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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算( GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現 PowerPoint PPT Presentation


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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算( GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現. 許慧玉 台灣師範大學數學系 博士後研究員. 台灣學生優秀的數學表現. 幾何證明( GP ). 幾何計算( GC ). 幾何計算( GCN ). 幾何計算( GCN )是如何的被台灣老師所使用?如果可以,學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力?. 50˚. ?. 75˚. 幾何計算 (GCN) 的定義. 要求學生在圖形( mental or physical) 裡進行純數字運算的試題. 三角形內角和.

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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題 : 臺灣學生經驗幾何計算( GCN) 和他們在幾何計算 (GCN) 與幾何證明 (GP) 上的表現

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Presentation Transcript


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使用不同的研究方法來探究同一個研究問題:臺灣學生經驗幾何計算(GCN)和他們在幾何計算(GCN)與幾何證明(GP)上的表現

許慧玉

台灣師範大學數學系

博士後研究員


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台灣學生優秀的數學表現

幾何證明(GP)

幾何計算(GC)

幾何計算(GCN)

幾何計算(GCN)是如何的被台灣老師所使用?如果可以,學生解這些計算題又如何能夠增進他們作幾何證明題目的能力?


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50˚

?

75˚

幾何計算 (GCN)的定義

  • 要求學生在圖形(mental or physical) 裡進行純數字運算的試題

三角形內角和


Mathematical task framework mtf

TASKS

as enacted by classroom teacher and students

TASKS

as set up by classroom teacher

TASKS

as they appear in curricular/

instructional materials

Student

Learning

Mathematical Task Framework (MTF)

Excellent Mathematical Knowledge for Teaching

教師中心

考試導向

一位台灣國中數學教師─ 阿南老師

第一個研究

第二個研究

第三個研究

總結


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研究問題

  • 阿南老師使用的幾何計算試題(GCN)可以提供學生哪些學習機會(Opportunities to learn)呢?

  • 阿南老師使用的教材(curricular/instructional sources)裡,幾何計算試題(GCN)有沒有什麼不同?如果有,會不會影響學生的學習機會呢?(Opportunities to learn)

  • 教科書

  • 補充講義

  • 測驗卷

  • 阿南老師上課中發展的試題


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幾何試題分析架構


Reference diagram

參照圖形(reference diagram)的定義

  • 教科書在定義一個幾何性質時,旁邊的附圖就稱為參照圖形

  • 不同人對平行四邊形的心智圖形(mental images)


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等腰三角形和正三角形的參照圖形


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案例─分析圖形複雜性

幾何計算試題的附圖

內錯角的參照圖形


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圖形複雜性


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分析子項一、二


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分析子項三、四


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分析子項五


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一個幾何試題圖形改變摘要表


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認知複雜度

內錯角的參照圖形

參照圖形鑲嵌在幾何計算圖形內


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其他鑲崁在幾何計算圖形的參照圖形及其對應的幾何性質


Problem solving complexity

解題複雜性(problem-solving complexity)

  • 輔助線

  • 推理步驟的個數

  • 使用幾何性質的次數

  • 需要剛性轉換(transformation)的次數


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案例─解題複雜性

  • 一個四邊形ABCD,其AD//BC,AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且DCB=48˚。求 BAD=_________.


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輔助線

  • 一個四邊形ABCD,其AD//BC,AD=10, BC=16, AB=6, CD=8, 且DCB=48˚。求 BAD=_________.


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解題步驟和對應的幾何性質


Transformation

剛性轉換(transformation)


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分析資料

  • 國二的一個幾何單元─平行線與四邊形

    • 熟悉幾何性質

    • 奠定國三學習幾何證明的基礎

  • 追蹤一個國中教師(阿南老師)在教這個單元使用的教材內容

    • 教科書

    • 補充講義

    • 測驗卷

    • 課堂上創造出的試題

  • 總共有1084個試題,其中529個試題是幾何計算(GCN)


Findings

Findings-圖形複雜性

115 Tasks 125 tasks 189 tasks 7 tasks


Findings1

Findings-輔助線

115 Tasks 151 tasks 256 tasks 7 tasks


Findings2

Findings-推理步驟數


Findings3

Findings-使用幾何性質個數


Findings transformation

Findings-轉換(transformation)個數


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結果討論─1

  • 發展出的試題分析架構

    • 創新性

    • 系統性的分析試題

    • 避開學生先備知識對試題難度度分析的影響


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結果討論─2

  • 非教科書的試題比教科書難

    • 要求學生辨識出複雜的幾何圖形──鑲崁的參照圖形及對應的幾何性質

    • 畫出輔助線

    • 多步驟解題過程

    • 使用多個幾何性質

    • 需要學生作圖形的剛性轉換(transformations)

解題技巧、知識、和推理都是幾何證明需要的能力


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結果討論─3

  • 學生如何學習這些困難的幾何計算試題呢?

    • 阿南教師的教學技巧

    • 使用補充講義

    • 只要多練習總有一天你就會作題目

    • 弱勢的學生

    • 對國際性教科書分析的反思


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30

30

30

70

70

70

80

80

?

?

50

?

第二個研究阿南老師的教學分析

  • 如何安排幾何計算試題

    • 逐漸複雜幾何圖形─為維持認知困難度

第一個試題

第二個試題

第三個試題


Learning opportunities

30

70

?

30

70

?

學習機會(learning opportunities)

  • 作輔助線─視覺推論及操作圖形

  • 瞭解澄清鑲崁在幾何圖形裡的幾何性質

  • 發展出不同的解題策略


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另一個分析重點

  • 教師中心的教學法底下如何讓學生學習數學

    • 使用手勢(gesture)


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阿南的教學

  • 使用手勢


Hypothesis

第三個研究研究假設Hypothesis

  • 研究問題

    • 當控制兩種試題的給定圖形以及解題所需的幾何性質,學生在幾何計算與幾何證明的表現會一樣嗎?

幾何計算

幾何證明

圖形


Why geometric diagram

Why Geometric Diagram?

  • Place where problem solving happens (Larkin & Simon, 1987)

  • Schemes by which students remember the steps in solving a problem, the given statements, and the diagram labels (Lovett & Anderson, 1994)

  • Milieu where can be parsed into chucks to cue the geometric knowledge (Koedinger & Anderson, 1990)

  • Artifacts in scaffolding students in learning proofs (Cheng & Lin, 2006; 2007).

  • Both types of tasks also require to visualize the geometric properties embedded in the given diagram


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設計幾何計算與幾何證明試題的準則

  • 準則一:給定圖形一致性

  • Pair 1


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設計幾何計算與幾何證明試題的準則

  • 準則二:解題使用的幾何性質相同

    • Set 1:

      • 三角形內角和

      • 互補性質

      • 等腰三角形性質

    • Set 2:

      • 外角定理

      • 等腰三角形性質


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設計幾何計算與幾何證明試題的準則

  • 標準三:解題中使用幾何性質的次序是相同的

  • 幾何計算 幾何證明


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設計幾何計算與幾何證明試題的準則

  • 準則四:

    • 設計其他不同圖形的幾何計算和幾何證明題目

  • 問卷共有四對試題


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A

D

F

B

E

C

第二對


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第二對

  • 幾何計算 幾何證明


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A

D

E

C

B

第三對


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第三對

  • GCN GP


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D

E

C

B

A

第四對


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第四對

  • 幾何計算GCN 幾何證明GP


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學生答題的架構


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解題經驗的考量

  • 解題經驗的不確定性

    • 幾何證明先,幾何計算後

    • 幾何計算先,幾何證明後


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時間的影響

  • 解題時間點不同

    • 對應的試題幾乎同時間解

    • 對應的試題相差一天解題


Design structure

實驗設計 Design Structure


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施測學生樣本

  • 二個年級

    • 九年級: 已經完成所有國中的幾何證明課程

    • 八年級:還沒正式學過幾何證明課程

  • 每一班級隨機且平均的分派到四個組別

413 學生

502 學生


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參與學生


Coding scheme

答題編碼Coding Scheme

Points 3

Points 2

Points 1

Points 0

Points 0


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幾何計算與幾何證明的表現比較(兩個年級一起)


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個別年級的表現比較

Significant

Not Sig.


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兩種試題答題的先後

Significant

Not Sig.


Timing effects

Timing Effects

Not Sig.

Not Sig.


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兩個年級間的比較

Significant

Significant


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幾何計算答題正確VS幾何計算答題正確且有正確理由


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九年級學生答題正確在四個編碼類別的分佈

試題的獨立性

Task-dependent


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討論─觀點一

  • 幾何證明和幾何計算對九年級的學生來說,難度是一樣的

  • 跟之前研究的結果相反 (e.g., Heinze, Cheng, & Yang, 2004).

    • 沒有要求學生寫出幾何性質

    • 可以根據表層圖形直覺來猜出答案

    • 猜測跟試題有相當的關係性存在


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案例─幾何計算答案的猜測

40


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A

D

C

B

E

鑲崁在幾何計算圖形裡的等腰三角形


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A

D

C

B

E

剛性變化

等腰三角形等底角


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A

D

C

B

E

鑲崁在幾何計算圖形裡的同位角


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討論─觀點二

  • 對八年級學生來說幾何證明比較困難

Significant

Not Sig.


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將證明步驟正確串連的知識

不能使用數字來寫證明的知識

解幾何計算的知識

作幾何證明的知識

正確使用代數及幾何符號的知識

討論─觀點二


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將證明步驟正確串連的知識

Proving ACD=2ABC when AC=BC


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不能使用數字來寫證明的知識


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正確使用代數及幾何符號的知識


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跟圖形有關的錯誤(1)


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跟圖形有關的錯誤(2)


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跟圖形有關的錯誤(3)

Two parallel lines.

Sum of the alternate interior angles is 180˚


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跟圖形有關的錯誤(4)

ABC is collinear and BD=BC. Given that ABD=70˚, find the measure of BDC=____.

The alternate interior angles property?!


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總結

  • 幾何計算,尤其是非教科書裡的幾何計算提供了學生學習

    • 不同的幾何知識

    • 幾何推理

    • 問題解決技巧

  • 教師在教室裡會小心的維持住幾何計算試題的認知難度

  • 學生解幾何計算的經驗對他們的幾何證明學習有相當的幫助


Implications

Implications

  • 課程分析的兩種方式:Vertical-dimension (textbook) vs. horizontal-dimension investigations

  • 使用MTF架構可有效的探究學生的學習成果

  • 未來研究應小心的考量亞洲國家的數學成就表現。尤其是

    • 考試文化Examination culture

    • 非語言的教室互動模式Non-verbal communications (e.g., the use of gestures)


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