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Giochi su network di connessione

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Pavia, 24 Marzo 2009 Almo Collegio Borromeo. Giochi su network di connessione. Stefano Moretti. Istituto Nazionale per la Ricerca sul Cancro Email: [email protected] Phone:010-5600500. Phd Thesis, Tilburg Univeristy, The Netherlands:

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giochi su network di connessione

Pavia, 24 Marzo 2009 Almo Collegio Borromeo

Giochi su network di connessione

Stefano Moretti

Istituto Nazionale per la Ricerca sul Cancro

Email: [email protected]

Phone:010-5600500

slide2

Phd Thesis, Tilburg Univeristy, The Netherlands:

http://arno.uvt.nl/show.cgi?fid=80868

ricerca operativa
Ricerca Operativa
  • Un decisore, guidato da unafunzione obiettivo, affronta un problema di ottimizzazione.
  • La teoria quindi si concentra sulla questione di come agire in maniera ottimale e, in particolare, sulla costruzione di algoritmi efficienti.
teoria dei giochi cooperativi
Teoria dei Giochi cooperativi
  • almeno due decisori interagenti (chiamati giocatori)
  • sono permessi accordi vincolanti
  • possono essere permessi anche pagamenti laterali (giochi a utilità trasferibile o TU-game, anche noti come giochi cooperativi in forma coalizionale)
ro e tdg org
RO e TdGORG
  • Struttura (discreta) di base di un grafo, network o sistema che soggiace a varie tipologie di problemi di ottimizzazione combinatoria.
  • Si assume che almeno due giocatori sono situati in corrispondenza di parti (es. vertici, lati, panieri di risorse, lavori) del sistema da ottimizzareecc.)
slide6

Esempio di

Situazione di connessione

  • Un gruppo di persone le cui case sulla montagna non siano ancora connesse ad una rete fognaria;
  • Le loro acque reflue devono essere raccolte in un depuratore a valle;
  • Per tutti e’ sufficiente, ma non necessario, essere connessi autonomamente al depuratore;
  • Ci si puo connettere anche attraverso altre case;
  • “Alcune connessioni potrebbero anche essere impedite da barriere naturali (natural reef)”;
  • Costruire un tubo e’ costoso.
come nasce il gioco
Come nasce il gioco?
  • Lavorando assieme, i giocatori possono realizzare guadagni extra o abbassare i costi in comparazione alla situazione in cui ciascuno ottimizza individualmente.
  • Il nuovo problema è: come dividere i guadagni extra o i risparmi?
slide8

Ricordo che

Un gioco cooperativo dei costi e’ una coppia ordinata <N,c> dove

N={1,2,…,n} e’ l’insieme dei giocatori

c:2NIR+ e’ la funzione caratteristica del gioco

che assegna ad ogni coalizione S2N un numeor reale c(S) e dove c()=0.

Un vettore xIRn e’ chiamato allocazione

Se un’allocazione e’ sia efficiente (iN xi=c(N)) che individualmente razionale (xi  c({i}) per ogni iN) allora e’ chiamata imputazione

Un’imputazione e’ stabile se iS xi  c(S) per ogni coalizione S non vuota

Il nucleo di un gioco <N,c> e’ l’insieme di tutte le imputazioni stabili ed e’ denotato da Core(N,c)

8

problemi di connessione
Problemi di connessione
  • fixed tree games, ovvero giochi derivanti da problemi di mantenimento di network già costruiti
  • minimum cost spanning tree games (giochi mcst), dove invece il network di connessione deve ancora essere realizzato.
minimum cost spanning tree situation

3

1

  • I cui vertici rappresentano le case

2

80

20

30

50

40

  • il vertice 0 e’ la sorgente

10

  • I lati rappresentano le connessioni

0

sorgente

  • I numeri vicino ai lati rappresentano
  • il costo di connessione
Minimum Cost Spanning Tree Situation

Utilizziamo il modello del grafo pesato completo.

minimum cost spanning tree problem
Minimum Cost Spanning Tree problem.

Problema di Ottimizzazione:

come connettere ogni nodo alla sorgente 0 in maniera tale che il costo di costruzione di del network di ricoprimento (che connette tutti i nodi direttamente o indirettamente alla sorgente 0) sia minimo?

slide12

Algoritmo di Prim

18

2

1

24

24

20

10

0

26

3

3

Esempio

N={1,2,3}

EN’={{1,0},{2,0},{2,1},{3,0},{3,1},{3,2}}

Una funzione dei costi come indicata sul grafo

Algoritmo di

Kruskal

18

2

1

24

24

10

0

20

26

slide13

c(1)=24

c(2)=24

c(3)=26

c(1,3)=34

c(1,2)=42

c(2,3)=44

c(1,2,3)=52

3

Esempio: Il gioco cooperativo dei costi <{1,2,3},c>dato dalla situazione di connessione disegnata di seguito e’ tale che:

18

2

1

24

24

10

0

20

26

Il gioco <{1,2,3}, c> è detto gioco mcst

slide14

Come posso dividere il costo totale?

  • Il predecessore di 1 e’ 0: quindi l’allocazione di Bird assegna a 1 il costo di {1,0}.
  • Il predecessore di 2 e’ 1: quindi l’allocazione di Bird assegna a 2 il costo di {2,1};
  • Il predecessore di 3 e’ 1: quindi l’allocazione di Bird assegna a 3 il costo di {1,3}.

18

2

1

24

24

10

0

20

26

3

w()=52

L’allocazione di Bird rispetto a (x1,x2, x3)=(24, 18 ,10) sta nel nucleo Core({1,2,3},c).

slide15

L’allocazione di Bird rispetto a questo albero di ricoprimento di minimo costo e’

(x1,x2, x3)=(24, 18 ,10)

L’allocazione di Bird rispetto a questo albero di ricoprimento di minimo costo e’

(x1,x2, x3)=(18, 24 ,10)

18

2

1

24

24

20

10

0

26

3

3

18

2

1

24

24

10

0

20

26

Entrambe le allocazioni appartengono al nucleo del gioco mcst (ed anche la loro combinazione convessa).

slide16

1

(52,0,0)

(24,2,26)

(24,24,4)

(x1,x2,x3)

I(N,c)

(0,0,52)

(2,24,26)

x1+x2+x3=52

(0,52,0)

18

2

1

24

24

10

0

20

26

3

3

2

slide17

(24,24,4)

I(N,c)

(18,24,10)

(24,18,10)

Bird 1

Bird 2

Core(N,c)

(8,24,20)

(24,2,26)

(2,24,26)

(8,18,26)

18

2

1

24

24

10

0

20

26

3

slide18

Allocazione Bird

  • Regola di Bird:
    • Esiste sempre (dato un problema di connessione).
    • In genere non e’ unica (ce ne sono tante quante gli alberi di ricoprimento di minimo costo).
    • Tutte le allocazioni di Bird Stanno nel nucleo del gioco mcst.
slide19
Altre considerazioni per valutare i metodi di allocazione: andare a vedere cosa succede quando varia la struttura del network
  • Si immagini di utilizzare una certa regola per allocare i costi.
    • Può aumentare il costo dei lati: se il costo di una connessione aumenta nessuno dovrebbe venire a pagare di meno in base alla regola di allocazione in uso (monotonia sui costi);
    • Uno o più giocatori lasciano il network: nessuno dei rimanenti dovrebbe essere avvantaggiato dalla loro partenza (monotonia sui giocatori).
monotonia sui costi comportamento di bird

3

2

1

5

4

3

2

3

0

4

1

5

8

6

3

0

4

8

3

3

La regola di Bird non soddisfa la monotonia sui costi.

Monotonia sui costi: comportamento di Bird.

Allocazione di Bird: (4, 3 ,3)

Allocazione di Bird: (3, 5 ,3)

monotonia sui giocatori comportamento di bird

5

2

1

1

5

7

7

3

3

0

0

7

6

6

3

3

La regola di Bird non soddisfa la monotonia sui giocatori.

Monotonia sui giocatori: comportamento di Bird.

Allocazione di Bird: (5, 5 ,3)

Allocazione di Bird: (3, * ,6)

slide22

3

2

1

8

4

4

0

5

2

3

Esercizio:

  • Si consideri la situazione mcst disegnata in figura. Determinare:
  • il corrispondente gioco mcst.
  • il nucleo del gioco mcst
  • le allocazioni date dalla regola di Bird
ad