Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es
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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções PowerPoint PPT Presentation


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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções. Atenção: Este conteúdo foi disponibilizado de acordo com uma licença Creative Commons. Fique atento às regras da licença ao utilizá-lo Atualizado em Fevereiro de 2011. Conjuntos. Wikipedia: Coleção de elementos Exemplos:

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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

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Presentation Transcript


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

Atenção:

Este conteúdo foi disponibilizado de acordo com uma licença Creative Commons. Fique atento às regras da licença ao utilizá-lo

Atualizado em Fevereiro de 2011


Conjuntos

Conjuntos

  • Wikipedia:

    • Coleção de elementos

      Exemplos:

      Conjunto de cidades da RMC:

      Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo.

      Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9:

      4, 6 e 8


Conjuntos num ricos

Conjuntos numéricos

  • A={0, 2, 4, 6, 8, ...}

  • B={0, 2, 4, 6, 8, 10}

  • C={1, 3, 5, 7, 9, ...}

  • D={3, 5}

  • E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}


Conjuntos importantes

Conjuntos importantes

  • Conjunto vazio:

  • Conjunto unitário:

  • Conjunto Universo (U)

    • Formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.


Rela es entre conjuntos

Relações entre conjuntos

1 pertence a A

{1} está contido em A

{3} não está contido em B

B está contido em A

A não está contido em B

O conjunto vazio está contido em B


Conjunto das partes

Conjunto das partes

  • É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado.

    • B={1, 2, 3}

    • P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}


Conjunto das partes1

Conjunto das partes

  • Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes:

    • Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento

    • {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos

    • {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos


Conjunto das partes2

Conjunto das partes

  • Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n


Opera es com conjuntos

Operações com conjuntos


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Operações com conjuntos:Intersecção

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A  B = {x/xA e x  B} (Intersecção)

  • A  B = {0, 2}

A

0 2

B

1 3 4

5 6


Opera es com conjuntos uni o

Operações com conjuntos:União

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A  B = {x/xA ou x  B} (União)

  • A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}

A

0 2

B

1 3 4

5 6


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Operações com conjuntos:

Diferença

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A - B = {x/xA e xB} (Diferença)

  • A - B = {1, 3, 4}

A

0 2

B

1 3 4

5 6


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Operações com conjuntos:

Complementar

  • Caso especial: um conjunto está contido no outro:

    • A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:

  • O complementar de B em relação a A:

A

B

0 1 2

5 6

A  B = {0, 1, 2, 5 ,6} = BA  B = {0, 1, 2} = A

A-B={ }B-A={5, 6}


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Operações com conjuntos:

Produto cartesiano

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano)

    • AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}

    • Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20

    • Par ordenado: (2, 0)(0, 2)


Representa o no plano cartesiano

Representação no plano cartesiano

A={0, 1 ,2, 3, 4}B={0, 2, 5, 6}

B

  • Atenção para:

  • AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical

  • (0,2) e (2,0) são pontos distintos

  • Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!

A


Conjuntos num ricos1

Conjuntos numéricos


Conjuntos num ricos2

Conjuntos numéricos

Conjunto dos Números Naturais (N)


Conjuntos num ricos3

Conjuntos numéricos

Conjunto dos Números Inteiros (Z)


Conjunto num ricos

Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Racionais (Q)


Conjuntos num ricos4

Conjuntos numéricos

  • Representação decimal de números racionais:

    • A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b.

    • Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:


Conjunto num ricos1

Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)

Números decimais que não admitem representação fracionária

Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas


Conjuntos num ricos5

Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Reais (R)

N

Z

Q

I


Intervalos num ricos reais

Intervalos numéricos (reais)


Intervalos num ricos reais1

-3

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, +) = ]-3, +) ={x   / x > -3}

[-3, +) = [-3, +) ={x   / x  -3}

-3


Intervalos num ricos reais2

-3

4

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x   / -3 < x < 4}

(-3, 4] = ]-3, 4] ={x   / -3 < x  4}

-3

4


Rela es entre conjuntos1

Relações entre conjuntos


Rela es entre conjuntos2

Relações entre conjuntos

  • Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • R = {(x,y)AxB / x+y>4}

    • R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2); (3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)}

    • N(R)=12


Rela es entre conjuntos3

Relações entre conjuntos

  • Representação gráfica:

    • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}

    • R = {(x,y)AxB / x+y>4}

0

1

2

3

4

0

2

5

6


Rela es entre conjuntos4

Relações entre conjuntos

Relações entre conjuntos

  • Representação gráfica:

    • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}

    • R = {(x,y)AxB / x+y>4}

0

1

2

3

4

0

2

5

6


Representa o no plano cartesiano rela es

Representação no plano cartesiano - Relações

Representação no plano cartesiano - Relações

A={0, 1 ,2, 3, 4}

B={0, 2, 5, 6}

B

R= {(x,y)AxB / x+y>4}

Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos.

A


Rela es especiais

Relações especiais

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos:

  • R = {(x,y)AxB / y = 2x}

    • R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}

    • N(R)=5


Rela es especiais1

Relações especiais

Relações especiais

  • Representação através de diagrama:

    • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11}

    • R = {(x,y)AxB / y = 2x}

0

2

4

6

8

11

0

1

2

3

4

O que há de especial nesta relação?


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Relações especiais

Relações especiais

  • O que há de especial?Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio)

0

2

4

6

8

11

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


Por que essa caracter stica especial

Por que essa característica é especial?

A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.


Fun es defini o

Funções: definição

  • Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B.

  • Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.


Fun es nota o

Funções: Notação

  • Exemplo:

    • Dada a função f:N N, definida para todo natural n  N, tal que f(n)=2n+1

      • 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar!

      • Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1)

      • Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3)

      • Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5)

      • Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)


Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es

Representação no plano cartesiano - Funções

A={0, 1 ,2, 3}

B={0, 2, 4, 6}

B

R= {(x,y)AxB / y=2x}

A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos.

A


Fun es classifica o

Funções - Classificação

Injetora, Sobrejetora e Bijetora


Fun o injetora

Função Injetora

  • É a função na qual:

    x1  x2 então f(x1)  f(x2)

0

2

4

6

8

11

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


Fun o sobrejetora

Função Sobrejetora

  • É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im

0

2

4

6

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


Fun o bijetora

Função Bijetora

  • É a função que é injetora e sobrejetora.

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


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