1 / 23

Matematika II.

Geodézia szakmérnöki szak 2012/2013. tanév/ Műszaki térinformatika ágazat őszi félév. Matematika II. 1. előadás. Lineáris programozás. Miért lineáris ? Lássunk egy példát! A feladat: Szendvicsek gyártása egy házibulira! Alapanyagok: 120 dkg vaj 100 dkg sonka 200 dkg sajt

colum
Download Presentation

Matematika II.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Geodézia szakmérnöki szak 2012/2013. tanév/ Műszaki térinformatika ágazat őszi félév Matematika II. 1. előadás

  2. Lineáris programozás • Miért lineáris ? • Lássunk egy példát! • A feladat: • Szendvicsek gyártása egy házibulira! • Alapanyagok: • 120 dkg vaj • 100 dkg sonka • 200 dkg sajt • 20 db főtt kemény tojás

  3. Lineáris programozás • A szendvicsek típusai: • A típus (x1 darab): • 3 dkg vaj • 3 dkg sonka • 2 dkg sajt • 1/4 db tojás • B típus (x2 darab): • 2 dkg vaj • 1 dkg sonka • 5 dkg sajt • 1/2 db tojás

  4. Lineáris programozás • Mi a feladat? • A lehető legtöbb szendvics elkészítése az alap-anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre áll). • Matematikai modell: x1 >= 0; x2 >= 0 (negatív mennyiség ?) 3·x1 + 2·x2 <= 120 (vajas feltétel) 3·x1 + x2 <= 100 (sonkás feltétel) 2·x1 + 5·x2 <= 200 (sajtos feltétel) 1/4·x1 + 1/2·x2 <= 20 (tojásos feltétel) • Célfüggvény: z = x1 + x2 max.

  5. Lineáris programozás • Grafikus megoldás: 1. lépés: a „vajas” egyenes A félterek irányítása 2. lépés: a többi egyenes A lehetséges megoldások halmaza A célfüggvény egyenesei 3. lépés: Optim. megoldás

  6. Lineáris programozás • Tapasztalatok a feladat kapcsán: • A lehetséges megoldások halmaza a síknak egyenesekkel határolt tartománya • Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkező pontok egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén fekszenek • A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg

  7. Lineáris programozás • A grafikus megoldás elemzése:

  8. A Szimplex módszer • A feladat: • Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény; • Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A; • Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b; • A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*;n dimenziós sorvektor;

  9. A Szimplex módszer • A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő: Ax <= b; x >= 0 z = c* x  max.! • Észrevételek: • A feltételrendszerben lehetnek <= és >= irányú egyenlőtlenségek is. • Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel. • A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum-feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.

  10. A Szimplex módszer • A lineáris programozási feladatat kanonikus alakja a következő: Ax = b;x >= 0 z = c* x  max.! • Észrevételek: • Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek szerepelnek; • Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.

  11. A Szimplex módszer • Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek: A1x = b1 A2x <= b2 A3x >= b3 x >= 0 z = c* x max.!.

  12. A Szimplex módszer • Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira: A1x=b1 A2x + Equ = b2 A3x - Erv = b3 x >= 0; u >= 0; v >= 0 z = c* x max.!.

  13. A Szimplex módszer A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:

  14. A Szimplex módszer • Az algoritmus lépései: • A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója negatív; • Ha van cj > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát vizsgáljuk; • Megkeressük azt a ak,j> 0 számot, amelyre az xk/ak,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem; • Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással; • Az eljárást az elejével folytatjuk.

  15. A Szimplex módszer • Megállási feltétel: • Nincs cj > 0 elem, ekkor találtunk optimális megoldást; • Bár még van cj > 0, de ebben az oszlopban minden ak,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem korlátos, tehát nincs optimális megoldás

  16. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • Egy üzemben öt különböző terméket lehet három korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló erőforrás segítségével előállítani. Az erőforrások mennyiségét, a fajlagos ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos hozamát a következő táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!

  17. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • A mintapélda alapadatai:

  18. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy lehetséges megoldást is tartalmaz: Mivel van cj > 0, a megoldás még nem optimá-lis. Válasszunk generáló elemet!

  19. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • Az első transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Ismét van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!

  20. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • A második transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Még van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újra generáló elemet!

  21. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Itt már az összes cj < 0, a megoldás tehát opti-mális.

  22. A mintapélda megoldása • Az optimális termelési stratégia az előbbiek alapján tehát az, ha a vállalat a következő-képpen jár el: • I. termék: 20 egység • II. termék: 30 egység • V. termék: 50 egység • Ekkor a tiszta hozam: • z = 230

  23. Módosított mintapélda • A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék fajlagos tiszta hozama 1-ről 2-re nő): Állítsuk elő a megoldást!

More Related