Download
1 / 11
110 likes | 451 Views
Diferentsiaalvõrrandid. Harilikuks diferentsiaalvõrrandiks ehk diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles otsitavaks on funktsioon y = y(x) ning mis seob funktsioon tema tuletistega ja sõltumatu muutujaga x . Seda võrrandit tähistatakse kujul. on I järku võrrand.
E N D
Harilikuks diferentsiaalvõrrandiks ehk diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles otsitavaks on funktsioon y = y(x) ning mis seob funktsioon tema tuletistega ja sõltumatu muutujaga x. Seda võrrandit tähistatakse kujul on I järku võrrand. on II järku võrrand. on I järku võrrand. on eelmise võrrandiga samaväärne I järku võrrand. Diferentsiaalvõrrandi mõiste Võrrandis esinevate tuletiste kõrgeimat järku nimetatakse diferentsiaalvõrrandi järguks. Näide
Ülesannet, milles tuleb leida diferentsiaalvõrrandilahend tingimusel kus on fikseeritud konstandid, nimetatakse algtingimustega ülesandeks e. Cauchy ülesandeks ja tingimust ülesande algtingimuseks. ja algtingimust Cauchy ülesanne Näiteks on I järku Cauchy ülesandeks järgmine ülesanne: Leida funktsioon v(t), mis rahuldaks diferentsiaalvõrrandit II järku Cauchy ülesanne:
Diferentsiaalvõrrandi lahendiks ehk integraaliks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. Võrrandi lahendiks on iga funktsioon kus C1 ja C2 on suvalised konstandid, kuna Diferentsiaalvõrrandi lahend Näide ja asendades lahendi y(x) ning teist järku tuletise diferentsiaalvõrrandisse, saame samasuse: +
Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y’)=0 üldlahendiks nimetatakse funktsiooni kus c on suvaline konstant, mille korral on täidetud järgmised tingimused: • iga c korral rahuldab võrrandit F (x, y, y’)=0 ; • iga algtingimuse y (x0) = y0korral leidub c nii, et Näiteks on diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks funktsioon sest 1) 2) iga algtingimuse y (x0) = y0korral Diferentsiaalvõrrandi üldlahend
Diferentsiaalvõrrandi F(x, y, y’)= 0 erilahendiks nimetatakse funktsiooni , mis saadakse üldlahendist konstandi c fikseerimisel. Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks on funktsioon konstandi väärtuse korral. Diferentsiaalvõrrandi erilahend Näide mis saadakse üldlahendist Diferentsiaalvõrrandil on lõpmata palju erilahendeid. Diferentsiaalvõrrandil võib olla ka lahend, mis ei ole erilahend. Sellist lahendit nimetatakse singulaarseks lahendiks.
Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul kus on muutuja x funktsioonid ning on muutuja y funktsioonid. 2. Seosest Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand Lahendamine 1. Eraldatakse muutujad: millest leitakse üldlahend
Näide (1) On kindlaks tehtud, et igal ajamomendil on raadiumi lagunemiskiirus võrdeline tema massiga. Määrata raadiumi massi muutumise seadus sõltuvalt ajast, kui ajamomendil t = 0 on raadiumi mass m0. Lahendus Olgu ajamomendil t raadiumi mass m, ajamomendil t + Dt vastavaltm + Dm. Ajavahemikus Dt lagunenud raadiumi mass on Dm. Suhe Dm / Dt on keskmine raadiumi lagunemiskiirus. Selle suhte piirväärtus on raadiumi lagunemise kiirus ajamomendil t.
2) Näide (2) Ülesande tingimuse kohaselt (1) kus k > 0 on võrdetegur. Miinusmärk näitab, et aja kasvades raadiumi mass kahaneb ja seega dm / dt < 0. Saadud võrrand (1) on eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Eraldame muutujad: Viimases võrrandis peab vähemalt üks korrutise teguritest olema null. 1) m = 0;
millest Tähistame siis saame viimasest võrrandist Näide (3) Integreerime saadud võrrandit: Saime diferentsiaalvõrrandi (1) üldlahendi.
Paneme tähele, et esialgse ülesande suhtes sisaldab üldlahend ka võõrlahendeid: raadiumi mass ei saa oll negatiivne, seetõttu tehtud eelduse ( ) korral sobib esialgse ülesande lahendiks vaid lahend (2) Kui asendada nõue nõudega siis saame lahendi üldavaldisega (2) katta ka singulaarse lahendi m = 0. Näide (4) Üldlahendist (2) saame erilahendi algtingimusest m(0) = m0 Seosest (2) saame sel korral: ja erilahendiks on:
