Conjuntos opera es com conjuntos rela es e fun es
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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções PowerPoint PPT Presentation


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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções. Atenção: Este conteúdo foi disponibilizado de acordo com uma licença Creative Commons. Fique atento às regras da licença ao utilizá-lo Atualizado em Fevereiro de 2011. Conjuntos. Wikipedia: Coleção de elementos Exemplos:

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Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

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Presentation Transcript


Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

Atenção:

Este conteúdo foi disponibilizado de acordo com uma licença Creative Commons. Fique atento às regras da licença ao utilizá-lo

Atualizado em Fevereiro de 2011


Conjuntos

  • Wikipedia:

    • Coleção de elementos

      Exemplos:

      Conjunto de cidades da RMC:

      Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo.

      Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9:

      4, 6 e 8


Conjuntos numéricos

  • A={0, 2, 4, 6, 8, ...}

  • B={0, 2, 4, 6, 8, 10}

  • C={1, 3, 5, 7, 9, ...}

  • D={3, 5}

  • E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}


Conjuntos importantes

  • Conjunto vazio:

  • Conjunto unitário:

  • Conjunto Universo (U)

    • Formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.


Relações entre conjuntos

1 pertence a A

{1} está contido em A

{3} não está contido em B

B está contido em A

A não está contido em B

O conjunto vazio está contido em B


Conjunto das partes

  • É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado.

    • B={1, 2, 3}

    • P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}


Conjunto das partes

  • Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes:

    • Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento

    • {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos

    • {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos


Conjunto das partes

  • Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n


Operações com conjuntos


Operações com conjuntos:Intersecção

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A  B = {x/xA e x  B} (Intersecção)

  • A  B = {0, 2}

A

0 2

B

1 3 4

5 6


Operações com conjuntos:União

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A  B = {x/xA ou x  B} (União)

  • A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6}

A

0 2

B

1 3 4

5 6


Operações com conjuntos:

Diferença

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A - B = {x/xA e xB} (Diferença)

  • A - B = {1, 3, 4}

A

0 2

B

1 3 4

5 6


Operações com conjuntos:

Complementar

  • Caso especial: um conjunto está contido no outro:

    • A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos:

  • O complementar de B em relação a A:

A

B

0 1 2

5 6

A  B = {0, 1, 2, 5 ,6} = BA  B = {0, 1, 2} = A

A-B={ }B-A={5, 6}


Operações com conjuntos:

Produto cartesiano

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano)

    • AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)}

    • Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20

    • Par ordenado: (2, 0)(0, 2)


Representação no plano cartesiano

A={0, 1 ,2, 3, 4}B={0, 2, 5, 6}

B

  • Atenção para:

  • AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical

  • (0,2) e (2,0) são pontos distintos

  • Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação!

A


Conjuntos numéricos


Conjuntos numéricos

Conjunto dos Números Naturais (N)


Conjuntos numéricos

Conjunto dos Números Inteiros (Z)


Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Racionais (Q)


Conjuntos numéricos

  • Representação decimal de números racionais:

    • A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b.

    • Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:


Conjunto numéricos

Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)

Números decimais que não admitem representação fracionária

Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas


Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Reais (R)

N

Z

Q

I


Intervalos numéricos (reais)


-3

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, +) = ]-3, +) ={x   / x > -3}

[-3, +) = [-3, +) ={x   / x  -3}

-3


-3

4

Intervalos numéricos (Reais)

(-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x   / -3 < x < 4}

(-3, 4] = ]-3, 4] ={x   / -3 < x  4}

-3

4


Relações entre conjuntos


Relações entre conjuntos

  • Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos:

  • R = {(x,y)AxB / x+y>4}

    • R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2); (3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)}

    • N(R)=12


Relações entre conjuntos

  • Representação gráfica:

    • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}

    • R = {(x,y)AxB / x+y>4}

0

1

2

3

4

0

2

5

6


Relações entre conjuntos

Relações entre conjuntos

  • Representação gráfica:

    • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6}

    • R = {(x,y)AxB / x+y>4}

0

1

2

3

4

0

2

5

6


Representação no plano cartesiano - Relações

Representação no plano cartesiano - Relações

A={0, 1 ,2, 3, 4}

B={0, 2, 5, 6}

B

R= {(x,y)AxB / x+y>4}

Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos.

A


Relações especiais

  • Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos:

  • R = {(x,y)AxB / y = 2x}

    • R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)}

    • N(R)=5


Relações especiais

Relações especiais

  • Representação através de diagrama:

    • A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11}

    • R = {(x,y)AxB / y = 2x}

0

2

4

6

8

11

0

1

2

3

4

O que há de especial nesta relação?


Relações especiais

Relações especiais

  • O que há de especial?Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio)

0

2

4

6

8

11

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


Por que essa característica é especial?

A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.


Funções: definição

  • Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B.

  • Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.


Funções: Notação

  • Exemplo:

    • Dada a função f:N N, definida para todo natural n  N, tal que f(n)=2n+1

      • 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar!

      • Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1)

      • Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3)

      • Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5)

      • Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)


Representação no plano cartesiano - Funções

A={0, 1 ,2, 3}

B={0, 2, 4, 6}

B

R= {(x,y)AxB / y=2x}

A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos.

A


Funções - Classificação

Injetora, Sobrejetora e Bijetora


Função Injetora

  • É a função na qual:

    x1  x2 então f(x1)  f(x2)

0

2

4

6

8

11

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


Função Sobrejetora

  • É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im

0

2

4

6

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


Função Bijetora

  • É a função que é injetora e sobrejetora.

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

ConjuntoImagem

Conjunto Domínio

Conjunto Contradomínio


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