第三章关系

第三章关系 3.5 等价关系等价关系：广义的相等关系把某个方面相同的对象看作是相同的按上述原则把对象分类（等价类），每类中的任意一个对象均可以代表整个类例：人群按年龄划分整数按同余（mod m）分类

3.5.1 等价关系 • 定义1 等价关系自反、对称、传递的关系 a与b关于R等价a R b • 例 1设R是英语字母串的集合上的关系，并且aRb，当且仅当l(a)=l(b)，其中l(x)是串x的长度。R是等价关系吗？解:因为l(a)=l(b),从而只要a是一个串，就有aRb，故R是自反的。其次，假设aRb，即l(a)=l(b)，那么有bRa，因为l(b)=l(a)。因此R是对称的。最后，假设aRb和bRc，那么有l(a)=l(b)和l(b)=l(c)。因此，l(a)=l(c)，即aRc。从而R是传递的。由于R是自反的、对称的和传递的，R是等价关系。

例 2设R是实数集上的关系，并且aRb，当且仅当a-b是整数。R是等价关系吗？解：因为对所有的实数a，a-a=0是整数，即对所有的实数有aRa，因此R是自反的。现在假设aRb，那么a-b是整数，所以b-a也是整数。因此有bRa。R是对称的。如果aRb和bRc，那么a-b和b-c是整数，所以a-c=(a-b)+(b-c)也是整数。因此aRc。于是，R是传递的。综合上述，R是等价关系。 • 例 3 模m 同余。设m 是大于1 的正整数。证明关系 R=｛(a,b)|a≡b(mod m)｝是整数集上的等价关系。解： a≡b(mod m)，当且仅当m 整除 a-b。注意a-a=0被m整除，因为0=0*m。因此a≡a(mod m)，从而模m同余关系是自反的。现在假设a≡b(mod m)，那么a-b被m整除，即a-b=km，其中k是整数。从而b-a=(-k)m，即b≡a(mod m)。因此模m同余关系是对称的。下面假设a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，那么m整除a-b和b-c。因此，存在整数k和l 使得a-b=km和b-c=lm。把这两个等式加起来得a-c=(a-b)+(b-c)=km+lm=(k+l)m。于是，a≡c(mod m)。从而，模m同余关系是传递的。综合上述，模m同余关系是等价关系。

3.5.2 等价类 • 例：人群按年龄划分整数按同余（mod m）分类 • 定义1 等价类a的等价类[a]R={x︱x R a}，a是[a]R的代表元 • 例 4对于模4同余关系，0和1的等价类是什么？解： 0的等价类包含使得a  0 (mod 4)的所有整数a。这个类中的整数是被4整除的那些整数。因此，对于这个关系0的等价类是 [0]={…,-8,-4,0,4,8…} 1的等价类包含使得a  1 (mod 4)的所有整数a。这个类中的整数是当被4除时余数为1的那些整数。因此，对于这个关系1的等价类是 [1]={…,-7,-3,1,5,9,…}

问题： (1)不同的等价类是否有公共元素？ (2)若[x]R=[a]R，那么同一个等价类就有多个代表元 • 定理1 下列3个命题等价 (1)a R b (2)[a]R=[b]R (3)[a]R∩[b]R≠ 证明：首先证明(1)推出(2)。假设aRb，我们将通过[a]R [b]R 和[b]R [a]R 来证明[a]R=[b]R 。假设c[a]R ,那么aRc。因为aRb和R的对称性，有bRa。又由于R是传递的，以及bRa和aRc，就得到bRc，因而有c[b]R .这就证明了[a]R [b]R 。类似地可证明[b]R [a]R，证明留给读者作为练习。其次，我们将证明(2)推出（3）。假设[a]R=[b]R。这就证明了[a]R∩[b]R≠，因为[a]R是非空的（由于R的自反性，a[a]R）。（接下页）

（接上页证明） 下面证明(3)推出(1)。假设[a]R∩[b]R≠。那么存在元素c满足c[a]R和c[b]R，换句话说，aRc和bRc。有对称性有cRb，再根据传递性，就有aRb。因为(1)推出(2)，(2)推出(3)，(3)推出(1)，所以这三个问题是等价的。 • 结论： (1)等价类中的元素都等价，与等价类中的元素等价的元素都在等价类中，不与等价类中的元素等价的元素都不在等价类中 (2)对同一个等价类中的任意两个元素a, b，[a]R=[b]R (3)等价类要么完全，要么不交

3.5.3 划分 • 定义1 划分集合A的划分是A的非空子集组成的集合族，且集合族中的子集两两不交，其并恰为A。 ={Y∣YA}，且 (1)Y，Y (2)Y, Z，YZ Y∩Z= (3)∪= A 划分块：中的元素图3-5 集合的划分

例 5假设S={1,2,3,4,5,6}，一族集合A1={1，2，3 }, A2={4, 5} 和A3={6} 构成S的一个划分，因为这些集合是不相交的，且他们的并是S。 • 定义1 商集R是X上的等价关系，R的等价类组成的集合族，X/R。 X/R={[x]R∣xX} • 例：人群中的年龄相同关系整数集上的同余关系

定理2 商集是划分 R是X上的等价关系，X/R是X的一个划分R 证明：我们知道R的所有等价类的并集就是X的全部，因为X的每个元素x都在它自己的等价类即[x] R中。这也就是说， ∪[x] R =X (x∈X) 又由定理1，这些等价类或是相等或是不相交，因此当x≠y时， [x]∩[y]=Ф 这就说明了这些等价类将X分成不相交的子集，所以等价类构成X的划分。又因为商集是R的等价类组成的集合族，所以商集是划分。

定理3 是X的划分，R={(x, y) ∣x,yX，且x和y在的同一块中} 是等价关系证明：要证明等价关系，必须证明是自反的、对称的、传递的。 (1)对于每一个x∈X，有(x,x)∈R，因为x与它自己是在的同一块中的。因此是自反的。 (2)若(x,y)∈R，即x和y在的同一块中，也就是说y和x在的同一块中，所以(y,x)∈R。因此是对称的。 (3)若(x,y)∈R，(y,z)∈R，即x和y在的同一块中，且y和z在的同一块中，那么x和z也在的同一块中，即(x,z)∈R，所以是传递的。 R是自反的、对称的、传递的，所以是等价关系。

RR  R • 等价关系和划分本质上描述了同一个事物，是这个事物的两个不同的方面 • 例设A={1，2，3}，求出A上的所有等价关系。先求所有的划分，再从划分求对应的等价关系。只有1个划分块的划分有一个、具有两个划分块的划分有三个、具有3个划分块的划分有一个（接下页）

习题 1.下面是所有人集合上的关系，其中哪些是等价关系？确定一个等价关系中为其他等价关系中所缺少的性质。 a) {(a,b)|a与b有相同的年龄} b) {(a,b)|a与b有相同的父母} c) {(a,b)|a与b有一个相同的父亲或一个相同的母亲} d) {(a,b)|a与b相识} e) {(a,b)|a与b说同一种语言} 2.设R是正整数的有序对集合上的关系((a,b),(c,d))R，当且仅当ad=bc。证明R是等价关系。 3. a) 对于上面的等价关系，（1,2）的等价类是什么？ b) 对于上面的等价关系，解释等价类的含义。

4.下面哪些子集族是整数集合的划分？ a)偶数集于奇数集合。 b)正整数集合与负数集合。 c)被3整除的整数集合，当被3除时余数为1的整数集合，当被3除时余数为2的整数集合。 d)小于-100的整数集合，绝对值不超过100的整数集合，大于100的整数集合。 e)不能被3整除的整数集合，偶数集合，当被6除时余数为3的整数集合。 5.假设R1和R2是集合S上的等价关系。确定下面R1与R2的每个组合是否一定为等价关系。 a)R1R2 b)R1R2

第三章 关系