Vektorid

1. Vektorid

2. Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed (neid iseloomustab kindel arv) vektoriaalsed (neid iseloomustab lisaks arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) Vektorid pikkus vanus mass kiirus kiirendus jõud

3. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: Vektori pikkust märgitakse sümboliga või a. Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust.

4. Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt B(x2; y2; z2), siis vektori koordinaatide leidmiseks lahutame lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. Näide Leida vektori koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus Vektori koordinaadid

5. Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist kus X ,Y ja Z on vektori koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori pikkuse. Lahendus Vektori pikkus

6. Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse • kolmnurgareeglit • rööpkülikureeglit • hulknurgareeglit

7. Kahe vektori ja summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori ning siis selle lõpp-punktist B vektori . Ühendades punktid A ja C, saame vektori Kolmnurgareegel B C A

8. Kui joonestame liidetavad vektorid ja ühisest alguspunktist A, siis neile vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaalvektor alguspunktiga A on vektorite ja summa. Rööpkülikureegel A

9. Mitme vektori summa leidmiseks joonestame mingist punktist A ühe liidetava; selle lõpp-punktist teise liidetava; viimase lõpp-punktist kolmanda jne. Nende vektorite summaks on siis punktist A viimase liidetava lõpp-punkti B suunduv vektor Hulknurgareegel A B

10. Vektorite lahutamine Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist.

11. Vektori ja positiivese arvu k korrutiseks on vektoriga samasuunaline vektor, mille pikkus on Vektori ja negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse vektori vastandvektorit Vektori korrutamine arvuga

12. Olgu antud vektorid siis Näide Olgu antud siis Tehted vektoritega koordinaatides

13. Kahe vektori skalaar- korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. kus  on vektorite vaheline nurk. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist Vektorite skalaarkorrutis Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar-korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti.

14. Leiame kõigepealt vektorid ja Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. nende vektorite pikkused on vastavalt

15. Vektorite ja skalaarkorrutis avaldub Vektorite skalaarkorrutis Ja seega ning

16. Vektorite ja kollineaarsust tähistatakse sümboliga Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui siis Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine.

17. Näide1 Vektorid on kollineaarsed, sest Näide2 Vektorid ei ole kollineaarsed, sest Kollineaarsed vektorid

18. Kollineaarsed vektorid Näide3 Vektorid on kollineaarsed, sest ja seega need vektorid asuvad paralleelsetel siregetel.