Théorie de Morse discrète

1. Théorie de Morse discrète Geovan Tavares, Thomas Lewiner, Hélio Lopes Laboratório Mat&Mídia, Departamento de Matemática, PUC-Rio

2. Introduction • Eléments de la théorie de Morse classique • Eléments de théorie de Morse discrète • Construction de fonctions de Morse discrètes • Applications Laboratório Mat&Mídia

3. Fonctions de Morse classique • Fonction différentiable f définie sur une variété différentielle X, à valeurs réelles. • Points critiques de f : xX tais que f(x)=0. • f est une fonction de Morse ssi ses points critiques ne sont pas dégénérés. Laboratório Mat&Mídia

4. Liens avec la topologie m(k) : nombre de points critiques d’indice k (k) : k-ième nombre de Betti (calcule sur un anneau quelconque) • Inégalité forte de Morse (k) - (k-1) + …  (0) m(k) - m(k-1) + …  m(0) • Inégalité faible de Morse (k) m(k) • Caractéristique d’Euler (n) - (n-1)+…(0) = m(n) - m(n-1) +… m(0) • Déformation continue hors des points critiques Laboratório Mat&Mídia

5. Théorie de Morse discrète(Forman 1995) Complexe cellulaire arbitraire Théorie entièrement combinatoire Indépendante d’un plongement géométrique Laboratório Mat&Mídia

6. Champs de gradient discret • Un champs de vecteurs combinatoire V est une collection disjointe de paire de cellules incidentes • Un champs de vecteurs est de Morse s’il n’existe pas de V-chemin trivial • Les cellules critiques sont celles qui n'appartiennent à aucune paire de V. Laboratório Mat&Mídia

7. Comparaison avec la théorie classique Laboratório Mat&Mídia

8. 3 points de vue • Fonction de Morse sur un complexe cellulaire • Champs de gradient discret: matching acyclique • Hyperforets Laboratório Mat&Mídia

9. Optimalité • Une fonction f définie par f()=dim() est une fonction de Morse discrète ou tous les points sont critiques • Une fonction de Morse est dite optimale si elle atteint le nombre minimum de points critiques • Le nombre minimum de points critiques est un invariant topologique pour les variétés de dimension 3 • Atteindre l’optimum est un problème MAX-SNP hard (à partir de la dimension 2) Laboratório Mat&Mídia

10. Algorithme • Construction de fonctions de Morse proches de l’optimum en dimension quelconque • Optimal pour les variétés en dimension 2 • Linéaire en dimension 2 • Quadratique en dimension quelconque • Ajouts de contraintes géométriques Laboratório Mat&Mídia

11. Applications • Démonstration élégante d’algorithmes (EdgeBreaker Grow&Fold) • Minimiser les ‘glue faces’ de Grow&Fold • Résolution de flots discrets • Lien avec les surfaces normales? Laboratório Mat&Mídia