）

21. 例2 　例2（ 潍坊18）程前你祝似锦水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.

22. 例3 　例3（江西10）将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图1中的四边形AGA′H，那么∠GA′H的大小是 ____度。

23. 例4 例4（重庆28）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10 cm，宽为4 cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P： 　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由． 　 ②再次移动三角板位置， 　使三角板顶点P在AD上移 　动，直角边PH始终通过点 B，另一直角边PF与DC的 　延长线交于点Q，与BC交 　于点E，能否使CE=2cm? 　若能，请你求出这时AP的 　长；若不能，请你说明理由．

24. 例5 　例5（江西24）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E、F分别在AB、DC上，AE=DF=2.再把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其0°线MN与EF重合；若将量角器0°线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α（0°<α<90°）,此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为n°. 　（1）用含n°的代数式表示 　∠α的大小； 　（2）当n°等于多少时，线 　段PC与M′F平行？ 　（3）在量角器的旋转过 　程中，过点M′作GH⊥M′F， 　交AE于点G，交AD于点H. 　设GE=x，△AGH的面积为S， 　试求出S关于x的函数关系式， 　并写出自变量x的取值范围.

25. （四）新课标题型的融入使中考试题具有鲜明的时代特色（四）新课标题型的融入使中考试题具有鲜明的时代特色 • “使学生具有初步的创新精神”是新课程改革的核心理念之一，随着新课程改革的实施，新课标对数学学科的内容的学习有了新的要求，考试的内容也发生着变化，试题变得越来越新颖别致，具有鲜明的时代特色。

26. 例1 　例1（青海3）下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图.这些相同的小正方体的个数是 　（A）4个 （B）5个 （C）6个 （D）7个

27. 例2 　例2（贵阳13）棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（ ） 　（A）36cm2 　（B）33cm2 　（C）30cm2 　（D）27cm2

28. 　例3（海口7）从一幅扑克牌中抽出5张红桃，4张梅花，3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情 A．可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生

29. 闯关游戏规则 图10所示的面板上，有左右两组开头按钮.每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置.同时按下两组中各一个按钮：当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音. 1 2 1 2 图10 例4、 依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘：（河北20）闯关游戏规则 　图10所示的面板上，有左右两组开头按钮.每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置.同时按下两组中各一个按钮：当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音. 　（1）用列表的方法表示有可能的闯关情况； 　（2）求出闯关成功的概率. 12 12

30. 1 1 1 1 4 5 6 20 例5（南宁１６）中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸,就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是 （ ） A. B． C. D.

31. 2 2 1 1 3 3 6 4 4 5 例6 　例6（黑龙江宁安2６）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A被均匀地分成4等份，每份分别标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀地分成6等份，每份分别标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： 　（1）同时自由转动转盘A与B 　（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜（如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5=15，按规则乙胜）．你认为这样的规则是否公平?请说明理由；如果不公平，请你设计 一个公平的规则，并说明理由．

32. （五）图表信息题型的大量使用 • 21世纪是信息化社会，作为一个公民应学会搜索、整理和加工信息。表格、图象和图形是一种最直观，最形象的数学语言，包含着丰富的信息资源，如何观察、提炼这些信息，并利用这些信息来分析解决问题，这是考察数学能力的较好形式之一。

33. 例1 　例1（湖北省荆门市14）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a）照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为_______（精确到0.001）

34. 例2 　例2（大连23）4×100米拉力赛是学校运动会最精彩的项目之一。图10中的实线和虚线分别是初三（1）班和初三（2）班代表队在比赛时运动员所跑的路程y （米）与所用时间x （秒）的函数图象（假设每名运动员跑步速度不变，交接棒时间忽略不计）。 　问题： 　⑴初三（2）班跑得最快的是第_________接力棒的运动员； 　⑵发令后经过多长 　时间两班运动员第 　一次并列？

35. 人数/个 2000 2000 1500 1105 文体活动 科技活动 1000 38% 50% 600 625 500 12% 2003年 1997年 2000年 时间/年 其他 甲校 乙校 甲、乙两校参加课外活动的学生人数 统计图（1997~2003年） （图8） 2003年甲、乙两校学生参加课 外活动情况统计图 30% 60% 10% （图9） 例3 例3（贵阳18）下面两幅统计图（如图8、图9），反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答下面的问题. 　（1）通过对图8的分析，写出一条你认为正确的结论； 　（2）通过对图9的分析，写出一条你认为正确的结论； 　（3）2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？

36. 例4 　例4（南宁24）某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17．2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集． 　 （2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请写出y与x的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少?

37. 例5 　例5（四省8）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O作0°～90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是（ ）

38. 例6 　例6（重庆19 ）从2004年4月18 日零时起，全国铁路实施第五次大面积提速，从重庆到达州市某次列车提速前运行时刻表如下：该次列车现在提速后，每小时比原来快44 km，起始时刻为8：00，则该次列车终到时刻是______

39. 亿元 亿元 1997 1999 2000 2001 2002 2003 年份 1997 1999 2000 2001 2002 2003 年份 图2：海口市年生产总值统计图 图1：海口市年生产总值统计图 例7 　例7（海口25）图1是海口市年生产总值统计图，根据此图完成下列各题： 　（1）2003年我市的生产总值达到亿元，约是建省前的 1997年的 倍（倍数由四舍五入法精确到个位）； 　（2）小王把图1的折线统计图改为条形统计图，但尚未完成（如图2），请你帮他完成该条形图； 　（3）2003年我市年生产总值与2002年相比，增长率是_______ %（结果保留三个有效数字）； 　（4）已知2003年我市的总人口是139.19万，那么该年我市人均生产总值约是元（结果保留整数）.

40. （六）“观察、归纳、猜想”培养学生的创新素质（六）“观察、归纳、猜想”培养学生的创新素质 • 纵观近几年中考试卷，试题更加注意综合素质能力的检测，特别是“观察、归纳、猜想”类型题更有利于创新意识初探能力的培养。

41. （图4） 例1（贵阳9）一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图4），则这串珠子被盒子遮住的部分有____颗. 例1

42. 例2 　例2（南宁10）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点．按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离D点的距离是米．

43. 例3 例3（河北18）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式； （2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.

44. 例4 　例4（重庆21）如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n个图形中需用黑色瓷砖块．（用含n的代数式表示）

45. 例5 例5（资阳市23）如图8①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 . 　（1） 如图8②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明） 　（2） 如图8③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明； 　（3） 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论； 　（4） 类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

46. A D2 D1 A1 D3 C3 C2 A2 B D B3 A3 B1 C1 B2 C 例6 例6（贵阳26）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn . （1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnCnDn 的面积； （4）求四边形A5B5C5D5 的周长.

47. （七）开放学习与探索型问题的有机结合 • 学习型问题一方面可以拓展学生的知识 广度 与深度，激发学生学习兴趣，另一方面又可以使学生用数学的眼光看待所生活的现实世界，在陌生领域内施展才华，开拓思路，从而使创新能力得以培养。

48. 例1 　例1（吉林18）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距. 某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数. 下表是测得的指距与身高的一组数据： 　指距d（cm） 20 21 22 23 身高h（cm） 160 169 178 187 （1）求出h与d之间的函数关 系式（不要求写出自变量d的取值范围）； （2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应 是多少？

49. x2 y 例2 　例2（河北24）如图14—1是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据： 　（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在坐标系中画出y关于x的函数图象； 　（2）①填写下表： 　 ②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y 　 的二次函数的表达式： （3）当水面宽度为36米时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能否在这个河段安全通过？为什么？

50. 例3 　例3（重庆20）自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索! 比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”，那么最终掉入“陷井”的这个固定不变的数R= ＿＿＿＿＿