ELEMENTARY GRADES STUDENTS' CAPACITY FOR FUNCTIONAL THINKING 低年級學生的函數思考能力

1. ELEMENTARY GRADES STUDENTS' CAPACITY FOR FUNCTIONAL THINKING 低年級學生的函數思考能力 Maria L. B. & James J. K. (2004) Elementary grades students’ capacity for functional thinking .Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2004 Vol 2,135-142 邱雪莉　整理

2. 摘要 • 這是一項居住在都市的初級學生如何發展和表達函數的研究。 • 根據學生使用的表述形式、數學語言的發展、使用的運算以及如何處理一個或多個變量來分析數據。

3. 摘要(二) • 調查結果指出 • 學生在可能認為之前的階段就有函數思考的能力 • 學生早在幼稚園時期就能致力於共同變化的思考 • 早在一年級時就能描述數量如何對應 • 雖然，在單一變量資料中發現的模式在初等課程中是常見的，我們斷定基礎數學應該更進一步延伸包含函數式的思考。

4. 研究背景 • 越來越多的研究提出證據證明來自不同社會經濟性和教育背景的低年級(PreK-5)學生能致力於代數推理的能力(使用消除先前加在他們身上的啟發限制的方法來研究) • 我們對國小數學代數推理發展的興趣使我們發現作業的設計觀點可以用來開發代數觀念 ，特別是在代數推理透過概括化從數字圖案發展函數關係而產生的作業。

5. 研究方法 • 這項研究的資料取自GEAAR(Generalizing to Extend Arithmetic to Algebraic Reasoning),是一個在都市學區裡的教師專業發展計畫，用來幫助老師們改變他們的教學資源和為了代數推理而建立在教室機會的教學實習。 • 這裡報告的詳細研究結果是以PreK-5(從轄區裡學校之一)的學生對作業"眼睛和尾巴"的回答為基礎。

6. 研究方法 • 眼睛與尾巴 假定你在一個狗的收容所，而且你想要計算所有狗的眼睛數。假如有一隻狗，那會有多少個眼睛?兩隻狗呢?三隻狗呢?100隻狗呢?你有發現介於狗的數量和眼睛總數的關係嗎?你要如何敘述這個關係?你怎麼知道這件事的?

7. 研究方法 • 從書寫作業和老師訪談來收集學生的回答，並且根據以下幾點來分析： 1.學生在不同階段使用的回答形式 2.學生敘述函數關係的數學語言等級 3.學生如何追蹤及組織資料 4.學生解釋函數關係使用的數學運算 5.學生如何表示數量的變化

8. 結果(幼稚園前(3-5歲)) • 能描述數量為"雙數"或"奇數" • 此階段的學生無法預測答案並且要藉由計算具體的物件才能找出答案 • 學生沒有從數據中找出模式(規則)的跡象 • 對這些學生來說，有意義的不僅是發展數字與物體間連結，也介紹一個功能表(T圖)為一個能組織共變數的工具 • 最後的結果反映出早期的具體形象基礎的發展支持著代數推理

9. 結果(幼稚園) • 學生藉由畫點(眼睛)及長記號(尾巴)來紀錄數據,數據只計算到10隻狗(點數被聚集成4點,2x2數列的形式)(如圖一) • 一些學生發現眼睛數的模式(規則)如下： 1.用2的倍數計算 2.越來越多 3.每增加一隻狗則增加兩隻眼睛

10. 結果(幼稚園) • 在某班級，老師及學生建立了一至四隻狗眼睛數的T圖(老師紀錄數據)後，老師要求學生從數據裡找出相同的模式(規則) 　老師：假使(我們)有五隻狗呢?是奇數或偶數? 　學生：偶數 　老師：為什麼? 　學生：我們跳過所有的奇數 • 我們發現在數學上值得注意的是幼稚園學生不僅能“識別奇數偶數”，也能從數據的相似性清楚的表達出一種簡單模式

11. 結果(一年級) • 學生早在“Eyes and Tails”前就曾使用T圖。此外，是由學生而非老師紀錄數據在T圖上 • 他們敘述計算眼睛尾巴的模式(規則)是"每三個一數" • 能省略計數去尋找答案 • 學生發現模式(規則)："兩倍"(眼睛總數)及"三倍"(眼睛及尾巴總數)

12. 結果(二年級) • 能用自然的語言提出倍數關係 (你必須把狗的數量乘兩倍來得到眼睛的數量) • 在不計數的情況下，能使用此方法預測100隻狗的眼睛數量 • 用類似的方法(乘三倍)，預測出100隻狗的眼睛尾巴總數是300

13. 結果(三四五年級) • 學生能用文字跟符號陳述倍數規則，並且能使用此規則預測100隻狗的眼睛數或眼睛尾巴總數 • 發現“無論狗的數量有多少，只是乘以2就好“且能夠以"n×2"及"2×n"來敘述此關係 • 某個三年級班級的學生圖解他們的結果來比較眼睛數和狗的數量(圖二)以及眼睛和尾巴的數量和狗的數量 • 四五年級的學生做的跟三年級很相似,唯一顯著不同的是五年級學生只需較少的數據(只要3隻狗的數據)就能發展出函數

14. 討論 • 此資料指出很年輕的學習者有函數思考的能力,且思想在Pre-K–5能如何進行 • 轉變出現在學生如何能 (1)使用具體形式，例如：T圖 (2)清楚表達及符號表示模式(規則)－由加法關係的自然語言敘述到倍數關係的象徵性敘述 (3)說明交互變化的量

15. 討論具體化的基礎建設和學生的符號觀念的發展討論具體化的基礎建設和學生的符號觀念的發展 • 在各年級，學生能用表格、圖片、文字、符號去產生作業的觀念和表達數學關係 • 在早期的階段，老師是T圖的紀錄者。到了2-3年級，學生似乎流暢地使用此具體工具 • 學齡前到一年級的學生依賴看的見的物體計算 • T圖是一個一到五年級學生很普遍用來組織及追蹤數據的方法

16. 討論具體化的基礎建設和學生的符號觀念的發展討論具體化的基礎建設和學生的符號觀念的發展 • 三年級學生雖然不能徹底的把關係式寫成f(n)=2n，但能使用字母象徵變化的數量，且能以符號的形式來解釋關係(如:眼睛數是2n) • 雖然學生起初是用文字、符號來描述函數,但有個三年級班級使用直線圖表示狗的數量與眼睛數量的相對關係 • 學生標記T圖的方法表現出越來越多精緻的語言，如：T圖的標題－dogs和eyes(學齡前到一年級)→number of dogs和number ofeyes(二年級)→D和E(三年級)

17. 討論學生如何解釋多變的數量 • 學生發現的模式(規則)並且使用的解釋法 幼稚園：從數據中發現"偶數"模式 一年級：發現眼睛數的不同,使用加法與乘法關 　　　　係以日常的語言描述模式 二年級：能使用日常的語言明確的表達出乘法關 　　　　係並且不須數眼睛就能預測出100隻狗 　　　　的眼睛數 後來的年級,學生只須較少的數據就能確定函數 關係並且做出預測

18. 討論學生如何解釋多變的數量 • 早期的學生開始考慮到數量如何互相變化 幼稚園：以“每增加一隻狗就多兩隻眼睛”來描述 　　　　眼睛數與狗數之間的加法關係 一年級：發現“兩倍”和“三倍”的乘法關係分別描 　　　　述眼睛數和眼睛尾巴總數 二年級：同樣發現乘法關係 三年級後：學生完全能注意到兩數如何同時變 　　　　化，且能用符號象徵函數關係

19. 雖然近幾年基礎數學包含了圖形概念，但是傳統上沒注意到函數思考，特別是學齡前到二年級。然而，從我們的分析可發現早在幼稚園時期,學生就能做交互變化的思考；一年級就能描述數量如何對應；三年級就能用字母來抽象的象徵變量雖然近幾年基礎數學包含了圖形概念，但是傳統上沒注意到函數思考，特別是學齡前到二年級。然而，從我們的分析可發現早在幼稚園時期,學生就能做交互變化的思考；一年級就能描述數量如何對應；三年級就能用字母來抽象的象徵變量 • 我們推測早期階段強調找單變數的模式會阻礙往後年級函數思考的重點，找單變數的模式在數學上會比函數思考較少預測能力及作用力 • 我們建議學齡前到五年級的課程應該致力於兩個或更多數量如何同時變化,而不是僅僅單一的模式

20. THE END!!

21. Ｔ－ＣＨＡＲＴ

22. 結果(幼稚園)

23. 結果(三四五年級)