История тригонометрии

1. История тригонометрии

2. Мы надеемся узнать об истории тригонометрии какие-то неизвестные нам факты. Мы думаем что проект поможет исследовать что-то новое и неизведанное нами.

3. Тригонометрия (от греч. trigonon-треугольник и metrio-измеряю) – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского.. Древнегреческие астрономы успешно решали отдельные вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией. Однако они рассматривали не линии синуса, косинуса и др., а хорды. Роль линии синусов угла a у них выполняла хорда, стягивающая дугу, равную 2a.

4. Слово«тригонометрия»впервые встречаетсяв 1505 годув заглавии книги немецкого теологаи математикаПитискуса.Происхождениеэтого слова греческоеτρίγωνον– треугольник,μετρεω– мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

7. Птолемей

8. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть Радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян. В первом тысячелетии нашей эры происходит бурный расцвет культуры и науки в странах Арабского Халифата, и поэтому основные открытия тригонометрии принадлежат ученым этих стран. Туркменский ученый аль-Маразви первым ввел понятие tg и ctg как отношение сторон прямоугольного треугольника и составил таблицы sin, tg, и ctg. Основным достижением арабских ученых является то, что они отделили тригонометрию от астрономии.

11. Развитие тригонометрии в странах Средней Азии , Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.) Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам.

12. Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой (Х III в.) В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274). Насирэддин Туси

14. Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как: sin a + cos a = 1, sin a = cos (90 - a) sin (a + b) = sin a. cos B + cos a. sin b

15. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса..

18. Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. В отличие от греков индийцыстали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса - половины центрального угла. Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos=sin(90-) и sin2+cos2=r2, а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

19. Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в. Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

22. . Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке Аль - Батани (850-929) и Абу-ль-ВефаМухамед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. • Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Региомонтаном (1467 г.). Именно он доказал теорему тангенсов (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. Региомонтан – самый видный европейский представитель этой эпохи в области тригонометрии. Его обширные таблицы синусов через 1’ с точностью до 7-й значащей цифры и его мастерски изложенный тригонометрический труд «пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII веках.

24. Позже тригонометрия начала широко изучаться в Европе. Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы Обратных тригонометрическихфункций. Его обширные таблицы синусов через 10 с точностью до 7-ой цифры и его изложенный тригонометрический труд «Пять книг о треугольниках всех видов» имели большое значение для дальнейшего развития тригонометрии в XVI – XVII вв.

28. Якоб Бернулли Якоб Бернулли • Якоб Бернулли, совместно с братом Иоганном, положил начало вариационному исчислению. Они доказал в 1713г. так называемую теорему Бернулли - важный частный случай закона больших чисел.

29. Тригонометрия: 1) плоская - изучает только плоские треугольники 2) сферическая – изучает только сферические треугольники 3) прямолинейная – не входит в школьную программу. Плоская тригонометрия начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы ее встречались и раньше, так например 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (III в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская тригонометрия получила развитие у аль-Баттани (2-я половина IX – начало Xв.), Абу-ль-Вефа, Бхскала и Насиреддина Туси, которым была уже известна теорема синусов. Тригонометрия, занимающаяся сферическими треугольниками, называется сферической, также она рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. В работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

30. Франсуа Виет • Франсуа Виет дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов.

32. Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера. Леонард Эйлер

33. Леонард Эйлер Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г) трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые он рассматривал как отношения сторон прямоугольного треугольника, как числовые величины. Исключил из своих формул R – целый синус, принимая R = 1, и упростил таким образом записи и вычисления. Разрабатывает учение о тригонометрических функциях любого аргумента. Основоположник аналитической теории тригонометрических функций.

35. Леонард Эйлер Леонард Эйлер ввел и само понятие функции и принятую в наши дни символику. Он придал всей тригонометрии ее современный вид.

37. Н.И.Лобачевский « Геометрические рассмотрения ,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа». В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций.

38. В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

39. Редко используемые тригонометрические функции Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелкой дуги»): Косинус-верзус (другие написания: коверсинус, косинус версус): Гаверсинус (англ. haversinus, сокращение от half the versed sine): Эксеканс (англ. exsecant) или экссеканс: Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу:

40. «Сближение теории и практики дает самые благотворные результаты, и не одна только практика выигрывает; сама наука развивается под влиянием ее». П.Л.Чебышев Прикладная тригонометрия

41. ? Каждого изучающего математику интересует как и где применяются полученные знания

42. Содержание. Страницы истории Прикладная направленность тригонометрии Графические представления о превращении "мало интересных" тригонометрических функций в оригинальные кривые

43. Координаты этого тела в момент времени t выражается так: (1) Определяем из первого уравнения системы t и подставляем полученное значение во второе уравнение: y=xtg- Мы получили формулу, выражающую зависимость между высотой у, на которой находится брошенное тело над Землей, и горизонтальным расстоянием его х от начальной точки полета. Эта формула принадлежит к типу : у=bx-ax2. Следовательно, перед нами квадратичная функция и графиком ее будет парабола, ось которой параллельна оси ординат и ветви которой обращены вниз от ее вершины. Координаты вершины параболы мы найдем по формулам: xA=- и yA= . xA= = = Дальность полета артиллерийского снаряда, начальная скорость которого v0 будет: D=2xA= Последняя формула показывает, что дальность полета зависит от угла . Функция y=sin2 принимает наибольшее значение, равное1, если 2=90,т.е. =45.А это и значит, что наибольшая дальность поражения получится, если наклонить орудие под углом 45 к горизонту. Тригонометрия в артиллерии

44. cos = = х=r(1-cos)+l[1- ] Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. Кривошипно-шатунный механизм служит для преобразования равномерного вращательного движения конца кривошипа в неравномерное прямолинейное движение ползуна, и обратно. Аналогично работает двигатель автомобиля. В начальный момент, когда кривошип занимает положение ОА1, точка В шатуна находится в В1. Если в данный момент кривошип находится в положении ОА, образуя угол  с линией мертвых точек, соответственно чему шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой угол , то, следовательно, палец В ползуна за время поворота кривошипа на угол  переместился на величину х=В1В. Выразим перемещение х в зависимости от данных величин. Опустим перпендикуляр АК на ОВ1; тогда :ОВ=ОК+КВ. Из треугольников АОК и АВК имеем: ОК=ОА cos=rcosи KB=ABcos=lcos;следовательно, ОВ=rcos+lcosи x=r+l- rcos- lcos=r(1-cos)+l(1-cos). Выразим cosв зависимости от угла  из треугольников АОК и АВК; найдем АК=rsin иAK=lsin. Отсюда: rsin= lsinи sin= ].

45. Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый. Пусть расстояние между центрами шкивов равно d и радиусы их- R и r. Длину ременной передачи разобьем на части АВ, ВС, СD=AB, DE, EF, EA=DF.Определим длину каждой отдельной части. Из треугольника О1КО имеем: О1К=АВ= AOE=BO1G=KO1O; обозначим AOE через  и найдем его величину. Из треугольника О1КО sin= Зная sin, мы сможем по таблицам определить и угол . AE=DF== AEFD=R+2=R+; BG=CH==; BC=r-. Длина всего ремня =2 +R+ +R- = 2+(R+r)+ (R-r).

46. Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона . Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k. Решение. Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos. Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psin-kPcos=P(sin-kcos).(1) Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а= С другой стороны, ускорение а= = =gF ;следовательно, Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin-kcos)= Отсюда: k==gtg- =gtg- Определение коэффициента трения. = .(2) . .

47. Зависимость между угловой и линейной скоростями Выразим зависимость между угловой ()и линейной (v) скоростями равномерного движения по окружности .Пусть за время t секунд материальная точка проходит по окружности радиуса R путь, равный l, и совершает при этом поворот вокруг центра окружности на угол . Тогда линейная скорость точки : v= , а угловая ее скорость := . Из равенства = находим, что l=R.Подставим произведение R вместо l в формулу линейной скорости : v= = =R. Пример1.Маховое колесо диаметром в 320 см вращается с угловой скоростью 9 радианов в секунду. Определить линейную скорость в точке на внешней части обода колеса в м/мин. Решение.R=100cм; v=R;v=1609 cм/сек=160960 см/мин=864 м/мин. Пример2.Определить угловую скорость шлифовального камня диаметром 90 см, если его линейная скорость на окружности равна 225 м/сек. Решение.R=45 см; = ; = =500 1/сек.(рад/сек) По этой формуле можно находить линейную скорость точки, зная угловую ее скорость и радиус окружности, по которой движется точка; по линейной скорости точки и радиусу окружности, по которой она движется, можно найти угловую скорость.

48. Практическая задача. Пусть жестянщику надо изготовить колено цилиндрической водосточной трубы диаметром D. Взяв лист железа шириной D ( без учета швов), он должен разрезать его по синусоиде и согнуть в виде трубы. В зависимости от угла α, под которым должно быть изготовлено колено, амплитуду А следует сделать равной D/2·tg(α/2).Аналогичным образом мастер поступит со вторым листом, затем соединит обе трубы по образовавшимся из синусоид эллипсам. Соединение двух труб

49. В течение месяца Луна меняет свой облик, превращаясь из тонкого серпа сначала в полукруг, потом в полный диск, а затем снова убывая до полного исчезновения. Ежедневно мы видим, как восходит Солнце, движется по небосводу и заходит за горизонт, с тем, чтобы на другое утро вновь появиться на востоке. А ночью звезды вращаются вокруг Полярной звезды, возвращаясь обратно по истечении суток. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложнейших процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках. С помощью электромагнитных колебаний советскими учеными были получены снимки обратной стороны Луны. Такие колебания сопровождают и биологические процессы, например передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая их, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные- для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Многие процессы, протекающие в окружающем нас мире, по истечении некоторого промежутка времени более или менее точно повторяются. Периодические процессы и колебания в окружающем мире

50. Гармонические колебания Уравнение гармонического колебания имеет вид:y = A sin ( t+ α ) График гармонических колебаний называется синусоидой, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями. Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. x= R cos(t+).