Soutenance de thèse
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Soutenance de thèse. Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances. Par Denis BERDJAG Encadrement Pr. Vincent COCQUEMPOT Dr. Cyrille CHRISTOPHE. équipe SFSD–LAGIS. Contexte de la thèse. Constat :

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Par Denis BERDJAG Encadrement Pr. Vincent COCQUEMPOT Dr. Cyrille CHRISTOPHE

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Presentation Transcript


Soutenance de thèse

Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances

Par Denis BERDJAG

Encadrement

Pr. Vincent COCQUEMPOT

Dr. Cyrille CHRISTOPHE

équipe SFSD–LAGIS


Contexte de la thèse

Constat :

  • Techniques de surveillance à base de modèles:

    • 2 communautés (SEC, SED).

    • Modèles et outils différents

  • Des outils mathématiques (algébriques) permettent une abstraction élevée

    • Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns (1966)

    • Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky (1987  )


Contexte de la thèse

Objectif :

  • Comprendre et rendre accessibles les outils algébriques

  • Approfondir l’utilisation de ces outils.

  • Grâce au niveau élevé d’abstraction :

    • Étendre des concepts des SEC vers les SED.

    • Proposer une méthodologie de surveillance indépendante du type de modèle.


Notions de surveillance à base de modèle

Défauts

Perturbations

Processus

Entrée commande

Sorties capteurs

Défaut ?

OUI ou NON

Synthèse

Modélisation

Commande

Indicateur de défauts

Module de décision

Module détecteur de défauts

Modèle mathématique

du processus

Sorties


Types de représentations

Modèle mathématique

du processus

Représentation temporelle

Représentation événementielle

  • Système d’équations différentielles

  • Système d’équations aux différences

  • Machines séquentielles

  • Réseaux de Petri

1

4

2

3


Quelques techniques de surveillance à base de modèle

Modèle temporel

  • Filtres & observateurs

    • Beard

    • Frank

    • Massoumnia

    • Isidori & al

  • Espace de parité

    • Willsky

    • Staroswiecki

    • Leuschen

  • Estimation de paramètres

    • Isermann

    • Fliess & al

Modèle événementiel

  • Diagnostiqueur

    • Sampath & al

    • Ushio

    • Zad

    • Larsson

  • Redondance

    • Hadjicostis

  • Contraintes temporelles

    • Bouyer

    • Ghazel

Problématique commune

mais…

Méthodes / Outils différents


Défaut

Perturbations

Principe de la surveillance (SEC)

Processus

  • L’Indicateur doit être:

  • Nul en fonctionnement idéal

  • Robuste aux perturbations

  • Sensible aux défauts

Sorties capteurs

Commande

Module détecteur de défauts

Indicateur


Décomposition pour la détection

Entrées Inconnues

1

2

Estimation des sorties

Commandes

3

4

Synthèse

Synthèse

Synthèse

Synthèse

Synthèse

Indicateur 1

Module détecteur

Commandes

MD1

MD2

MD3

MD4

Indicateur

Indicateur 2

Sorties

Indicateur 3

Indicateur 4


Structure du module détecteur

Synthèse

Commandes

Bloc d’élimination des conditions initiales

Sorties

Injection de sorties

Bloc de

comparaison

Indicateur

Sortie

mesurable

MD1


Formulation du problème de décomposition

Modèle mathématique

Sous-modèle

mathématique

2

Sous-modèle

mathématique

4

Sous-modèle

mathématique

1

Sous-modèle

mathématique

3

Quel critère pour la décomposition ?


Critère de décomposition

Critère structurel

Critère de couplage

Par rapport à une entrée commande

Sous-modèle découplé

Sous-modèle couplé

+

+

Dynamique découplée

Dynamique couplée


Représentation mathématique du modèle

Modèle Comportemental

Modèle temporel

Modèle événementiel

Ensembles

Fonctions


Représentation du sous-modèle

  • Modèle complet

  • Sous-modèle

Conditions d’existence d’un sous-modèle

Les ensembles X ’,W ’,Y ‘ sont obtenus à partir de X,W,Y

Les fonctions F’,H’ sont des restrictions des fonctions F,H sur les ensembles X ’,W ’,Y ‘ .

Contraintes de décomposition


Décomposition avec critère de découplage

Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche de décomposition

  • Décomposition connue en SEC et en SED

    • Formalisée avec des outils spécifiques au modèle considéré

  • Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ?


Rappel : structures algébriques

Algèbre

  • Un ensemble d’éléments

  • Des lois (opérations) sur ces éléments

    • Deux lois internes

    • Une loi externe

Treillis

  • Un ensemble d’éléments

  • Une relation d’ordre

    Ou

  • Un ensemble d’éléments

  • Deux lois internes

Traitement

Hiérarchie


Algèbre d’ensembles

Ensemble de définition

Relations

Algèbre sur DX

Relation d’ordre

Opération d’intersection

Treillis sur DX

Opération union

Opération externe

DX: tous les sous-ensembles de X

A , B : éléments de DX

k : réel


Notions clés :Paire algébrique et propriété de substitution

Paire algébriquepar rapport à la fonction F

(A,B) est une paire algébrique par rapport à F si et seulement si

Si (A,A) est une paire algébrique par rapport à Falors

A possède la propriété de substitution par rapport à F ou (A,A)∈ ΔF

Par ailleurs :

A possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction de F sur A telle que

A décrit un ensemble d’état d’un sous-modèle dont la fonction d’état complète est F


Opérateurs avancés

Opérateur m

(borne inférieure d’une paire)

m(A)donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec A

  • Opérateur M

  • (borne supérieure d’une paire)

M(B)donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec B

Propriété de substitution (Critère)


Du modèle au sous-modèle

  • Le sous-modèle est caractérisé par un sous-ensemble d’état obtenu par une décomposition.

  • La décomposition d’un modèle requiert la manipulation d’ensembles d’éléments.

  • Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles.

  • Manipuler des ensembles d’éléments revient à manipuler les délimiteurs.

Solution

Hartmanis, Stearns, Shumsky, Zhirabok


Principe du délimiteur

Partitions

  • Ouvrage Hartmanis & Stearns

    Fonctions

  • Travaux Shumsky & Zhirabok

Proposition :

Manipuler les délimiteurs au lieu de manipuler les ensembles

Ensembles finis

Ensembles infinis

Délimiteur  Classe d’équivalence


Partition d’ensembles finis

Une partition de S est

  • Un ensemble de blocs supplémentaires dont l’union recouvre l’ensemble S

2

4

1

6

  • Par exemple

  • p1 est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs.

3

5

Les partitions sont adaptées aux ensembles finis.


Partition d’ensembles infinis

  • Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X

  • Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x).

Par exemple :

Le noyau de toute fonction définit le bloc d’une partition de X.


Structures algébriques

Algèbre d’ensembles

  • Relation d’ordre «⊆»

  • Opération d’union «∪»

  • Opération d’intersection «∩»

  • Algèbre de partitions

Algèbre des fonctions

  • Relation d’ordre « ≤ »

  • Addition de partitions « + »

  • Multiplication de partitions « . »

  • Relation d’ordre «  »

  • Opération d’union «  »

  • Opération d’intersection «  »


Notion clé :Propriété d’invariance

Soit une fonction

Si A possède la propriété de substitution par rapport à F alors

la fonction est dite invariante par rapport à F

La fonction est une fonction de décomposition


Objectif de la décomposition

Ensemble de commande

Ensemble d’entrées inconnues

Ensemble de défaillances

Fonction de décomposition

A découpler

avec


Critères de décomposition

Critère de découplage

Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de

Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de

Robustesse aux perturbations

Propriété de couplage

Sensibilité aux défaillances


Contraintes de décomposition

Contrainte d’invariance

Déterminer le plus grand sous ensemble invariant et découplé

Existence du

sous-modèle

Synthèse du

module détecteur

Contrainte de mesurabilité

Fait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sorties


Structure de l’algorithme de décomposition

Initialisation:

Ensemble de solutions possibles

Problème d’optimisation

Critère de découplage

Plus petit sous-ensemble

Recherche itérative du sous-ensemble d’état découplé, invariant et mesurable

Conditions d’existence

Sous-modèle de dimension minimale

Vérification de la propriété de couplage

Critère de couplage

Sous-modèle découplé


Implémentation

simple

Initialisation

Sous-ensemble d’état découplé

Itération

Test d’invariance

Composante mesurable

Test d’invariance

Vérification

Couplage


Ensemble de définition

Ensemble d’état

Sous-ensemble d’états visibles à travers les sorties


Sous-ensembles invariants


Critère de découplage

Sous-ensemble d’état découplé

Sous-ensemble d’état non-découplé


Initialisation

Le plus grand sous-ensemble découplé


Itération


Le plus grand ensemble découplé et invariant


Contrainte de mesurabilité


Détermination du plus petit sous-ensemble découplé invariant et mesurable


Sous-ensemble découplé invariant et mesurable


Vérification du critère de couplage

Sous-ensemble d’état non-couplé

Sous-ensemble

d’état couplé


Problèmes rencontrés et traités

  • La contrainte d’invariance

    • Que faire s’il n’existe pas de sous-ensemble découplé invariant ?

  • Problème d’initialisation

    • Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ?

  • Aspect calculatoires

    • Comment déterminer les opérateurs m et M dans les cas calculatoires complexes?


Injection de sorties

  • Problème

    Relâcher la contrainte d’invariance et proposer un critère général d’invariance étendue

  • Solution

    • Injection de sorties pour pallier à l’information perdue par décomposition

    • Seules les sorties insensibles aux perturbations sont injectées

    • Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas des SED

  • Contribution

D. Berdjag, V. Cocquempot et C. Christophe : An algebraic approach to behavioral model décomposition. Soumis à l’IFAC World Congress 2008. Seoul, South Korea. Juin 2008.


Principe de l’injection de sorties

x1

x2

x4

Injection de sorties

x3

Sortie

Invariance

étendue

Les sorties compensent l’information perdue lors de la décomposition


Extension événementielle


Initialisation optimale

  • Problème

    Obtenir le sous-ensemble découplé maximal

  • Solution

    • Utilisation de techniques d’élimination de variables pour réduire l’influence de  sur l’ensemble d’état

    • Application dans le cas d’une injection linéaire des entrées inconnues (modèles temporels)

  • Contribution


Aspects calculatoires

  • Problème

    Proposer une méthode alternative de calcul des opérateurs

  • Solution

    • Une méthode de calcul basée sur l’utilisation de fonctions équivalentes a été développée

  • Publications


Aspects calculatoires…

Comment déterminer m(a(x)) ?

Proposition

Utiliser l’information contenue dans le modèle


Synthèse

Algorithme de décomposition simple

Algorithme de décomposition étendu

Injection de sorties

Algèbre des fonctions

Algorithme de décomposition de modèles temporels

Méthodes de calcul

Algorithme de décomposition modèles événementiels

Algèbre des paires


Algorithme de décomposition

étendu (Injection de sorties)

Initialisation

Sous-ensemble d’état découplé

Itération

Test d’invariance étendu

Composante mesurable

Test d’invariance étendu

Vérification

Couplage


Algorithme de décomposition

étendu (algèbre des fonctions)

Initialisation

Sous-ensemble d’état découplé

Itération

Test d’invariance étendu

Élimination de variables

Composante mesurable

Test d’invariance étendu

Vérification

Couplage


Algorithme de décomposition

étendu (algèbre des paires)

Initialisation

Partition d’état découplée

Itération

Test d’invariance étendu

Composante mesurable

Inutile car vérifié

Test d’invariance étendu

Vérification

Couplage

Mesurabilité


Le système à trois cuves

Détection et localisation de défaillances

Modèle temporel

(Système d’équations différentielles)

Modèle événementiel

(Machine séquentielle)


Modèle de fonctionnement défaillant

  • Encrassement de conduite

  • Fuite dans les cuves

Equations d’état

Diagramme fonctionnel

Les défaillances

Capteurs de niveau


Cahier des charges

6 sous-modèles découplés

6 défaillances

indifférent

découplé

Table de signatures de défaillances souhaitée


Exemple de décomposition

  • Déterminer le sous-modèle b13 :

    • Découplé de la défaillance b13

    • Couplé par rapport aux défaillances f1,f2,f3, b32,b20

  • Synthétiser un générateur de résidu à partir de b13

    • Un observateur pour éliminer les conditions initiales.


Contraintes et critères de décomposition

Critères de décomposition

Contraintes de décomposition

Contrainte d’invariance

Séquence itérative (Shumsky 1991)

Itération

Sous-ensemble invariant

Contrainte de mesurabilité

Condition générale

Sous ensemble découplé et mesurable

  • Critère de découplage

    • En général

    • La fonction doit satisfaire

    • L’ensemble d’états découplé

    • L’ensemble d’état découplé après transformation

  • Critère de couplage

    • En général

    • La fonction doit satisfaire

    • L’ensemble d’état couplé


Détermination de la fonction de décomposition

Composante mesurable

Séquence itérative

Résultat

Déterminer une composante f1qui satisfait la contrainte de mesurabilité

Vérifier la contrainte d’invariance pour f1

Déterminer la composante f 2 telle que

Vérifier la contrainte d’invariance pour f 2

Construire la fonction de décomposition f

Contrainte non vérifiée

Contrainte Vérifiée


Sous-modèle découplé b13

z1=x2

z2=x1+x3

Injection de sorties

Sortie mesurable


Banc de sous-modèles découplés

Sous-modèle découplé de b32

Sous-modèle découplé de b13

Sous-modèle découplé de f1

Sous-modèle découplé de f2 , b20

Table de couplages des sous modèles

Le sous-modèle découplé de f3 n’existe pas


Synthèse des générateurs de résidus à partir des sous-modèles découplés

Utilisation des modes glissants

Observateur d’Utkin

Le générateur de résidu robuste par rapport à b13


Banc de générateurs de résidus

Le générateur de résidu robuste par rapport à f1

Le générateur de résidu robuste par rapport à f2,b20

Le générateur de résidu robuste par rapport à b32

Le générateur de résidu robuste par rapport à b13


Commandes

Processus

Module détecteur à base de modèle temporel

Défaillances


Fonctionnement Normal

Résidu

Robuste à f1

Niveaux des cuves

Défaillance

Mesures

Résidu

Robuste à f2,b20

Résidu

Robuste à b13

Résidu

Robuste à b32


Défaillance permanente b13

Résidu

Robuste à f1

Niveaux des cuves

Défaillance

70 s

Résidu

Robuste à f2,b20

Résidu

Robuste à b13

Résidu

Robuste à b32

Divergence du résidu


Défaillance intermittente b13

Résidu

Robuste à f1

Niveaux des cuves

Défaillance

70sec

Résidu

Robuste à f2,b20

Résidu

Robuste à b13

Résidu

Robuste à b32

Réaction du résidu


Représentation événementielle

Information disponible :

Sens des débits (,0,)

Commande des vannes

Détecteurs de sens

fV13

fV32

Etats transitoires

Défauts actionneurs


Modèle de fonctionnement défaillant

Défaillances

Machine séquentielle

16 états,8 entrées + 2 défaillances


Cahier des charges

Deux machines séquentielles partielles découplées

Découplée de l’influence de fV13

Découplée de l’influence de fV32

Couplée à l’influence de fV32

Couplée à l’influence de fV13


Détermination de la machine séquentielle partielle fV13

Critères de décomposition

Contraintes de décomposition

Contrainte d’invariance

En général

Partition avec propriété de substitution

Contrainte de mesurabilité

Condition générale

Sous ensemble découplé et mesurable

  • Critère de découplage

    • En général

    • La partition d’entrées découplée

    • La partition d’état découplée

  • Critère de couplage

    • En général

    • La partition d’entrée couplée

    • La partition d’état couplée


Banc de machines séquentielles partielles découplées


Calcul des indicateurs

Table de correspondance des sorties

Calcul de l’indicateur

  • Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP  indicateur à 0

  • Si la sortie du système n’appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP  indicateur à 1


Commandes

Module détecteur à base de modèle événementiel

Discrétisation des mesures

Processus

Défaillances


Simulations

Evolution des niveaux

C1, C2, C3

Commande des vannes

Défaillances

Non mesuré

fV32

V1

V2

V20

150

V13

V32

fV13

100

Capteurs de débit

Evénements en entrée

a

b

e

f

C13

C32

c

d

g

h


Simulations

Sorties discrétisées du système

Sorties estimées par le modèle

Evolution de la 1ère MSP

Evolution de la 2nde MSP


Simulations

Indicateur de validité

Défaillance V32

Défaillance V13

Entrées

Réaction de l’indicateur

sensible à V32

Indicateur robuste à la défaillance de V13

Réaction de l’indicateur sensible à V13

Indicateur robuste à la défaillance de V32


Contributions : aspect pédagogique

  • L’outil algèbre des fonctions

    • Présentation de l’outil et situation par rapport aux travaux de la communauté FDI.

    • Détail de l’utilisation des outils mathématiques.

    • Implémentation en langage symbolique.

  • L’outil algèbre des paires

    • Extension de la problématique FDI

    • Implémentation en langage symbolique.


Contributions : aspect mathématique

  • Détail de la procédure de calcul des opérateurs de l’algèbre des fonctions

    • Équations d’état linéaires, non-linéaire, événementielles.

  • Proposition de solutions aux problèmes calculatoires

    • Résultat obtenu en utilisant des fonction équivalentes

  • Amélioration de la décomposition

    • Utilisation des techniques d’élimination de variables pour calculer le sous-ensemble découplé optimal (injection linéaire des défaillances)


Contributions : aspect conceptuel

Formalisme général de FDI à base de modèles comportementaux

Algèbre d’ensembles

FDI à base de modèles événementiels

FDI à base de modèles temporels

Algèbre des Paires

Algèbre des fonctions


Perspectives

  • Implémenter des techniques d’élimination de variables non linéaires pour l’initialisation de l’algorithme de décomposition.

    • Bases de Groebner

  • Appliquer la méthodologie de décomposition sur des modèles hybrides

  • Autres utilisations de la méthodologie ou des outils

    • Décomposition canonique (Kalman)

    • Flux de données corrélées (théorie de l’information)

  • Approfondir la méthode de détection et de localisation de défaillances en utilisant des modèles événementiels

    • Description du modèle sous forme de paires algébriques

    • Définition d’indicateurs de défaillances directionnels


Merci pour votre attention


Perspectives : Techniques d’élimination de variables non-linéaires

  • Utilisation des bases de Groebner pour l’élimination de la variable à découpler (injection polynomiale)

  • Division polynomiale pour reconstruire la transformation

  • Les expressions qui constituent la transformation augmentent la partie découplée


Perspectives : Décomposition de modèles hybrides

Modèle complet hybride

Sous-modèle hybride

  • Considérer les dynamiques événementielles et temporelles comme indépendantes (commutation)

    • Décompositions indépendantes du modèle temporel et du modèle événementiel

  • Considérer le cas général et les couplages temporels-événementiels

    • Décrire le modèle hybride sous forme de quintuplet

    • Exprimer les contraintes inégalité de manière algébrique

    • Définir des méta-ensembles constitués d’éléments finis et infinis.


Perspectives : Autres utilisations des outils et de la méthodologie

Décomposition canonique (Kalman)

  • Exprimer l’observabilité et la commandabilité de manière algébrique ( opérateurs m, M)

  • Formuler un algorithme de décomposition (critère de couplage)

    Flux de données corrélées

  • Les opérateurs m, M quantifient l’information dans un flux de données

  • Déterminer la propagation d’une donnée dans le flux


Perspectives : Méthode de FDI à base de modèles événementiels

  • Déterminer le treillis qui décrit la structure du modèle événementiel

  • Exprimer les critères de couplage et le découplage par rapport à ce treillis

  • Comparer la sortie du système avec les partitions qui forment les nœuds du treillis

  • Obtenir des indicateurs de défaillances directionnels


Merci pour votre attention

Tous au pot

salle 2A25


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