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第 13 章. 變異數分析與實驗設計 Part B (13.4 - 13.5). 13.4 隨機區集設計. 為檢定不同處理之平均數間是否存在差異,我們使用了下列比率計算 F 值。 當外在因素 (extraneous factors) ( 非實驗欲探討之變數 ) 產生之差異引起上述比率之 MSE 變大時,將會產生問題。 F 值將會變小,故即使處理間存在差異,亦可能得到處理間沒有顯著差異之結論。. 第 13 章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第 506 頁. 隨機區集設計.

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第 13 章

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Presentation Transcript


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第 13 章

變異數分析與實驗設計

Part B (13.4 - 13.5)


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13.4 隨機區集設計

為檢定不同處理之平均數間是否存在差異,我們使用了下列比率計算 F值。

當外在因素 (extraneous factors) (非實驗欲探討之變數) 產生之差異引起上述比率之 MSE 變大時,將會產生問題。F值將會變小,故即使處理間存在差異,亦可能得到處理間沒有顯著差異之結論。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第506頁


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隨機區集設計

隨機區集設計 (randomized block design),此設計的目的在於藉由控制某些外在的變異來源,消除MSE 項之誤差。隨機區集設計可提供真正的誤差變異數之較佳估計值,使假設檢定在探查處理平均數差異時,變得更具檢定力。

當實驗單位的性質相類似時,可以使用完全隨機的設計。如果實驗單位的性質互異,則可以區集的方法使其同質化。

第13章 變異數分析與實驗設計 Part B (13.4-13.5) 第506頁


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空中交通管制員壓力測試

一項測量空中交通管制員的疲累與壓力的研究,建議應修改並重新設計管制員的工作站。在考量數個工作站的設計案後,我們選出其中三個可降低管制員壓力的較佳方案。現在面對的主要問題為:這三個方案對管制員壓力的影響程度為何?為解答此問題,我們需先設計一個實驗,以測量在三個設計案下,空中管制員的壓力。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第506頁


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空中交通管制員壓力測試

在完全隨機設計中,我們各指派一組隨機樣本之管制員至三個不同的工作站設計案。然而,管制員處理壓力之能力各有差異,對某個管制員而言為高壓力,對另一管制員可能只是中度甚至輕度之壓力。因此,在測量群體內之變異來源 (MSE)時,我們必須瞭解此變異可能包含隨機誤差與個別管制員之差異兩部分。事實上,管制員之個別差異可能是構成 MSE 之主要部分。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第507頁


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空中交通管制員壓力測試

分離出管制員個別差異的一種方法即為隨機區集設計。此設計乃先界定管制員個人差異造成之變異,而後設法將其自 MSE 項中分離出來。隨機區集設計乃先隨機抽取一組樣本,然後將樣本內每位管制員均置於三個工作站設計案中各做一次測試。以實驗設計之術語而言,工作站被稱為欲探討之因素 (factor of interest),管制員則稱為區集 (blocks),工作站因素的三個處理 (母體) 即對應至 3 個工作站設計案。為簡化起見,我們稱 3 個工作站設計案為系統 A、系統 B 及系統 C。

第13章 變異數分析與實驗設計 Part B (13.4-13.5) 第507頁


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空中交通管制員壓力測試

隨機區集設計中,隨機 (randomized) 一詞意指管制員樣本以「隨機次序」被排至不同處理 (系統)。如果每個管制員均按相同次序分別在三個系統進行測試,則觀察到的差異可能並非因系統差異所致,而係導因於受測次序。

為了得到所需資料,我們在俄亥俄州的克利夫蘭控制中心設置三種不同的站。並隨機選取六名管制員,均輪流至三個工作站工作。我們以追蹤訪談 (followupinterview) 及醫學檢驗方式測量六名管制員在每個系統的壓力值,所得到的資料如表 13.5。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第507頁


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表13.5

第13章 變異數分析與實驗設計 Part B (13.4-13.5) 第507頁 表13.5


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空中交通管制員壓力測試

表 13.6 為壓力資料之彙整。表中包含行總和 (處理) 與列總和 (區集),以及有助 ANOVA 程序中平方和計算之樣本平均數。壓力值愈低愈好,樣本資料顯示系統B 較佳,因其平均壓力值僅 13。然而,我們的問題依然是:這些抽樣結果可使我們得到三個系統之平均壓力值存在差異之結論嗎?亦即,這些差異具統計上的顯著性嗎?我們曾在完全隨機設計中使用的變異數分析可用以回答此一統計問題。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第507頁


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表13.6

第13章 變異數分析與實驗設計 Part B (13.4-13.5) 第508頁 表13.6


Anova

ANOVA 程序

SST = SSTR + SSBL + SSE

  • ANOVA表亦顯示總自由度 nT-1 為處理之自由度 k-1、區集之自由度 b-1 及誤差項之自由度 (k-1)(b-1)之和。

隨機區集設計之 ANOVA 程序將總平方和(SST)分割為三部分:處理間平方和、區集造成的平方和及誤差平方和。公式如下。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第508頁


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隨機區集設計

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第508頁 表13.7


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計算與結論

  • 為計算用以檢定隨機區集設計中處理平均數間差異的 F 統計量,我們需先計算 MSTR 與 MSE。為得 MSTR 與 MSE,則必須先計算 SSTR 與 SSE,然而算出 SSTR 與 SSE 前尚須計算 SSBL、SST。

    • 步驟1. 計算總平方和(SST)

    • 步驟2. 計算處理間平方和 (SSTR)

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第508-509頁


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計算與結論

  • 步驟3. 計算區集造成的平方和  ( SSBL ) 

  • 步驟4. 計算誤差平方和 ( SSE ) 

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第509頁


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隨機區集設計 (實例)

就表 13.6 空中交通管制員之資料而言,上述步驟所得之值如下。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第509頁


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隨機區集設計 (實例)

上述平方和各除以對應之自由度,則得表 13.8 的均方值。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第509頁 表13.8


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13.5 因子實驗

在一些實驗中,我們需對一個以上之變數或因素做出統計結論。

當我們要同時對兩個或兩個以上因素做出結論時,因子實驗 (factorial experiments)及其對應的ANOVA 計算程序將為極具價值的設計。

我們之所以使用因子 (factorial) 一詞乃因實驗條件包含這些因素之所有可能的組合。

例如,若因素 A 含 a 個水準 (level),因素 B 含 b 個水準,則此實驗即需要蒐集 ab 個處理組合之資料。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第513頁


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因子實驗 (實例)

  • 以管理碩士入學測驗 (Graduate Management Admissions Test, GMAT)之研究為例,說明兩因素之因子實驗。GMAT 之分數由 200 分至 800 分,分數愈高表示才能愈佳。

  • 為了提高學生的 GMAT 成績,一所德克薩斯州的大學考慮提供以下三種GMAT 準備課程。

    • 針對 GMAT 之考題類型的 3 小時複習課程。

    • 包含相關考試內容,為期 1 天的課程,同時舉行模擬測驗。

    • 針對每個學生的缺點,設計 10 週密集加強課程。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第513頁


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因子實驗 (實例)

因此,此研究的一個因素「 GMAT 準備課程」,其中包含 3 個處理:3 小時複習、1 天課程及 10 週課程。在選擇該採用何種準備課程前,我們須做進一步研究,以確定課程不同是否會影響 GMAT 成績。

接受 GMAT 測驗之學生通常來自商學院、工學院,以及文理學院等三個學院。因此,此實驗第二個欲研究的因素為學生在大學就讀之學院是否會影響 GMAT成績。第二個因素,「大學學院」亦有三個處理:商學、工學及文理。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第513頁


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因子實驗 (實例)

此實驗之因子設計包含因素 A:準備課程的 3 個處理,及因素 B:大學學院的 3 個處理,共有 3×3 =9 個處理組合,這些處理組合或實驗條件彙整於表 13.9。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第513-514頁 表13.9

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因子實驗 (實例)

假設表 13.9 中的 9 個處理組合均含 2 個學生組成之隨機樣本:即 2 個商學院學生接受 3 小時複習課程,2 個學生接受 1 天課程,另外 2 個學生接受 10 週課程。此外,三種課程中的每一種課程亦各有 2 個工學院學生及 2 個文理學院學生接受測試。

以實驗設計之術語而言,每個處理組合均含兩個觀察值之樣本稱為有兩個重複數 (replications)。我們亦可選擇更多重複數及更大的樣本數,但為了簡化範例之計算過程,現在只選擇兩個重複數。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第513頁


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因子實驗 (實例)

  • 在實驗設計中,我們各從三個學院計劃申請商學研究所的所有學生中隨機選取6 個學生。而後,每個學院各隨機指派 2 名學生參與每一個準備課程,故整個研究共有 18 個學生樣本。

  • 假設這些被隨機選取的學生已經參與準備課程,並參加 GMAT 考試,所得分數列於表 13.10。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第513-514頁 表13.10


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因子實驗 (實例)

  • 利用表 13.10 之資料,經由變異數分析計算程序可提供下列問題的答案。

    • 主效果 (因素 A):這些準備課程對提高 GMAT 成績之效果是否不同?

    • 主效果 (因素 B):大學學院是否會影響 GMAT 成績?

    • 交互作用效果 (因素 A 與因素 B):是否有些學院學生適用某些準備課程,而另一學院之學生則適用另一種準備課程?

  • 交互作用 (interaction)一詞是指在因子實驗中出現之新效果。若此交互作用效果對 GMAT 成績有顯著影響,則我們可得到「準備課程之效果視學生大學學院而異」之結論。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第514頁


Anova1

ANOVA 程序

  • 兩因素因子實驗之 ANOVA 程序與完全隨機實驗及隨機區集實驗類似。

  • 我們均須將總平方和(SST)與自由度分割成不同來源,公式如下。

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

  • ANOVA表亦顯示總自由度 nT-1 為被自由度為處理 (a – 1) 之因素 A 與自由度為 (b – 1) 之因素 B 所分割、區集之自由度 b-1 、交互作用之自由度為 (a – 1)(b – 1) 及誤差項之自由度 ab(r – 1) 之和。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第514頁


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兩因素因子實驗

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第515頁 表13.11


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兩因素因子實驗

  • 步驟1. 計算總平方和

  • 步驟2. 計算因素 A 之平方和

步驟3. 計算因素 B 之平方和

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第515頁


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兩因素因子實驗

  • 步驟5. 計算誤差造成的平方和

SSE = SST – SSA – SSB - SSAB

步驟4. 計算交互作用之平方和

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第515頁


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兩因素因子實驗 (實例)

表 13.12 為此次實驗之資料及相關的平方和,利用式(13.27)至式(13.31),可得 GMAT 兩因素因子實驗之平方和如下。

上述平方和除以對應之自由度可得檢定兩個主效果 (準備課程與學院別) 及交互作用之均方值。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第516-517頁


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兩因素因子實驗 (實例)

若使用顯著水準 α=0.05 來進行兩因素 GMAT 的假設檢定,由於計算過程中,可能涵蓋一般甚至大型的因子實驗問題,我們必須使用電腦來進行變異數分析及用來做假設檢定決策的 p值計算。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第517頁


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兩因素因子實驗 (實例)

圖 13.6 為 GMAT 兩因素因子實驗變異數的 Minitab 輸出結果。檢定三個準備課程 (因素 A) 是否有顯著差異的 p值為 0.299,由於 p值=0.299大於α=0.05,可知三個準備課程的 GMAT 平均測驗成績沒有顯著的差異。

然而,就學院效果而言,p值=0.005小於α=0.05,意即三個不同學院的 GMAT 平均測驗成績存有顯著的差異。最後,交互效果的 p值為0.350,大於α=0.05,亦即沒有顯著的交互作用效果。因此,我們沒有理由相信三個準備課程對來自三個不同學院的學生準備 GMAT 考試的效果會有不同的差異。

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第517頁


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表13.12

第13章 實驗設計與變異數分析 Part B (13.4-13.5) 第516頁 表13.12


End of chapter 13 part b

End of Chapter 13, Part B


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