第 5 章直流电阻性电路的分析与计算

第5章直流电阻性电路的分析与计算 • 5.1电阻的串联、并联和混联 • 5.2电阻的Y形连接与Δ 连接的等效互换 • 5.3支路电流法 • 5.4回路电流法 • 5.5节点电压法 • 5.6叠加定理 • 5.7戴维南定理 • ＊5.8受控源与含受控源电路的简介 • 本章小结

5.1 电阻的串联、并联和混联 在实际电路中，电阻的联接方式多种多样，最常用的是电阻的串联，并联和串并联组合(又称为混联)。一个电路不论它的联接有多复杂，只要能用电阻的串联各并联的方法将其化简为单回路的电路称为简单电路。反之，如果不能化简为单回路的电路称为复杂电路。下面就分别介绍电阻的串联和关联及其性质。

5.1.1 电阻的串联及其分压 右图给出电阻R1,R2和R3相串联的电路，a，b两端外加电压U，各电阻上流过同一电流I，其参考方向如图所示。根据KVL，可列出式中R称为串联等效电阻又叫串联电阻的总电阻。 R=R1＋R2+R3 其一般形式为: 可见电阻串联时其等效电阻等于各个电阻之和。

电阻串联时，各电阻上电压为： 其一般式为：可见，电阻串联时，各电阻上分得电压大小与其电阻值成正比。上式说明各电阻上的电压是接电阻的大小进行分配的。所以上式称为电压分配分压公式。

5.1.2 电阻的并联及其分流 右图中给出电阻R1、R2和R3相并联的电路。a，b两端外加电压为U，总电流为I，各支路电流分别为I1、I2和I3，其参考方向如图所示。根据KCL得：式中R为并联等效电阻或并联电阻的总电阻。

或 G=G1+G2+G3 其一般形式：可见几个电阻并联时，其等效电导等于各个电导之和。根据电导与电阻关系对于两个电阻的并联，其等效电阻为两个电阻并联时，通过各个电阻的电流为

故上式说明电阻并联电路中各支路电流反比于该支路的电阻，所以上式又叫做电阻并联电路的分流公式。在实际中，电阻并联是很常用的。例如各种负载(电灯，电炉，电烙铁等)都是并联在电网上的。另外，万用表中测量电流时，为了扩展量程，也是应用电阻并联分流的原理来实现的。

5.1.3 电阻的串并混联 既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路。一般情况下，电阻混联电路，可以通过串，并联等效概念逐步化简，最后化为一个等效电阻。在求解电阻混联电路时，有时电路的联接关系看起来不十分清楚，这时就需要将原电路改画成串并联关系十分清楚的电路，应该注意在改画过程中要保证电阻元件之间的联接关系不变，否则，电路就发生变化了，这就不是原来电路了。

【例】分别计算下图中开关打开与闭合时的等效电阻Rab。【例】分别计算下图中开关打开与闭合时的等效电阻Rab。由(b)图可知K闭合c与d为同一点，故等效电阻为：由(C)图可知K断开后，R1和R3串联，R2和R4串联，然后再并联，故等效电阻为：

D 5.2 电阻的Y形联接与形联接的等效互换在电路中，电阻的联接有时既不是串联也不是并联。如下图中，R1、R2和R3及R1、R2和R3这两组电阻的联接就不能用串并联来等效。我们把电阻R1、R2和R3的联接方式叫做Y形联接或星形联接，这三个电阻的一端接在同一点(C点)，另一端分别接到三个不同的端钮上(a，b，c)。把图中R1、R2和R3的联接方式叫作Δ形联接或三角形联接，这三个电阻中每个电阻分别接在三个端钮(a，c，d)的每两个之间。

当电路中出现电阻的Y形联接Δ或形联接时，就不能用简单的串并联来等效。而我们发现如果把图(a)中按星形联接的R1、R2和R3这三个电阻等效变换成按三角形联接Ra、Rb和Rc时，见图(b)，则端钮a、b之间的等效电阻就可以用串联、并联公式求得。同样若把图(a)中R1、R2和R4等效变换成图(c)中Ra′、Rc′和Rb′，那么a、b间的等效电阻Rab也就不难求出了。当电路中出现电阻的Y形联接Δ或形联接时，就不能用简单的串并联来等效。而我们发现如果把图(a)中按星形联接的R1、R2和R3这三个电阻等效变换成按三角形联接Ra、Rb和Rc时，见图(b)，则端钮a、b之间的等效电阻就可以用串联、并联公式求得。同样若把图(a)中R1、R2和R4等效变换成图(c)中Ra′、Rc′和Rb′，那么a、b间的等效电阻Rab也就不难求出了。

在图 (a)中我们发现星形联接的电阻和三角形联接的电阻都是通过三个端钮与外部电路相联。它们之间的等效互换仍然是依据外部等效原理，即当它们对应端钮间的电压相同时，流入对应端钮的电流也必须分别相等。现以上图为例，来讨论电阻星形联接与三角形联接的等效互换。已知电阻三角形联接等效互换为星形联接时，其等效变换公式为：

若把电阻星形联接等效互换为电阻的三角形联接，对应各电阻的关系式为 ：用电导来表示为：

【例】对下图所示桥式电路，求1、2两端的等效电阻R12。【例】对下图所示桥式电路，求1、2两端的等效电阻R12。解 (1)将Δ形网络134用等效Y网络代替得： (2)另一种方法是Y网络用等效Δ网络替代。然后用串并联方法可得利用电阻串并联公式化简可得

5.3 支路电流法 当组成电路的电阻元件不能用简单的串并联方法计算其等效电阻时，这种电路称为复杂电路，如下图所示电路。求解这类电路中各电阻上电流时，用欧姆定律就不能解决问题了，必须用电源等效变换来化简电路，从而求出各电阻上电流，但是很不方便，尤其对结构较复杂的电路。在计算复杂电路的各种方法中，支路电流法是最基本，最直观的方法。所谓支路电流法是以支路电流为未知量，根据KCL和KVL列出独立的支路电流方程和独立的回路电压方程，然后联立求解方程的分析方法，从而求解出各支路电流。现以下图为例介绍用支路电流法求解电路的基本步骤。图中电压源US1、US2和电阻均R1、R2、R3为已知，求各支路电流。

1、设各支路电流为 I1、I2、I3，参考方向如图所示。该电路有三条支路，二个节点。 2、根据KCL列出节点a和b的电流方程。上两式中只是各量正负相反，显然只有一个方程是独立的。一般说来，对具有n个节点的电路应用KCL列方程式时，只能得出(n-1)个独立方程。 3、上图电路中有三个回路，根据KVL列出回路电压方程。其回路绕行方向示于图中。三个回路方程中，任何一个方程都可以从其它两个方程导出。所以三个方程中只有两个是独立的。

一般在平面电路内可选网孔作为回路，列网孔方程，保证了方程的独立性。或选取独立回路列方程，所谓独立回路是指每次所选回路中至少有一条新支路(即该支路在已选取的回路里未出现过)，这样的回路列出的方程是独立的。但是应该注意电路的网孔个数和独立回路的个数相等，独立回路却不一定是网孔，而网孔却是独立回路。一般在平面电路内可选网孔作为回路，列网孔方程，保证了方程的独立性。或选取独立回路列方程，所谓独立回路是指每次所选回路中至少有一条新支路(即该支路在已选取的回路里未出现过)，这样的回路列出的方程是独立的。但是应该注意电路的网孔个数和独立回路的个数相等，独立回路却不一定是网孔，而网孔却是独立回路。一个电路如果有n个节点，b条支路，那么网孔(或独立回路)数为m=b-(n-1)个。把独立节点电流方程与独立回路的电压方程联立起来，如下式，三个未知量，三个方程刚好求解出支路电流。从以上的讨论中看出，对复杂电路来说，参考方向尤为重要。支路电流法首先要选定支路电流及参考方向，其次根据KCL与KVL列出独立的方程，然后求解出支路电流。

【例】如图所示电路，用支路电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。【例】如图所示电路，用支路电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。解：设各支路电流为I1、I2、I3，参考方向如图所示，电流源端电压为U参考方向如图所示。根据KCL和KVL列出下述方程。节点1 I1+I2-I3=0 联立求解方程回路1 I1R1+I3R3=US -I2R2-I3R3+U=0 回路2 I2=IS 其中：解得I1=-0.4A，I3=1.6A，U =148V 注意：此题应注意根据KVL列回路2的方程时，要把电流源两端电压考虑进去。而电流源所在支路的支路电流大小就等于电流源的电流大小，方向相同，则I=IS，否则I=-IS。

5.4 回路电流法 支路电流法是应用KCL和KVL求解复杂电路的最基本方法，但是若电路中支路个数比较多，那么设立的支路电流也就较多，所列方程个数较多，解方程就会很繁琐。下面介绍另一种方法——回路电流法。回路电流法是以回路电流为未和量，根据KVL，列出独立回路的电压方程，然后联立求解的方法。因为电路的独立回路数比支路数少得多，根据KVL所列的方程个数比用支路电流法所列方程个数也将减少，因而可简化计算。现以下电路图为例介绍回路电流法的分析步骤。图中所有电压源的电压值与电阻元件的电阻值均为已知。

1、首先确定独立回路并设定回路电流的绕行方向。1、首先确定独立回路并设定回路电流的绕行方向。假设在每一个回路中有一个回路电流沿着回路的边界流动。如图所示是两个独立回路的回路电流。它们的绕行方向是任意选定的，习惯上选顺时针方向。 2、根据KVL列出以回路电流为未知量的电压方程。列方程时应注意以下几个方面： (1)当某一电阻上有几个回路电流流过时，该电阻上的电压必须写成几个回路电流与电阻乘积的代数和，其正负号按如下方式确定：自身回路电流与该电阻的乘积取正，相邻回路电流的方向与自身回路电流方向一致时乘积项取正，相反时取负。 (2)若回路中含有电压源，一般把写在等号右边，电压源US的电压方向与回路电流的绕行方向一致时US前取负号，反之，取正号。

按上述原则，列出上图回路1，回路2的电压方程为 ：电路中有几个独立回路，就要列几个回路电压方程。 3、两个未知量，两个方程，联立求解出Ia和Ib： 4、求解出回路电流后，再用回路电流表示各支路电流。此例中因为I1所在的支路只有回路电流Ia流过，且方向一致，所以I1=Ia，同理I2所在支路只有回路电流Ib流过，但方向相反所以I2=-Ib， I3所在支路中有两个回路电流Ia和Ib，根据流动方向I3=Ia-Ib。下面通过例题来说明：

【例】如图所示电路中，已知US1=12V，US2=7.5V，US3=1.5V，R1=0.1Ω，R2=0.2Ω，R3=0.1Ω，R4=2Ω，R5=6Ω，R6=10Ω。求各支路电流。【例】如图所示电路中，已知US1=12V，US2=7.5V，US3=1.5V，R1=0.1Ω，R2=0.2Ω，R3=0.1Ω，R4=2Ω，R5=6Ω，R6=10Ω。求各支路电流。解：本电路中支路数b=6，节点数n=4，独立回路数m=3。选定独立回路电流Ia，Ib，Ic的绕行方向如图所示。列回路方程如下：代入数据得解得选定各支路电流及参考方向如图所示，得作业： P81： 6、9

5.5节点电压法 节点电压法是以电路中的节点电压为未知量，根据KCL写出独立的节点电流方程，然后联立求解出节点电压的方法。这种方法对多支路两节点电路的计算尤为简便。所谓节点电压是指电路中任一节点到参考点之间的电压。所以分析电路之前，应首先选择一个节点为参考点（该节点电位为0），其余各节点到参考点的电压就是要求解的节点电压，有时又叫节点电位。一旦求出各节点电压，再利用欧姆定律和不闭合回路的KVL，就可求出各支路电流或电压。现以下图为例介绍节点电压法的分析方法。

图中IS1，US1及R1，R2，R3，R4，R5均为已知。 设以节点O为参考点，则节点1和节点2的节点电压分别为U10，U20。本书规定节点电压的参考极性均以参考点处为负极性。各支路电流的参考方向标在图上，根据KCL写出节点1：节点2：根据欧姆定律和不闭合电路KVL得：

将各支路电流代入节点方程并整理得： 或用电导表示电阻得: 由上两式可解得，将代入支路电流表达式中，就可以求出各支路电流了。上式的一般式为：式中G11=G1+G2+G3，G22=G3+G4+G5，分别叫做节点1、2的自导，分别为联到节点1、2的所有电导之和；G12=G21=-G3，代表节点1和节点2的互导，它们等于两节点间的公共电导之和并取负号。IS11、IS22分别表示汇集到节点1和节点2所有电流源的代数和，当电流源电流方向指向节点时，前面取正号，否则取负号。

一般3个以上节点的电路多采用回路电流法进行分析。一般3个以上节点的电路多采用回路电流法进行分析。节点电压法最适合两个节点的电路，通常把用来解由电压源和电阻组成的两个节点电路的节点电压法又叫做弥尔曼定理。对于两个节点电路的节点电压法一般式为：均为正值，但不包括与电流源串联支路的电导。上式中：　　　　　　　有正有负，其中流入节点的电流取正值，流出节点的电流取负值。

【例5.5】用节点法求下图所示电路中各支路电流。已知。【例5.5】用节点法求下图所示电路中各支路电流。已知。解：设O点为参考点，则节点电压为由欧姆定律及KVL得：作业：P8212，13

当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电流(或电压)等于每一个电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和，称作线性电路的叠加定理。当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电流(或电压)等于每一个电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和，称作线性电路的叠加定理。 5.6 叠加定理此定理可以从回路电流方程或节点电压方程导出，在应用该定理时应注意，所谓每一个电源单独作用，是指其余电源不作用，或者说其余电源的电压值或电流值为零，将不作用的理想电压源短路，不作用的理想电流源开路，其它元件保持原来位置不变。下面通过例题来说明：

【例5.6】下图(a)所示电路中，有电压源和电流源共同作用。试用叠加定理求各支路电流。已知【例5.6】下图(a)所示电路中，有电压源和电流源共同作用。试用叠加定理求各支路电流。已知解　(1) 首先将原电路分解成每一个电源单独作用时的电路模型。按每一个电源单独作用时的电路模型求出每条支路的电流或电压。由图 (b)求出电压源单独作用时各支路电流。由图(c)求出电流源单独作用时各支路电流。 (2) 各电源单独作用时电流或电压的代数和就是各支路的电流或电压值

使用叠加定理时，应注意以下几点： (1) 该定理只能用来计算线性电路的电流和电压，对非线性电路不适用。 (2) 注意电压源不作用时要短路，电流源不作用时要开路。 (3) 叠加时要注意电流和电压的参考方向，凡分解的电路模型中电流和电压的参考方向与原电路中参考方向相同的叠加时前面取正号，否则前面取负号。 (4) 该定理不能用来计算功率。因为电功率与电压或电流是平方关系而不是线性关系。下面用实验进行验证：作业：P83 15

在电路分析中，有时并不需要求出所有支路的电流，而只需知道某一支路上的电流和电压。这时若采用节点电压法和回路电流法都比较繁琐，如果用戴维南定理和诺顿定理就简单多了。在电路分析中，有时并不需要求出所有支路的电流，而只需知道某一支路上的电流和电压。这时若采用节点电压法和回路电流法都比较繁琐，如果用戴维南定理和诺顿定理就简单多了。 5.7 戴维南定理 5.7.1 二端网络如果网络具有两个引出端钮与其它电路联接，不管其内部结构如何都叫做二端网络。又叫做一端口网络。如果二端网络中，其内部含有电源的称为有源二端网络，用符号NA表示。其内部不含电源的称为无源二端网络，一般用符号NP表示。下面几个图均为二端网络。

5.7.2 戴维南定理 任何一个线性有源二端电阻性网络都可以用一个理想电压源与电阻串联的支路代替，这就是戴维南定理。戴维南定理指出任何一个线性有源二端电阻网络，其对外电路的作用总可以用一个理想电压源与电阻相串联的支路代替。其中理想电压源的电压等于有源二端网络开路时的电压，其电阻等于把该网络内各理想电压源短路，各理想电流源开路后所对应无源二端网络的等效电阻。【例】用戴维南定理求下图所示电路中流过R2的电流I2。解此题若将R2断开，则其余部分是一有源二端网络(端钮为a，b)，但不易看出电路结构。如将C点也断开，则左右两边各为一个有源二端网络ac和bc(图(b))。对有源二端网络ac，可求得：对有源二端网络bc，流过的电流即IS4为，则： bc端等效电阻为：整个电路等效为图(c) 故：作业： P83 19、22

在实际当中我们经常接触到的干电池，稳压电源及交流发电机等电源都是独立电源，即它们的电压是一固定值或是一固定的时间函数。不受其它电流或电压的控制。在电路分析中，除上述独立电源外还会遇到另一类电源，它们的电压或电流大小受电路中其他部分的电压或电流控制，我们把这类电源称为受控源。在实际当中我们经常接触到的干电池，稳压电源及交流发电机等电源都是独立电源，即它们的电压是一固定值或是一固定的时间函数。不受其它电流或电压的控制。在电路分析中，除上述独立电源外还会遇到另一类电源，它们的电压或电流大小受电路中其他部分的电压或电流控制，我们把这类电源称为受控源。 *5.8 受控源与含受控源电路的分析简介独立电源与受控源均作为一个器件在电路中存在，但它们在电路中的作用是不同。独立电源为电路提供输入量，反映了外界对电路的作用。受控源是用来表示电路的某一器件中所发生的物理现象的一个模型。它反映了电路中某处的电压或电流控制另一处电压或电流的关系。根据控制量和受控量的不同，人们将受控源分为四种类型，即：电压控制电压源(VCVS)，电流控制电压源(CCVS)，电压控制电流源(VCCS)和电流控制电流源(CCCS)。

本章小结 2．支路电流法以电路的支路电流为未知量，应用KCL列出个独立节点方程，应用KVL列出m个[m=b-(n-1)]独立回路方程，联立求解各支路电流的方法称为支路电流法. 3．回路电流法以假想的回路电流为未知量，根据KVL列出独立回路的回路方程，然后联立求解出回路电流。当电路中有电流源时，选择合适的回路，可以使计算变简单. 4．节点电压法三节点的电路某节点方程一般式为：二节点的电路其节点方程一般式为： 1．电阻串联，并联和混联掌握电阻串联和并联的特点，会熟练计算其等效电阻。牢记电阻串联电路的分压公式。熟练掌握两个电阻并联的分流公式及等效电阻的计算公式。 5．叠加定理当线性电路中有几个独立电源共同作用时，各支路的电流(或电压)等于各个电源单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和。一般电路计算不常用叠加定理，但非正弦交流电路的计算必须用叠加定理，另外一些定理的证明过程常用到叠加定理。 6．戴维南定理任何线性有源二端电阻网络，无论怎样复杂，对外部而言，总可看作是一电阻与电压源串联的支路。 7．受控源受控源实际上是一种电路模型。其电压或电流受电路中其它部分的电压或电流控制。有时又叫非独立源。

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