数 理 统 计

1. 数 理 统 计

2. 第六章 数理统计的基本概念 关键词： 总 体 个 体 样 本 统 计 量

3. 引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品， 如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性 试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取 一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息 来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问 题之一。

4. §1 总体和样本 • 总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 • 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 • 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 • 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn),n为样本容量 • 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称 为简单随机样本。 1.代表性： 每个Xi与X同分布 2.独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量 [说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)， 则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：

5. 总体X的分布函数 • 从总体中任取一个个体是随机试验的一个观察值，把它记为X，它是一个随机变量，所以总体有时也用对应的随机变量X表示，X分布F也表示总体分布。

8. 统计量：样本的不含任何未知参数的函数

9. 常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本

10. 性质：

15. 总体分布 .3 .2 .1 0 1 2 3 4 样本均值的一个例子 设一个总体，含有4个元素（个体)。4 个个体分别为1、2、3 、4 。总体的均值、方差及分布如下

16. 所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 第二个观察值 1 2 3 4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,2 2,3 2,4 3 3,1 3,2 3,3 3,4 4 4,1 4,2 4,3 4,4 现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表

17. 16个样本的均值 x .3 第一个 观察值 第二个观察值 1 2 3 4 .2 P ( x ) 1 1.0 1.5 2.0 2.5 .1 2 1.5 2.0 2.5 3.0 0 3 2.0 2.5 3.0 3.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4 2.5 3.0 3.5 4.0 样本均值的抽样分布 x  计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布

18. 样本均值的均值和方差 比较及结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n

19. .3 .3 .2 .2 .1 .1 P ( x ) 0 0 1 2 3 4 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x 样本均值的分布与总体分布的比较 总体分布 抽样分布  = 2.5 σ2 =1.25

20. §2 常用的分布

28. 正态总体样本均值和方差的分布

30. William Gosset(1876-1937) • 1908年提出t-分布

32. =10 n = 4 n =16  = 50 X 抽样分布 总体分布 X 样本均值的抽样分布与中心极限定理 当总体服从正态分布N (μ,σ2 )时，来自该总体的容量为n的样本的均值X服从N(μ,σ2/n)

33. 一个任意分布的总体 当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 X 中心极限定理（图示） 中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布

37. 思考：

39. 复习思考题 6 1.什么叫总体？什么叫简单随机样本？总体X的样本X1,X2,…,Xn有 哪两个主要性质？ 2.什么是统计量？什么是统计量的值？ 3.样本均值和样本方差如何计算？ 4.N(0,1)分布,t分布,χ2分布和F分布的双侧、下侧、上侧分位点是 如何定义的？怎样利用附表查这些分位点的值？ 5.对一个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？ 6.对两个正态总体的三个常用统计量及其分布是什么？