Розв`язування трикутників

Розв`язування трикутників

Синус, косинус, тангенс деяких кутів

Синусом гострого кута • прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи А c b С В a

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи А c b С В a

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого А c b С В a

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до • протилежного А c b С В a

Значення sin, cos, tg деяких кутів

Таблиця значень sinα, cos α, tg α, ctg α для кутів 30°, 45°, 60°

Висновок Для будь – якого кута 0°≤α≤ 180°

Тригонометричні тотожності

Тригонометричні тотожності А С В

Основна тригонометрична тотожність Наслідок:

А С В Знайдемо відношення синуса кута А до косинуса цього кута

В С А Знайдемо відношення косинуса кута А до синуса цього кута

Тригонометричні тотожності

В 90-α С α А Формули зведення Для будь – якого гострого кута α sin (90°- α)=cos α cos (90°- α)=sin α

Наслідок з формул зведення Для будь – якого гострого кута α

Формули зведення Для будь – якого гострого кута α

Розв`язування вправ Знайдіть: Використаємо формули:

Теорема косинусів

Теоремакосинусів Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. a2=b2+c2-2bc cosα b2=a2+c2-2ac cosβ c2=a2+b2-2ab cosγ

формулакосинусабудь-якогокутатрикутникаформулакосинусабудь-якогокутатрикутника Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

Наслідки з теореми косинусів • Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2< b2+c2, то найбільший А – гострий і ∆ - гострокутний. • Якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2= b2+c2, то найбільший А – прямий і ∆ - прямокутний. • Якщо квадрат найбільшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник тупокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2> b2+c2, то найбільший А – тупий і ∆ - тупокутний.

ТеоремапродіагоналіпаралелограмаТеоремапродіагоналіпаралелограма В С D А Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох суміжних його сторін. d₂ а d ₁ b

Теорема синусів

B  c a γ  b А C Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Теорема синусів

Наслідки з теореми синусів Наслідок 1.У будь-якому  відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього . Увага!а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

Наслідки з теореми синусів Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.

M C N K Наслідки з теореми синусів Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута  ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін. KC– бісектриса, тоді

Розв`язування трикутників

Розв’язуваннятрикутників Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути. Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види: 1. за відомими стороною і двома кутами. 2. за відомими двома сторонами і кутом між ними. 3. за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них. 4. за відомими трьома сторонами.

Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами План розв’язання: - Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. - Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника. 1

Розв`язування трикутників

Розв`язування трикутників

Presentation Transcript