지수함수와 로그함수 이야기 - 뉴 턴 -

1. 지수함수와 로그함수 이야기- 뉴 턴- 한광고등학교 1학년 8반 32번 최 우 년

2. 차 례 뉴턴은 누구일까?? 뉴턴이 들려주는 지수함수와 로그함수 이야기 지수함수란… 로그함수란… 느낀점.

3. Isaac Newton • 잉글랜드 동부 링컨셔의 울즈소프에서 태어났다. 아버지는 그의 출생 전에 사망하였고, 어머니는 그가 3세 때 재혼하는 등 불운한 소년시절을 보냈다.수학에서 미적분법 창시, 물리학에서 뉴턴역학의 체계 확립, 이것에 표시된 수학적 방법 등은 자연과학의 모범이 되었고, 사상면에서도 역학적 자연관은 후세에 커다란 영향을 끼쳤다. 1661년 케임브리지대학교 트리니티칼리지에 입학, 수학자 I.배로의 지도를 받아 케플러의 《굴절광학》, 데카르트의 《해석기하학》, 월리스의 《무한의 산수》 등을 탐독하였으며, 1664년 학사학위를 얻었다. 1664~1666년 페스트가 크게 유행하자 대학이 일시 폐쇄되어 뉴턴도 고향으로 돌아와 대부분의 시간을 사색과 실험으로 보냈다. 그의 위대한 업적의 대부분은 이때 싹트게 된 것이라고 하며, 사과의 일화도 이때 있었던 일이다. 1667년 재개된 대학에 돌아와 이 대학의 펠로(특별연구원)가 되고 이듬해에는 메이저펠로(전임특별연구원)가 됨과 동시에 석사학위를 받았다. 1669년 I.배로의 뒤를 이어 루카스교수직에 부임하였다.

4. 뉴턴의 최대 업적은 물론 역학에 있다. 일찍부터 역학 문제, 특히 중력 문제에 대해서는 광학과 함께 큰 관심을 가지고 있었으며, 지구의 중력이 달의 궤도에까지 미친다고 생각하여 이것과 행성의 운동(이것을 지배하는 케플러법칙)과의 관련을 고찰한 것은 울즈소프 체류 때 이루졌다고 한다. 1687년 이 성과를 포함한 대저서 《자연철학의 수학적 원리(프린키피아) 》가 출판되었으며, 이로써 이론물리학의 기초가 쌓이고 뉴턴역학의 체계가 세워졌다.3부로 된 이 라틴어 저서는 간단한 유율법의 설명에서 시작하여 역학의 원리, 인력의 법칙과 그 응용, 유체의 문제, 태양행성의 운동에서 조석의 이론 등에 이르기까지 계통적으로 논술되어 있다. 또 방정식론 등의 대수학 분야의 여러 업적은 《Arithmetica universalis sive de compositione et resolutione arithmetica liber》(1707)로 간행되었다.  근대과학 성립의 최고의 공로자이며, 그가 주장한 ‘자연은 일정한 법칙에 따라 운동하는 복잡하고 거대한 기계’라고 하는 역학적 자연관은 18세기 계몽사상의 발전에 지대한 영향을 주었다.

5. 뉴턴이 들려주는 지수함수와 로그함수 이야기 • 「수학자가 들려주는 수학 이야기」시리즈 제40권『뉴턴이 들려주는 지수함수와 로그함수 이야기』. 이 책은 지수함수와 로그함수에 관한 이야기를 근대이론과학의 선구자 뉴턴이 친근하게 이야기 형식으로 들려준다. 전체 아홉 시간으로 구성되어 있다. 공룡뼈 화석을 통해 그들의 생존 시기를 알아내는 법, 사체의 사망시간을 추정하는 법 등 재밌고 흥미로운 소재들로 수학적 내용을 쉽게 풀어간다.다양한 캐릭터가 등장한 에피소드를 통해 수학적 사실을 보다 쉽게 외울 수 있도록 해준다. 지수함수의 중요한 개념적 토대인 지수적 증가에서부터 통합교과적 안목에 이르는 은행의 이자 계산, 현수선, 반감기, 냉각 법칙, 베버의 법칙 등 수험생들에게 꼭 필요한 정보를 담고 있다. 특히 지수함수와 로그함수의 핵심적인 내용들을 시각적으로 오래 기억할 수 있도록 재미있는 삽화를 곁들였다.

6. 지수함수 • 수학용어로서 a를 양의 상수, x를 모든 실수값을 취하는 변수라 할 때y＝ax 로 주어진 함수를 가리킨다. 이때 이 함수를 a를 밑(base)으로 하는 지수함수라 한다.예를 들면, 처음의 세균의 수를 1이라 할 때, 1시간마다 이것이 2배로 늘어난다고 하면, 2시간에는 22으로서 4, 3시간에는 23으로 8, 4시간에는 24으로 16,…으로 불어난다.

7. 지수함수의 y=a^x성질 • (1) 정의역은 실수 전체의 집합 R이고, 치역은 {yly>0}이다. • (2) 그래프는 점 (0,1)을 지난다. • (3) 직선 y=0(x축)이 그래프의 점근선이다. • (4) a>1일 때 증가하고, 0<a<1일 때 감소한다.

8. 지수함수에 대해 • 지수적 증가 태양까지 도달하기 위해서는 신문지를 몇번이나 접어야 하는 걸까? 답? 약 50번이면 충분하다!! 냉각법칙와 지수함수 시간에 따른 물체의 온도변화는 그 물체의온도와 주위 물체의 온도차에 비례한다는법칙으로 온도차이가 적을 때 근사적으로 사용할 수 있다. 방안에 뜨거운 커피가 언제쯤 식을까? 사체가 피살된 시간 추정.

9. 반감기와 지수함수 반감기란 어떤 특정 방사성 핵종의 원자수가 방사성 붕괴에 의해서, 원래의 수의 반으로 줄어드는 데 걸리는 시간. 공룡뼈 화석을 통해 그들의 생존 시기를 알아내는 법

10. 로그(log)는 수학 함수의 일종이다. 이고, x > 0, y > 0 일 때, x,y사이에 y = ax라는 관계가 있으면 'x는 a를 밑으로 하는 y의 로그'라고 한다. 예를 들어 34 = 81이므로 log381 = 4이다. 로그는 영어 logarithm의 준말이며, 대수라고 부르기도 한다. 로그함수

11. 로그함수 의 성질 • (1) 정의역은 {xlx>0}이고, 치역은 실수 전체의 집합 R이다. • (2) 그래프는 점 (1,0)을 지난다. • (3) 직선 x=0(y축)이 그래프의 점근선이다. • (4) a>1일 때 단조증가하고, 0<a<1일 때 단조감소한다.

12. 로그함수가 실생활에 적용되는 예 • 그래서 17세기 초 로그가 처음 등장했을 때 로그는 유럽 전체에서 열광적인 환영을 받았다. 특히 많은 계산을 해야 하는 천문학에서는 로그의 탄생만을 기다렸다고 해도 과언이 아니다. “로그는 천문학의 작업량을 줄임으로써 천문학자의 수명을 두 배로 만들었다”는 말을 들을 정도였으니 어느 정도인지 짐작이 간다. • 컴퓨터의 출현으로 계산 도구로서 로그의 가치는 많이 줄었다. 하지만 함수로서의 위치는 계속 고수하고 있다. 로그는 물리적 양을 매우 간편하게 표현하는 강점이 있기 때문에 일상 생활에서 접할 수 있는 몇 가지 수치를 나타내는 편리한 도구로 이용된다. 예를 들어 지진의 크기를 정하는 리히터 규모, 소리의 세기를 나타내는 데시벨(dB), 산성과 염기성을 알려주는 수소 이온 농도(pH)가 그것이다.

13. 지진의 크기를 정하는 리히터 규모 • 리히터 규모 1 차이는 에너지 32배 우리나라는 물론 세계 각지에서 발생하는 지진의 소식을 접할 때 꼭 따라붙는 용어가 있다. 그것은 바로 ‘리히터 규모’라는 말이다. 물론 리히터 규모 말고도 ‘진도’라는 표현을 쓰기도 한다. • ‘진도’는 지진에 대한 인간의 반응과 지진에 의한 피해의 정도를 기준으로 지진의 크기를 정한 오래된 척도다. 진도를 나타내는 방법은 여러가지가 있는데, 우리 나라에서 이용하는 ‘일본 기상청 진도 계급’은 0부터 7까지 8등급으로 나눠져 있다. 예를 들어 진도 2는 창문이 약간 흔들리는 정도를, 진도 3은 유리창이 가볍게 흔들리거나 찻잔이 약간 덜그럭거릴 정도의 지진을 말한다.

14. 그런데 진도는 각 지점에서 지진의 세기를 나타내기 때문에 똑같은 지진이라도 지역에 따라 다르다. 따라서 지진을 분류할 때는 지진 자체의 크기를 어떤 척도에 따라 정량적으로 나타낼 필요가 있다. 이를 위해 현재 보편적으로 이용하는 방법이 1935년 리히터가 개발한 척도인 ‘규모’(magnitude)다. 지진의 규모는 진원지에서 1백km 떨어진 지점에서 지진계로 측정한 지진파의 최대 진폭에 따라 결정되는데, 지진파의 최대 진폭은 지진에 따라 대단히 큰 차이를 보인다. 이런 차이를 알기 쉽게 축소해 나타낸 것이 로그다. 지진파의 최대 진폭이 A미크론(1미크론=1천분의 1mm)인 지진의 규모 M은 상용 로그를 이용해 M log10 A(=log A)으로 정한다.그러므로 지진의 최대 진폭이 10배씩 커질 때마다 지진의 규모는 1.0씩 증가한다( log 1=0, log 10=1, log 102=2, … log 10n=n). 그리고 지진의 규모(M)와 지진에 의해 발생하는 에너지(E) 사이에는 log E=11.4+1.5M라는 관계가 성립한다. 지진 규모의 값이 1 증가하면 에너지는 약 32배로 증가한다는 것을 의미한다. • 101.5 ≒ 31.6227 ≒ 32

15. 소리의 세기를 나타내는 데시벨(dB) • 자동차 내부 소음은 표준음의 1억배 언제부터인가 도심의 전광판에는 소음 공해의 심각성을 보여주기 위해서 ‘80데시벨(dB)’ 또는 ‘100dB’과 같은 수치가 등장했다. ‘데시벨(dB)’은 소리의 세기를 표준음의 세기와 비교해서 나타낸다. 표준음(진동수 1천Hz)은 정상적인 청각을 지닌 사람이 겨우 들을 수 있는 소리로 그 세기는 1m2 면적당 약 10-12W의 에너지를 나타낸다(10-12W/m2). 표준음의 세기를 Ⅰ0라 하고 어떤 소리의 세기를 Ⅰ라고 할 때, 이 소리의 세기를 데시벨로 환산한 수치 L은 상용 로그를 이용해서 구한다(L = 10 log Ⅰ/Ⅰ0).일반적으로 대화를 나눌 경우가 60dB이고, 조용한 방은 30dB 정도가 된다. 자동차 내부에서 느끼는 소음의 정도인 80dB의 소리는 표준음의 세기의 1억배(108)이고, 전기톱 소리를 나타내는 100dB의 소리는 1백억 배를 의미한다. 이 소리들이 얼마나 큰 소음인지 짐작할 수 있다.

16. 산성과 염기성을 알려주는 수소 이온 농도(pH) • 대기 오염의 결과로 산성비가 내리고, 토양이 산성화되고 있다는 소식을 종종 듣는데 이 때 ‘pH4.5’ ‘pH5.2’와 같은 수치를 접하게 된다. 또 비누 선전에도 pH가 등장한다. 이런 수치는 용액 속의 수소이온농도를 측정해서 얻는다. 그런데 수소이온농도는 용액에 따라 대단히 큰 차이를 보이기 때문에, 이를 상용로그를 이용해서 수소이온 지수(pH)로 바꾸어 0부터 14까지의 수로 나타낸다.1L의 용액 속에 있는 수소 이온의 그램 이온수를 나타내는 수소이온농도 [H+]를 pH로 바꾸는 공식은 pH=-log [H+]이다.만약 수용액 중에 수소 이온이 1.0×10-7g 있다면 이때의 pH는 7이다. pH가 7인 용액은 중성, 7보다 작으면 산성, 7보다 크면 염기성이다.

17. 느낀점. 수학I에 보면 지수함수와 로그함수라는 단원이 나온다. 처음 지수함수와 로그함수를 접했을 때는 이것을 왜 배우는지는도 모르고 그냥 공식만 외웠다. 하지만 오늘 지수함수와 로그함수에 대해 조사하고 실생활에 적용되는 예를 알고나니 지수함수와 로그함수가 더 쉽고 재밌어졌다. 앞으로도 수학을 배우기 전에 그 단원을 왜 배우는지 알아보고 배우도록 할 것이다.