Funciones Reales de Varias Variables
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Funciones Reales de Varias Variables. Contenidos. Habilidades Función de dos variables. Gráfica de una función real de dos variables. Curvas de nivel. Límite. Continuidad. Derivadas Parciales. ir. ir. ir. ir. ir. ir. ir. Habilidades.

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Presentation Transcript

Contenidos
Contenidos

  • Habilidades

  • Función de dos variables.

  • Gráfica de una función real de dos variables.

  • Curvas de nivel.

  • Límite.

  • Continuidad.

  • Derivadas Parciales.

ir

ir

ir

ir

ir

ir

ir


Habilidades
Habilidades

  • Define el concepto de función real de dos y tres variables.

  • Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente.

  • Traza la gráfica de una función real de dos variables reales.

  • Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica.

  • Determina las curvas (superficies) de nivel de una función real de dos (tres) variables.


Habilidades1
Habilidades

  • Calcula el límite de una función.

  • Determina la no existencia del límite de una función real de dos variables reales.

  • Establece la continuidad de una función real en un punto.

  • Define el concepto de derivada parcial.

  • Calcula derivadas parciales.

  • Interpreta geométricamente el concepto de derivada parcial.

  • Calcula derivadas parciales de segundo orden.

  • Verifica que una función dada es solución de una ecuación en derivadas parciales.

inicio


Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).

El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir

Funciones de Varias Variables.


Ejemplos.

1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.

2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta.

inicio


Gráfica de una función de dos variables.

Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.


Ejemplo

2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen.

inicio



Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).

O

x


Ejemplos
Ejemplos

3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de:

4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura

T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional

a la distancia del punto (x, y) al origen.

a) Describa las isotermas

b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados

centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a

la temperatura de 20 grados centígrados.


Ejemplos1
Ejemplos

5. Describa y trace las superficies de nivel de la función:

inicio



Límites

Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos

tal que siempre que

y


Z

X

Interpretación geométrica de los límites


Definición: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por otra trayectoria C2,, donde , entonces

no existe.

y

b

a

Determina la no existencia del límite de una función real.


Ejemplos2

6. Muestre que no existe

7. Muestre que no existe

Ejemplos

5. Muestre que no existe

inicio


Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si

Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D

Nota:

Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio

Continuidad

inicio


Derivadas parciales.

Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende solamente de x y está definida alrededor de x0.

Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por



Definición de derivada parcial con respecto a y.

Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene dejando x fija (x=x0).


2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

Ejemplos

1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos números como pendientes.



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