slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Розв`язування трикутників

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 87

Розв`язування трикутників - PowerPoint PPT Presentation


  • 237 Views
  • Uploaded on

Розв`язування трикутників. Синус, косинус, тангенс деяких кутів. Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи. А. c. b. С. В. a.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Розв`язування трикутників' - conan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2

Синус, косинус,

тангенс

деяких кутів

slide3

Синусом гострого кута

  • прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи

А

c

b

С

В

a

slide4

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи

А

c

b

С

В

a

slide5

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого

А

c

b

С

В

a

slide6

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до

  • протилежного

А

c

b

С

В

a

slide13

Значення sin, cos, tg

деяких кутів

slide14

Таблиця значень

sinα, cos α, tg α, ctg α

для кутів 30°, 45°, 60°

slide15

Таблиця значень

sinα, cos α, tg α, ctg α

для кутів 0°, 90°, 180°

slide16

Висновок

Для будь – якого кута 0°≤α≤ 180°

slide17

Тригонометричні

тотожності

slide19

Основна тригонометрична тотожність

Наслідок:

slide20

А

С

В

Знайдемо відношення синуса кута А до косинуса цього кута

slide21

В

С

А

Знайдемо відношення косинуса кута А до синуса цього кута

slide24

В

90-α

С

α

А

Формули зведення

Для будь – якого гострого кута α

sin (90°- α)=cos α

cos (90°- α)=sin α

slide25

Наслідок з формул зведення

Для будь – якого гострого кута α

slide26

Формули зведення

Для будь – якого гострого кута α

slide27

Формули зведення

Для будь – якого гострого кута α

slide28

Таблиця значень

sinα, cos α, tg α, ctg α

для кутів 120°, 135°, 150°

slide29

Розв`язування вправ

Знайдіть:

Використаємо формули:

slide30

Розв`язування вправ

Знайдіть:

Використаємо формули:

slide31

Розв`язування вправ

Знайдіть:

Використаємо формули:

slide33
Теоремакосинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

a2=b2+c2-2bc cosα

b2=a2+c2-2ac cosβ

c2=a2+b2-2ab cosγ

slide35
формулакосинусабудь-якогокутатрикутникаформулакосинусабудь-якогокутатрикутника

Косинус деякого кута трикутника дорівнює відношенню суми квадратів сторін, прилеглих до цього кута без квадрата протилежної йому сторони до подвоєного добутку прилеглих до кута сторін.

slide37

Наслідки з теореми косинусів

  • Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника менший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник гострокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2< b2+c2, то найбільший А – гострий і ∆ - гострокутний.
  • Якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2= b2+c2, то найбільший А – прямий і ∆ - прямокутний.
  • Якщо квадрат найбільшої сторони більший за суму квадратів двох інших сторін, то трикутник тупокутний. Тобто, якщо а – найбільша сторона й а2> b2+c2, то найбільший А – тупий і ∆ - тупокутний.
slide39
ТеоремапродіагоналіпаралелограмаТеоремапродіагоналіпаралелограма

В

С

D

А

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів двох

суміжних його сторін.

d₂

а

d ₁

b

slide41

B

c

a

γ

b

А

C

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Теорема синусів

slide43

Наслідки з теореми синусів

Наслідок 1.У будь-якому  відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього .

Увага!а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

slide44

Наслідки з теореми синусів

Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.

slide46

M

C

N

K

Наслідки з теореми синусів

Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута  ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

KC– бісектриса, тоді

slide47

Розв`язування

трикутників

slide48
Розв’язуваннятрикутників

Розв’язати трикутник — означає за відомими його сторонами і кутами знайти невідомі його сторони і кути.

Задачі на розв’язання трикутників поділяються на такі види:

1. за відомими стороною і двома кутами.

2. за відомими двома сторонами і кутом між ними.

3. за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них.

4. за відомими трьома сторонами.

slide49
Розв’язання трикутника за відомими стороною і двома кутами

План розв’язання:

-   Знаходимо третій кут трикутника, враховуючи, що сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

-   Записуємо теорему синусів для цього трикутника і, обираючи попарно співвідношення сторін і протилежних до них кутів, знаходимо дві інші сторони трикутника.

1

slide51
Приклад (за стороною і прилеглими до неї кутами)

A

?

?

?

C

B

a

Дано: ВС=а, В=, С=.

Знайти: АС, АВ, А.

Розв’язання

1. А=180°-(+),

2. За теоремою синусів

slide52
Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом між ними

План розв’язування:

-   За теоремою косинусів знаходимо третю сторону.

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо косинуси невідомих кутів трикутника, а по можливості і самі кути.

Зверніть увагу!

Це можна зробити і за допомогою теореми синусів.

2

slide54
Приклад (за двома сторонами і кутом між ними)

A

?

?

b

?

C

B

a

Дано: ВС=а, АС=b, С=.

Знайти: АВ, А, В.

Розв’язання

1.За теоремою косинусів

slide55
Розв’язання трикутника за відомими двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них

План розв’язування:

-   За теоремою синусів знаходимо кут, протилежний до другої відомої сторони.

При цьому зверніть увагу, що одному і тому ж

значенню синуса кута відповідають два кути —

гострий і тупий, суміжний із цим гострим кутом.

Враховуйте, що проти більшої сторони лежить

більший кут.

-   Знаходимо третій кут трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо третю сторону

трикутника.

Зверніть увагу!

Ця задача може мати два розв’язки.

3

slide57
Приклад (за двома сторонами і кутом, протилежним одній з них)

A

?

b

?

?

C

B

a

Дано: ВС=а, A=, AС=b.

Знайти: АB, C, B.

Розв’язання

1.За теоремою синусів

Увага! З рівності , як правило, знаходять два значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.

slide58
Розв’язання трикутника за відомими трьома сторонами

План розв’язування:

-   За наслідком із теореми косинусів знаходимо один із кутів трикутника.

-   За теоремою синусів знаходимо два інших кути трикутника.

4

slide60
Приклад(за трьома сторонами)

A

?

с

b

?

?

C

B

a

Дано: ВС=а, АВ=c, AС=b.

Знайти: А, B, C.

Розв’язання

1. За теоремою косинусів

Увага! З цієї рівності, як правило, знаходять два значення кута В, тому задача може мати два розв’язки.

slide61
Розв’язуваннязадач

Рівень А

Задача 1

Дві сторони трикутника дорівнюють 1 см і√2 см, а кут між ними 45°. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв’язання

Нехай АС=1см, АВ=√2 см, тоді ∠А= 45°

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС² = АВ ² + АС ² – 2 АВ ·АС cosА.

ВС ²=2+ 1 - √2·1· cos 45°=5

ВС= ± √5

-√5 (не задовольняє)

Отже, ВС=√5см

Відповідь: √5

С

1см

45°

А

В

√2 см

slide62
Розв’язуваннязадач

Задача 2

Знайди MΔМNК,якщоМN= 8 см, NK=7 см, MK=3 см.

Розв’язання

Використовуючи теорему косинусів маємо:

NK² = MN ²+ MK²– 2MN ·MK· cos M;

49 = 64+ 9 - 2 ·8 ·3cosM ;

48cos M=24;

cos M=24∕48 =1∕2, тоді ∠М=60°

Відповідь: 60°

N

7см

8см

К

М

3см

slide63
Розв’язуваннязадач

Рівень Б

Задача 3

Одна зі сторін паралелограма на 1 см довша за іншу, а діагоналі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайди сторони паралелограма.

Розв’язання

Нехай одна сторона дорівнює х см, тоді інша (х+1)см.

За властивістю діагоналей маємо: 72+112=2x2+2(x+1)2

49+121=2x2+2x2+4х+2

4x2+4х-168=0

x2+х-42=0 За теоремою Вієта x1=6, x2=-7

x=-7 – не задовольняє умови задачі,

тому х=6, х+1=7.

Отже, одна сторона - 6 см, а інша – 7см.

Відповідь:6 см, 7 см.

7см

11см

х

x+1

slide64
Розв’язуваннязадач

Рівень В

Задача( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка Dділить сторону ВС на відрізки ,то

Розв’язання

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для ΔADC іΔADB маємо:

А

с

в

С

В

а1

а2

D

slide65

Помноживширівність (1) на а₁, а рівність (2) на а₂і почленно додавши маємо:

Отже:

Що і треба було довести.

slide66

Розв`язування

прикладних задач

slide67
Розв’язуванняприкладнихзадач

Розв’язування прикладних задач ґрунтується на розв’язуванні трикутників.

Основні види задач :

1. Задачі на знаходження відстані до недоступного пункту.

2. Задачі на знаходження відстані між двома доступними пунктами, якщо безпосереднє вимірювання неможливе.

3. Задачі на знаходження висот предмета, основа якого недоступна.

slide68
Задача типу 1

Знайдіть відстань від точки А до недоступної точки В, якщо АС=50м, ∠САВ= 80°, ∠АСВ=72°.

slide69
Розв’язання:

Знайдемо спочатку кут В:

∠В=180°-(80°+72°)=28°.

Тоді за допомогою теореми синуса знаходимо відстань АВ:

Відповідь:≈48,3см

slide70
Задача типу 2

На будівництві залізниці потрібно на ділянці АВ прокласти тунель МN . Обчисліть довжину тунелю, якщо АВ=375м, СВ=400м, АМ=73м, NВ=146м.

slide71
Розв’язання:

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ² = АС²+СВ ²–2 АС ·СВ cosС

АВ² = 375²+ 400²–2·375 ·400 cos92°

cos92°= cos(90°+2°)=sin2°=0,349

АВ²=195925

АВ≈443м

MN≈443-(73+146)≈224(м)

Відповідь:≈224м

slide72
Задача типу 3

Знайти висоту вежі, яка відокремлена від вас річкою.

slide73
Розв’язання:

На горизонтальній прямій, яка проходить через основу вежі, позначимо дві точки С та С₁;СС₁=h

Виміряємо

За теоремою синусів, з трикутника АВС дістанемо:

Розглянемо ΔABD:

Запишемо ВК:

slide74

Практичне застосування теореми синусів

Завдання. Знайти відстань від пункту А до недоступного пункту С.(див. мал.)

Розв\'язання

На місцевості виберемо точку В так, щоб з неї було видно пункт С і можна було б виміряти відрізок АВ.

Потім виміряємо, наприклад, за допомогою астролябії кути А і В.

Нехай АВ=60 м, А=51, В=63. Знайдемо спочатку кут С.

С = 180 - (51 + 63) = 66.

Тоді за допомогою теореми синусів знаходимо відстань від А до недоступного пункту С.

Відповідь: 58,5 м

slide75

Площі

трикутника

та чотирикутника

slide76

Види многокутників

трикутник

трапеція

паралелограм

Довільний

чотирикутник

прямокутник

ромб

квадрат

slide83

b

a

r

r - радіус вписаного кола

c

a

b

R

, де R – радіус описаного кола

c

Формула Герона

b

a

р - півпериметр

c

slide84

Площа трапеції

a

h

b

φ

d2

d1

,де c – середня лінія

c

h

slide85

b

d1

r

a

φ

c

d2

d

a

b

d

c

Площа довільного чотирикутника

(для описаного чотирикутника)

(для вписаного чотирикутника)

ad