第 8 章多元函数

第 8章多元函数 第一章至第六章我们讨论了一元函数的微积分学，但在很多实际问题中往往牵涉到多方面的因素,反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。这就提出了多元函数以及多元函数的微分和积分问题。本章将在一元函数微积分学的基础上，讨论多元函数的微积分法及其应用。讨论中我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。

本章内容 §8.1 空间解析几何简介 §8.2 多元函数的概念 §8.3 二元函数的极限与连续 §8.4 偏导数 §8.5 全微分 §8.6 复合函数的微分法 §8.7 隐函数的微分法 §8.8 二元函数的极值 §8.9 二重积分

y x §8.1空间解析几何简介一、平面解析几何有关内容回顾： 1 平面直角坐标系在平面上任取一定点O，过点O做两条相互垂直的直线OX, OY，规定正方向、长度单位。则平面直角坐标系建成。（a,b) • b 此时，平面上任意一点P和一个有序实数对（a,b)之间存在一一对应关系。 • a

曲线与方程 2 在平面直角坐标系下，如果某曲线 C 上任意一点的坐标 (a,b) 都是某二元方程 F(x,y)=0 的解；反之，如果以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上，则曲线 C 称为方程 F(x,y)=0 的曲线，而方程 F(x,y) =0 称为曲线 C 的方程。记为 C: F(x,y)=0

几个常见的公式与方程 3 ① 两点间的距离公式： ② 圆的方程： ③ 抛物线方程： ④ 椭圆双曲线方程：

§8.1空间解析几何简介 (续） 二、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立按右手系规定 OX、Oy、Oz 正方向过O作三条互相垂直的直线 Ox、Oy、Oz 规定一个单位长度定点O z o y • x

3 2 4 1 6 5 8 ⒈平面直角坐标系将平面划分为四部分：第一、第二、第三、第四象限。注意： ⒉ 而空间的三条坐标轴组成的三个坐标平面将空间划分为八部分：称为第一、二、三、四、五、六、七、八卦限。

z • (0,0,z) (0,y,0) y • • (x,0,0) x 注意： 3、空间直角坐标系中的坐标轴仍可称为 x 轴、 y 轴和 z 轴，其上任意一点的坐标分别记为： (x,0,0)， (0,y,0)， (0,0,z)

z (0,y,z) • (x,0,z) • y x • (x,y,0) 4 两条坐标轴相交所成的平面称为坐标平面分别称其为xy平面、yz平面和zx平面，其上任一点的坐标分别记为： (x,y,0)， (0,y,z)， (x,0,z)。注意：

2. 空间中点与三元有序数组的关系 设 M 为空间任意一点，过 M 作分别与三个坐标轴垂直的平面，且设它们与三个坐标轴的交点分别为(a,0,0), (0,b,0),(0,0,c)，则空间中的点 M 与一个三元有序数组 (a，b，c)唯一对应。 z R(0,0,c) M(a,b,c) y o Q(0,b,0) x P(a,0,0)

2. 空间中点与三元有序数组的关系（续） 设(a,b,c)为任意一个三元有序数组，在坐标轴上分别取P,Q,R使OP=a,OQ=b, OR=c,再过P,Q,R作分别垂直于三坐标轴的平面，则此三平面相交于一点M。即三元有序数组 (a,b,c)唯一地确定了空间的一个点M。 z R(0,0,c) M(a,b,c) y o Q(0,b,0) P(a,0,0) 由此： x 空间任意点M 一一对应 (a,b,c) 点M的坐标 M(a,b,c)

三、空间任意两点间的距离

三、曲面与方程 z S • M(x,y,z) y o x

z (0,0,1) y (0,1,0) x (1,0,0) z y o x 四、几个常见的曲面与方程 1. 平面方程例如

z z y y o o x x (0,3,0)

z y x 2.球面方程

z y o x • R 3. 圆柱面特别地

圆五、一般的几个曲面与方程 1. 柱面 ① 圆柱面：椭圆 ② 椭圆柱面： ③ 双曲柱面：

③ 抛物柱面： 2. 椭圆（球）面特别的：

椭圆 3. 双曲面 ① 单叶双曲面：特别的：圆

椭圆 ② 双叶双曲面：圆特别的：

写出下列各平面的方程并作图： ①过点(3,0,0),垂直于x轴 ; ②过点(0,-2,0),平行于zx平面 ; ③过点 ,平行于xy平面 . 写出下列各直线的方程并作图： ①过点(3,0,0),平行于z轴 ; ②过点(-1,2,0),垂直于xy平面 ; ③过点 ,平行于y轴 . 课堂练习 1 在空间直角坐标系中描绘下列各点：A(-5,0,3), B(2,3,1), C(2,-2,-3), D(-2,-2,-3) 2 指出下列各方程所代表的图形并作图： ①x=3; ②y=-1; ③z=2; ④x=2,y=2; ⑤y=2,z=-1; ⑥x=-2,z=3. 3 4 返回

§8.2 多元函数的概念 一、多元函数的定义

一、多元函数的定义（续）

二、二元函数的定义域 【几个概念】 1平面区域：可以是整个 xy 平面或者是 xy 平面上由几条曲线所围成的部分。 2区域的边界：围成平面区域的曲线. 3闭区域：包括边界在内的区域. 4开区域：不包括边界的区域. 5半开区域：包括部分边界的区域. 6无界区域：区域延伸到无穷远处的区域.

y x o 7有界区域：区域总是可以包含在以原点为中心的一个圆内。 8平面点集：平面上满足某个条件 P 的一切点构成的集合。【例如】平面上以原点为中心，以1为半径的圆的内部就是一个平面点集。可以表示为：

10内点：设有点集 E 和属于 E 的一点 ，如果有的一个邻域，且此邻域内的点都属于 E ，则称为点集E 的内点。 • 9邻域：

11外点：设有点集 E 和不属于 E 的一点 , 如果有的一个邻域，且此邻域内的点都不属于 E ，则称为点集E 的外点。 • 12界点：设有点集 E 和一点 , 可属于 E，也可以不属于 E ，如果的任何一个邻域内既有属于 E的点又有不属于E的点，则称为点集E 的界点。 •

y x 【典型实例】解：如图

y x 【典型实例】解：如图 R

y 4 x 5 【典型实例】解：如图

y x 1 3 【典型实例】解：如图

y x 1 2 【典型实例】解：

【典型实例】 解：

z=f(x,y) z y P(x,y,z) y x x M(x,y) 三、二元函数的几何意义一元函数y= f (x)通常表示 xy平面上的一条曲线。二元函数z= f ( x , y )，(x ，y）∈D，通常表示空间的曲面。返回

§8.3二元函数的极限与连续 1二元函数的极限

【例题1】 证明

【例题2】 证明

【例题3】 解【例题4】解

【注意】 在求极限过程中，不能随便交换极限的次序否则可能要造成错误。【例题5】故

2二元连续函数的概念 注：函数f(x,y)在区域D内连续：函数f(x,y)在平面区域D内的每一点都连续。

3二元连续函数在有界闭区域上的性质 最大最小值定理：若函数 f (x,y) 在有界闭区域 D上连续，则它在 D上一定能取得最大值和最小值。中间值定理：若函数 f (x,y) 在有界闭区域 D上连续，且它取到两个不同的函数值，则它一定能取到这两个函数值之间的一切值。有界性定理：若函数 f (x,y) 在有界闭区域 D上连续，则它必在 D 上有界。

课堂练习 1 求下列函数的定义域解答解答解答解答解答

课堂练习 2 求下列函数的极限解答解答解答返回

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§8.4 偏导数 函数的改变量：

偏导数的定义

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