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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算( GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現 - PowerPoint PPT Presentation


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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算( GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現. 許慧玉 台灣師範大學數學系 博士後研究員. 台灣學生優秀的數學表現. 幾何證明( GP ). 幾何計算( GC ). 幾何計算( GCN ). 幾何計算( GCN )是如何的被台灣老師所使用?如果可以,學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力?. 50˚. ?. 75˚. 幾何計算 (GCN) 的定義. 要求學生在圖形( mental or physical) 裡進行純數字運算的試題. 三角形內角和.

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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題:臺灣學生經驗幾何計算(GCN)和他們在幾何計算(GCN)與幾何證明(GP)上的表現

許慧玉

台灣師範大學數學系

博士後研究員


台灣學生優秀的數學表現

幾何證明(GP)

幾何計算(GC)

幾何計算(GCN)

幾何計算(GCN)是如何的被台灣老師所使用?如果可以,學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力?


50˚

?

75˚

幾何計算 (GCN)的定義

  • 要求學生在圖形(mental or physical) 裡進行純數字運算的試題

三角形內角和


Mathematical task framework mtf

TASKS

as enacted by classroom teacher and students

TASKS

as set up by classroom teacher

TASKS

as they appear in curricular/

instructional materials

Student

Learning

Mathematical Task Framework (MTF)

Excellent Mathematical Knowledge for Teaching

教師中心

考試導向

一位台灣國中數學教師─ 阿南老師

第一個研究

第二個研究

第三個研究

總結


研究問題

  • 阿南老師使用的幾何計算試題(GCN)可以提供學生哪些學習機會(Opportunities to learn)呢?

  • 阿南老師使用的教材(curricular/instructional sources)裡,幾何計算試題(GCN)有沒有什麼不同?如果有,會不會影響學生的學習機會呢?(Opportunities to learn)

  • 教科書

  • 補充講義

  • 測驗卷

  • 阿南老師上課中發展的試題



Reference diagram
參照圖形(reference diagram)的定義

  • 教科書在定義一個幾何性質時,旁邊的附圖就稱為參照圖形

  • 不同人對平行四邊形的心智圖形(mental images)



案例─分析圖形複雜性

幾何計算試題的附圖

內錯角的參照圖形







認知複雜度

內錯角的參照圖形

參照圖形鑲嵌在幾何計算圖形內


其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質


Problem solving complexity
解題複雜性其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質(problem-solving complexity)

  • 輔助線

  • 推理步驟的個數

  • 使用幾何性質的次數

  • 需要剛性轉換(transformation)的次數


案例─解題複雜性其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 一個四邊形ABCD,其AD//BC,AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且DCB=48˚。求 BAD=_________.


輔助線其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 一個四邊形ABCD,其AD//BC,AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且DCB=48˚。求 BAD=_________.


解題步驟和對應的幾何性質其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質


Transformation
剛性轉換其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質(transformation)


分析資料其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 國二的一個幾何單元─平行線與四邊形

    • 熟悉幾何性質

    • 奠定國三學習幾何證明的基礎

  • 追蹤一個國中教師(阿南老師)在教這個單元使用的教材內容

    • 教科書

    • 補充講義

    • 測驗卷

    • 課堂上創造出的試題

  • 總共有1084個試題,其中529個試題是幾何計算(GCN)


Findings
Findings-其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質圖形複雜性

115 Tasks 125 tasks 189 tasks 7 tasks


Findings1
Findings-其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質輔助線

115 Tasks 151 tasks 256 tasks 7 tasks


Findings2
Findings-其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質推理步驟數


Findings3
Findings-其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質使用幾何性質個數


Findings transformation
Findings-其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質轉換(transformation)個數


結果討論─其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質1

  • 發展出的試題分析架構

    • 創新性

    • 系統性的分析試題

    • 避開學生先備知識對試題難度度分析的影響


結果討論─其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質2

  • 非教科書的試題比教科書難

    • 要求學生辨識出複雜的幾何圖形──鑲崁的參照圖形及對應的幾何性質

    • 畫出輔助線

    • 多步驟解題過程

    • 使用多個幾何性質

    • 需要學生作圖形的剛性轉換(transformations)

解題技巧、知識、和推理都是幾何證明需要的能力


結果討論─其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質3

  • 學生如何學習這些困難的幾何計算試題呢?

    • 阿南教師的教學技巧

    • 使用補充講義

    • 只要多練習總有一天你就會作題目

    • 弱勢的學生

    • 對國際性教科書分析的反思


30其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

30

30

70

70

70

80

80

?

?

50

?

第二個研究阿南老師的教學分析

  • 如何安排幾何計算試題

    • 逐漸複雜幾何圖形─為維持認知困難度

第一個試題

第二個試題

第三個試題


Learning opportunities

30其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

70

?

30

70

?

學習機會(learning opportunities)

  • 作輔助線─視覺推論及操作圖形

  • 瞭解澄清鑲崁在幾何圖形裡的幾何性質

  • 發展出不同的解題策略


另一個分析重點其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 教師中心的教學法底下如何讓學生學習數學

    • 使用手勢(gesture)


阿南的教學其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 使用手勢


Hypothesis
第三個研究其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質研究假設Hypothesis

  • 研究問題

    • 當控制兩種試題的給定圖形以及解題所需的幾何性質,學生在幾何計算與幾何證明的表現會一樣嗎?

幾何計算

幾何證明

圖形


Why geometric diagram
Why Geometric Diagram?其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • Place where problem solving happens (Larkin & Simon, 1987)

  • Schemes by which students remember the steps in solving a problem, the given statements, and the diagram labels (Lovett & Anderson, 1994)

  • Milieu where can be parsed into chucks to cue the geometric knowledge (Koedinger & Anderson, 1990)

  • Artifacts in scaffolding students in learning proofs (Cheng & Lin, 2006; 2007).

  • Both types of tasks also require to visualize the geometric properties embedded in the given diagram


設計幾何計算與幾何證明試題的準則其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 準則一:給定圖形一致性

  • Pair 1


設計幾何計算與幾何證明試題的準則其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 準則二:解題使用的幾何性質相同

    • Set 1:

      • 三角形內角和

      • 互補性質

      • 等腰三角形性質

    • Set 2:

      • 外角定理

      • 等腰三角形性質


設計幾何計算與幾何證明試題的準則其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 標準三:解題中使用幾何性質的次序是相同的

  • 幾何計算 幾何證明


設計幾何計算與幾何證明試題的準則其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 準則四:

    • 設計其他不同圖形的幾何計算和幾何證明題目

  • 問卷共有四對試題


A其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

D

F

B

E

C

第二對


第二對其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 幾何計算 幾何證明


A其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

D

E

C

B

第三對


第三對其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • GCN GP


D其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

E

C

B

A

第四對


第四對其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 幾何計算GCN 幾何證明GP


學生答題的架構其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質


解題經驗的考量其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 解題經驗的不確定性

    • 幾何證明先,幾何計算後

    • 幾何計算先,幾何證明後


時間的影響其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 解題時間點不同

    • 對應的試題幾乎同時間解

    • 對應的試題相差一天解題


Design structure
實驗設計 其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質Design Structure


施測學生樣本其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質

  • 二個年級

    • 九年級: 已經完成所有國中的幾何證明課程

    • 八年級:還沒正式學過幾何證明課程

  • 每一班級隨機且平均的分派到四個組別

413 學生

502 學生


參與學生其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質


Coding scheme
答題編碼其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質Coding Scheme

Points 3

Points 2

Points 1

Points 0

Points 0


幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)


個別年級的表現比較幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

Significant

Not Sig.


兩種試題答題的先後幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

Significant

Not Sig.


Timing effects
Timing Effects幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

Not Sig.

Not Sig.


兩個年級間的比較幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

Significant

Significant


幾何計算答題正確幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)VS幾何計算答題正確且有正確理由


九年級學生答題正確在四個編碼類別的分佈 幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

試題的獨立性

Task-dependent


討論─觀點一幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

  • 幾何證明和幾何計算對九年級的學生來說,難度是一樣的

  • 跟之前研究的結果相反 (e.g., Heinze, Cheng, & Yang, 2004).

    • 沒有要求學生寫出幾何性質

    • 可以根據表層圖形直覺來猜出答案

    • 猜測跟試題有相當的關係性存在


案例─幾何計算答案的猜測幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

40


A幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

D

C

B

E

鑲崁在幾何計算圖形裡的等腰三角形


A幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

D

C

B

E

剛性變化

等腰三角形等底角


A幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

D

C

B

E

鑲崁在幾何計算圖形裡的同位角


討論─觀點二幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

  • 對八年級學生來說幾何證明比較困難

Significant

Not Sig.


將證明步驟正確串連的知識幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

不能使用數字來寫證明的知識

解幾何計算的知識

作幾何證明的知識

正確使用代數及幾何符號的知識

討論─觀點二


將證明步驟正確串連的知識幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

Proving ACD=2ABC when AC=BC


不能使用數字來寫證明的知識幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)


正確使用代數及幾何符號的知識幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)


跟圖形有關的錯誤(幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)1)


跟圖形有關的錯誤(幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)2)


跟圖形有關的錯誤(幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)3)

Two parallel lines.

Sum of the alternate interior angles is 180˚


跟圖形有關的錯誤幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)(4)

ABC is collinear and BD=BC. Given that ABD=70˚, find the measure of BDC=____.

The alternate interior angles property?!


總結幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

  • 幾何計算,尤其是非教科書裡的幾何計算提供了學生學習

    • 不同的幾何知識

    • 幾何推理

    • 問題解決技巧

  • 教師在教室裡會小心的維持住幾何計算試題的認知難度

  • 學生解幾何計算的經驗對他們的幾何證明學習有相當的幫助


Implications
Implications幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)

  • 課程分析的兩種方式:Vertical-dimension (textbook) vs. horizontal-dimension investigations

  • 使用MTF架構可有效的探究學生的學習成果

  • 未來研究應小心的考量亞洲國家的數學成就表現。尤其是

    • 考試文化Examination culture

    • 非語言的教室互動模式Non-verbal communications (e.g., the use of gestures)