Management Educational Performant

1. Management Educational Performant Schimbarea de variabila Propunator : FLORESCU NICOLAE G.S.I.A. Fetesti

2. ManagementEducational Performant 1.Echivalenta metodelor de schimbare de variabila 2.Prima metoda de schimbare de variabila 3.A doua metoda de schimbare de variabila 4.Schimbarea de variabila – varianta 1 5.Exemplu (vqrianta 1) 6.Schimbarea de variabila – varianta 2 7.Exemplu (varianta 2) 8.Schimbarea de variabila – varianta 3 9.Exemplu (varianta 3) 10.Test 11.Bibliografie Cuprins

3. Management Educational Performant Denumirile de prima formula de schimbare de variabila si a doua formula de schimbare de variabila sunt pur conventionale , deoarece avem o singura formula de schimbare de variabila si mai multe variante de aplicare a ei. a doua metoda de scimbare de variabila Prima metoda de schimbare de variabila

4. ManagementEducational Performant Prima metoda de schimbare de variabila • Fie a<b din R I R interval si u: [a,b]→ I f:I→R doua functii cu proprietatile : • U este derivabila pe [a,b] • U' este continua pe [a,b] • f e continua pe I. • Atunci Universitatea Pitesti seria 2010 Teorema

5. Management Educational Performant A doua metoda de schimbare de variabila Fie a<b si c<d din R , si u: [a,b]→[c,d], f: [c,d] →R doua functii cu proprietatile • f este continua pe [c,d] • U este bijectiva • U , u-1 sunt derivabile pe [a,b] ,respectiv [c,d] si Cu derivate continue . Atunci Teorema .

6. Management Educational Performant Schimbarea de variabila- varianta 1 • Avem de calculat I= . • Atunci: • Punem in evidenta, in expresia functiei f, o functie u:[a,b]→[c,d] derivabilacu derivata continua si o functie continua g:[c,d] →R astfel incat f(x)=g(u(x))u′(x), oricare ar fi x [a,b]. • 2) Pentru u(x)=t si u′(x)dx=dt obtinem I= Universitatea Pitesti,seria 2010

7. Management Educational Performant Exemplu(varianta 1) Pentru I= fie u:[1,5]→[1,3], u(x)=2x-1 derivabila si cu derivata continua si g:[1,3]→R , g(t)= . Cum u′(x)=2 avem ca f(x)= = =1/2 ·g(u(x))·u′(x) ,si deci I= Universitatea Pitesti,seria 2010

8. Management Educational Performant Schimbarea de variabila- varianta 2 • Avem de calculat I= . • Atunci: • Punem in evidenta un interval[c,d] , o functie u:[c,d]→[a,b] derivabila cu derivata u' continua pe [c,d] si u(c)=a,u(d)=b • 2) Pentru x=u(t) si u′(t)dt=dx obtinem I= Universitatea Pitesti,seria 2010

9. Management Educational Performant Exemplu varianta 2 Pentru I= fie u:[1,3]→[1,5], u(t)= derivabila , cu derivata continua si a.i. u(1)=1 si u(3)=5. Pentru x= u(t) si dx= u′(t)dt obtinem I=f(u(t))· u′(t)dt =

10. Management Educational Performant Schimbarea de variabila- varianta 3 • Avem de calculat I= . • Atunci: • Punem in evidenta, in expresia functiei f, o functie bijectiva u:[a,b]→[c,d] astfel incat u si inversa sq sunt derivabile si cu derivate continue si o functie continua g:[c,d] →R astfel incat f(x)=g(u(x)), oricare ar fi x € [a,b]. • 2) Pentru u(x)=t ,(u)′(t)dt=dx obtinem I=

11. Management Educational Performant Exemplu(varianta 3) Pentru I= fie u:[1,5]→[1,3] u(x)= bijectiva, derivabila , cu derivata continua si o functie g:[1,3]→R continua astfel incat f(x)=g(u(x)). Pentru t= u(x) si dt= u′(x)dx obtinem I= g(t)· (u)′(t)dt = t·tdt=

12. Management Educational Performant Test Calculati,folosind metoda schimbarii de variabila integralele:

13. Management Educational Performant Bibliografie • Dorel Duca,Emilia Copaciu,Gheorghe Lobont : Analiza matematica clasele XI-XII ,Editura Studia Cluj-Napoca,2010 • Gh.Siretchi:Clacul diferential si integral,Vol 1,Notiuni fundamentale,,EDP Bucuresti ,1985