Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 20

Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció ). PowerPoint PPT Presentation


  • 60 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció ). Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. ( Hopf, 1942 ) Tétel. Legyen G( l ,u) egy analitikus leképezése a redukált fázis- térnek és tegyük fel, hogy létezik egy ismert u( l ) megoldása az alábbi egyenletnek:.

Download Presentation

Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció ).

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

  • Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció).

  • Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf, 1942)

  • Tétel. Legyen G(l,u) egy analitikus leképezése a redukált fázis-

  • térnek és tegyük fel, hogy létezik egy ismert u(l) megoldása az

  • alábbi egyenletnek:

Tegyük fel továbbá, hogy u(l) instabillá válik, mert a Gu(l,u) ope-

rátor s(l) sajátértéke nullává válik l=l0-nál Tegyük fel, hogy

s(l0)=0 és s’(l0)>0. Akkor létezik egy sima, nemtriviális megoldás

l(e), u(e), ami elágazik az u(l) megoldásból (l0,u0)-nál.

Itt G(l,u) egy nemlineáris operátor, l benne a paraméter.

Egy u(t) megoldás stabil, ha bármely e>0-hoz létezik létezik

d>0 úgy, hogy

esetén fennáll minden t-re:


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

A mérés

  • Klasszikus rendszer: S-et kölcsönhatásba hozzuk egy B beren-

  • dezéssel. Megvárjuk az egyensúly beállását, ebből meghatároz-

  • zuk S kölcsönhatást leíró paraméterét. B-nek kontinuum sok

  • állapota lehetséges. Nincs olyan kölcsönhatás, ahol a B berende-

  • zés S egyedi részecskéivel hat kölcsön.

  • Követelmények:

  • legyen kölcsönhatás S mérendő mennyiségéhez

  • B kevéssé változtassa meg S állapotát

  • az egyensúly elfogadható időn belül álljon be.

  • Példa: hőmérsékletmérés

T1

S


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

A kölcsönhatások leírása

Extenzív és intenzív mennyiségek, az intenzív mennyiségek kiegyen-

lítődnek.

Az intenzív mennyiségek gradiensei áramot indítanak, pl.

anyagi állandó

A gradiens azonban kereszteffektusokkal is jár: az anyagi állandókat

egy mátrix írja le:

az i-ik extenzív mennyiség

gradiense (Onsager)

a j.-extenzív mennyiség árama

Dufour-effektus (termodiffúzió), Peltier-effektus stb.


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Kvantumos rendszer

Most a mérendő S rendszernek megszámlálhatóan sok lehetséges

állapota van. B-nek viszont véges sok lehetséges állapota van.

S lehet “tiszta állapotban” vagy “kevert állapotban”. Tiszta álla-

potban S a mérendő fizikai mennyiség A operátrorának sajátálla-

potában van:

Valamely k-ra és Fk S állapotfüggvénye. Ebben az állapotban

A mérésének eredménye ak lesz.

Kevert állapotban S állapotfüggvénye legyen Y, ami kifejthető a

Fk függvények szerint:


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

A mérés eredményeként valamelyik Fp-t kapjuk, a mért érték

a Fp állapotban mérhető érték lesz.

Állapotredukció.

Yakir Aharonov (Univ. of South Carolina):

Lehetséges kvantumos rendszeren mérést végezni anélkül, hogy

a szuperpozíciót a mérés lerombolná.

Phys. Letters A, 301, p.130 (2002)

Javaslata: weak measurement (kíméletes mérés)

Aharonov elvégezte azt a mérést, amit Lucien Hardy írt le, mint

gondolatkísérletet.A kísérletben egy elektron és egy pozitron

(anti elektron) kölcsönhatását vizsgálják egy interferométerben.

A kíméletes mérés eredménye: nagy hiba, sok mérés átlaga vi-

szont pontos.


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Tekintsük az alábbi kísérletet ld.ábra).


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Mind az elektron, mind a pozitron egy féligáteresztő

tükörre esik. A tükör a részecskét két állapot szuper-

pozíciójába viszi. A részecskék ebben az állapotban

haladnak egy-egy csatornán. Az interferométer az út

végén újra összehozza a két részecskét. Az ütközés

eredménye attól függ, milyen állapotban vannak a

részecskék. Ha a részecske zavartalanul utazik, akkor

a C detektorba jut, ha viszont kölcsönhatásba lépett

más részecskével vagy térrel, akkor a D detektorba

jut. Ha az interferométer két csatornáját úgy képezzük

ki, hogy azok találkoznak, akkor a találkozás helyén

szétsugárzódnak. Ritkán, de előfordulhat, hogy mind-

két részecske a D detektorba jut, azaz, találkoztak, de

nem sugárzódtak szét. Vagyis, a kölcsönhatás úgy is

vizsgálható, hogy mindkét részecske megmarad az

eredeti állapotában. (2xD „jel” a mérés eredménye)


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Liouville-tétel

Amennyiben a részecskeszám megmarad, a fázistérbeli sűrűség

nem változhat:

A mozgásegyenletekből pedig tudjuk:

Amennyiben at S rendszer termodinamikai egyensúlyban van,

bármely lehetséges állapota egyenlően valószínű. (Posztulátum)

Ezért csak olyan állapotokkal foglalkozunk, ahol a fluktuációk

kicsik.


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Milyen mennyiségeket lehet megfigyelni?

A mérésekben makroszkopikus mérőberendezés lép kölcsönhatásba

a vizsgált S rendszerrel. A mért jel (VÁLASZ) a következő alakú:

S-re jellemző eloszlás fv.

a berendezés térfogata

a berendezés paramétere

Példa: 1,neutrongázban: reakciógyakoriság, ott B=neutron hkrm

2, fémben vezetőképesség mérés: B-külső térerő, a válasz: elektro-

mos áram


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Lineáris válasz

A mérés úgy történik, hogy egy makroszkopikus gerjesztés hat az S

rendszerre és mérjük annak válaszát. A gerjesztés annyit jelent, hogy a Hamilton-operátor H0H0+AF(t) módon megváltozik.

Példa: Ha F(t) elektromos tér, akkor A a csatolást biztosító dipól-momentum (S egyik paramétere).

A változás hatására S-ben is változások mennek végbe. Figyeljük meg a B mennyiség változását:

Itt B0 az egyensúlyi érték. Ha F nem túl erős

(az elektromos példa esetén j=sE)

Általában:

válaszfüggvény


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

  • A transzportelmélet tárgya:

  • g fotonok transzportja (sugárvédelem, orvosi vizsgálatok,csillagá-

  • szat)

  • neutronok transzportja (reaktorfizika, plazmafizika, anyagszerke-

  • zet vizsgálata neutronokkal)

  • elektrontranszport (különleges mikroelektronika tervezése)

  • anyagáramlás (folyadékok és gázok áramlása extrém körülmények

    között)

  • Az előadásban többnyire csak általános kérdéseket érintünk, egyes

  • módszereket viszont a neutrontranszport keretében dolgoztak ki

  • (pl. aszimptotikus elmélet).


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Boltzmann-féle transzportegyenlet

Legyen N molekula V térfogatban, a hőmérséklet legyen kellően

magas, a sűrűség pedig kellően alacsony ahhoz, hogy a molekulá-

kat lokális hullámcsomagként lehessen kezelni. Ennek feltétele,

hogy a molekulák közötti távolsághoz képest a de Brogli-féle

hullámhossz legyen kicsi:

Ebben a közelítésben a molekulát klasszikus részecskének lehet

tekinteni, tehát lehet pontosan meghatározott helye és impulzusa.

A molekulák között csak az ütközések révén van kcshatás, ennek

hkrm-e adott (s). A molekulákat egyformának tekintjük. Az edény

faláról csak rugalmas visszaverődés lehetséges. A gázt sűrűség-

függvénnyel írjuk le. N>>1, az infinitezimális térfogat d3r~10-10 cm3.


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

A gáz leírására f(r,v,t)-t használjuk, a független változókat m-tér

elemeinek nevezzük. Az (r és v) változókat egyenlő cellákra osztjuk,

az integrált összeggel helyettesítjük. f normálását így választjuk:

Ha a molekulák egyenletesen vannak elosztva V-ben, akkor

Feladat: meghatározni f(r,v,t)-t adott kcshatás esetén. Mivel t→

esetén f(r,v,t) meghatározza S minden egyensúlyi paraméterét, a

kinetikus elmélet nem független a termodinamikai leírástól.

Első lépésként vizsgáljuk meg, milyen egyenletből határozható

meg az eloszlásfüggvény!


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Kezdjük a kcshatás mentes esettel. Ekkor dt idő alatt:

Az ütközések leírására bevezetjük a

ütközési sebességet, amivel


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Az ütközési integrálok kiszámítása

v1

v1’

v2’

v2

+ ugyanez a ‘ sebességekre is

V=V’ és |u|=|u’|. Továbbá, d3v1d3v2=d3v1’d3v2-ből következik:

d3Vd3u=d3V’d3u’.


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

A reakciógyakoriság kiszámítása

A reakciógyakoriság |u|-tól függ, V-től nem. Legyen u=W|u|,

ekkor az 1 sec alatt (W,W+dW) térszögbe szóródott moleku-

lák számát

Adja meg, itt I-az 1 cm2-en 1 sec alatt beeső molekulák száma,

s(W) a differenciális hkrm, mérhető mennyiség. Legyen

A v2-v1 és v2’-v1’

vektorok által

bezárt szög

A hkrm rendelkezik az alábbi szimmetriákkal:

  • Időtükrözés:

  • Térbeli forgatás:


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

  • Fordított ütközés:

  • Az ütközési integrál kiszámításához az alábbi feltevésekkel

  • élünk:

  • csak bináris ütközéseket veszünk figyelembe

  • az edény falának hatását elhagyjuk

  • feltesszük: a szórási folyamatra külső erők nem hatnak

  • a molekula sebessége nem függ a térbeli helyétől

  • Az utolsó feltevés rögzíti a molekuláris káoszt.

  • Az r körüli d3r-ben található (v1,v1+d3v1) sebességű és

  • az r körüli d3r-ben található (v2,v2+d3v2) sebességű molekula-

  • párok száma


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Határozzuk meg, a v1 sebességű molekulákra eső v2 sebességű

molekulák áramát:

A dt idő alatti ütközések száma:

Az Rkid3v1 tagot ebből úgy kapjuk, hogy integrálunk v2-re és

megszorozzuk f(r,v1,t)-vel:

Az Rbed3v1 tagot analóg módon állíthatjuk elő:


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

A c szimmetria miatt s’=s, b miatt

A Liouville-tétel miatt az infinitezimális térfogatok azonosak.

Ezért:

Az ütközési integrál Rbe-Rki,ezért

stb.


Nem line ris rendszerek eset ben a p lya el gazhat bifurk ci

Ezzel a sűrűségfüggvényre vonatkozó Botzmann-egyenlet:


  • Login