Progetto Complex Systems in Economics

1. ProgettoComplex Systems in Economics Seminario di studio “Modern Portfolio Performance in Asset Pricing Models” Trieste, Facoltà di Economia 23-24 giugno 2004 “Funzione logistica e bolla speculativa” (a cura di Maurizio Fanni e Antonella De Arca)

2. Abbiamo già discusso dell’equilibrio su un mercato ad efficienza forte. Le espressioni mostrate suppongono che i movimenti dei prezzi dei titoli di un mercato finanziario si compenetrino tra loro per effetto dei processi di diversificazione che intervengono grazie alle decisioni d’investimento e disinvestimento degli operatori.

3. L’importanza della spiegazione offerta sta nell’individuazione di • comportamenti tipo • benchmark numerici di riferimento Non si tratta di sostenere che le HMY sono vere e trovano puntuale manifestazione. Si tratta, invece, di utilizzare le logiche di equilibrio per disporre di una guida per comprendere i casi aventi comportamento difforme.

4. Noi dobbiamo proiettarci verso la dinamica dei sistemi complessi, ma dobbiamo pretendere che l’abbandono dei modelli delle scelte di portafoglio (media-varianza) sia sostituito da altri alternativi metodi di calcolo che ci portino verso soluzioni più prossime al reale.

5. Quali informazioni ci ha offerto il sistema H.M.Y? Ecco le relazioni fondamentali

6. SML Indice di Sharpe Indice di Sharpe

7. valore assoluto del premio per il rischio totale premio per il rischio totale

8. tolleranza al rischio del mercato da parte della generalità degli investitori tolleranza al rischio di un titolo del portafoglio di mercato da parte della generalità degli investitori

9. misura del rischio tollerato da parte della generalità degli investitori predizione del futuro prezzo di un titolo del portafoglio predizione del futuro valore della capitalizzazione in scenari diversi

10. Spiegazione dell’andamento di , per meri cambiamenti di : se si riduce, M si colloca in un punto più basso della frontiera efficiente se si accresce, M si colloca in un punto più alto della frontiera efficiente

11. equazione di stato pressione esercitata verso gli investitori con volume di contenimento del rischio

12. pressione all’investimento data la velocità dei movimenti dei prezzi energia del mercato data la velocità media dei movimenti dei prezzi

13. La crescita dell’energia e della temperatura del sistema. L’introduzione di forze del sistema Le forze endogene e quelle esogene del sistema incidono sui parametri e . Si ricordi che

14. Le forze considerabili: • innovazioni d’ogni tipo • politiche fiscali • politiche monetarie • politica economica

15. In questa sede non analizzeremo le forze ricordate ma immagineremo il loro peso su: e perciò su

16. In particolare non prenderemo tanto in esame il mutamento della pressione verso l’investimento dovuto a spostamenti di (che peraltro non escludiamo), quanto cambiamenti di aventi origine nei processi imitativi degli operatori, quali si verificano in brevi intervalli di tempo.

17. Ci interessa il fatto che: il processo imitativo si incrementi nel tempo anche per la presenza di fattori psicologici ed irrazionali il processo imitativo dia vita ad una catena di cambiamenti che si riflettono su

18. Ci si aspetta in altre parole: un incremento di pressione su singoli titoli una riflessione strutturale di tale incremento sugli altri titoli una crescita vigorosa di in un breve intervallo di tempo una crescita dell’energia del sistema crescita

19. L’incremento di pressione sul singolo titolo target non richiede spiegazioni: frequentemente accade (è davanti agli occhi di tutti). In un primo momento il titolo potrebbe essere effettivamente sottovalutato ed offrire perciò un sovrarendimento rispetto al suo tasso atteso: con produzione di VAN.

20. In seguito, il processo imitativo, assieme ad altre circostanze quali il momento economico attraversato dal mercato, ed il tipo di mercato - si pensi al NASDAQ - può far sì che il fenomeno prosegua. Il titolo non è più sottovalutato, ma viene considerato target: è vero che il suo prezzo è più alto di quello equo, ma continua ad offrire buoni rendimenti in quanto il prezzo continua a salire (e si giudica non conclusa la sua fase di crescita).

21. Orbene quando il mercato è efficiente, l’aumento di pressione per diminuzione prevista di , NON CAMBIA DI PER SE LA CAPITALIZZAZIONE DI BORSA. Infatti la maggiore pressione all’investimento è compensata da una diminuzione del volume di contenimento del rischio (cioè del valore di mercato dell’utilità all’investimento per unità di rischio). cresce si riduce

22. Accade che (e cioè la tolleranza al rischio) si riduce; il premio per il rischio totale cresce, come segue: si riduce si riduce cresce =1

23. Se invece l’evoluzione del mercato avviene con modificazione diretta di (per mutato sentiment del mercato), si genera un’escalation* nella crescita o nella decrescita della capitalizzazione di borsa. Così, ad esempio, si immagina che per effetto del nuovo stato di cose la velocità media dei movimenti dei prezzi, per processi di imitazione, si alzi oltre il livello d’equilibrio delle equazioni di stato e cioè quello che risulta dalla relazione * Un’escalation perchè il mutamento nel prezzo di un titolo si porta dietro altri mutamenti in altri prezzi del portafoglio (si riconfigura il medesimo)

24. Ne consegue istantaneamente: una crescita dell’energia una crescita della capitalizzazione, essendo comunque e quindi con, di frequente, necessità di ridisegnare i vari scenari che individuano ed il suo valore massimo

25. Le variazioni di e sono perciò cruciali, riflettendosi sulle condizioni di equilibrio. Analizzando il parametro emerge come i suoi cambiamenti possano essere talvolta anche irruenti. Nell’immaginare una crescita dei prezzi dei titoli, per processi di imitazione, si è ritenuto di fare riferimento ad una nota successione numerica che possiede legami con i meccanismi di accumulazione dell’interesse (formula del montante) e con l’evoluzione temporale dei mercati.

26. Si tratta della c.d. funzione logistica e cioè di un sistema dinamico discreto (SDD) che evolve a passi costanti della variabile tempo, secondo una legge ricorsiva (e cioè svolgendosi per iterazioni successive come nei sistemi di feed-back).

27. La sua semplicità non deve trarre in inganno. Rappresenta il primo nucleo dei sistemi complessi, ed ha la capacità di esprimere situazioni di equilibrio, come pure di disequilibro e di caos. Proviamo ad utilizzarla per simulare una bolla speculativa. E intendo per bolla speculativa la levitazione dei movimenti dei prezzi che si riflette sull’indice di mercato.

28. La bolla speculativa è allora quel processo di mercato (coinvolgente più titoli) in cui accade che la media velocità delle particelle (i movimenti de prezzi, diversificati attraverso la loro compenetrazione), cresce di giorno in giorno, o di ora in ora. Data la formula della velocità l’innalzamento di eleva via via e ciò si riflette su e su e perciò sul prezzo dei titoli e indici.

29. Il processo finanziario che vi presento, studiato con la collaborazione della dott.ssa Antonella De Arca, si ispira al modello di Pierre Verhulst (1804-1849), ma se ne differenzia in un aspetto rilevante: è stato ricostruito per simulare il metodo di Markowitz di determinazione dei tassi storici di rendimento.

30. Ho notato che altri hanno avuto un’idea simile: ma non hanno ottenuto buoni risultati in quanto hanno meramente trasferito al campo della finanza la c.d. “mappa logistica” che non è direttamente leggibile nel territorio della finanza.

31. Tra questi, ad esempio, vi è Peters*, il quale nel corso della sua analisi afferma : ”Questo modello non è realistico!”. Viene immaginata un’equazione del seguente tipo da utilizzare ricorsivamente e cioè per iterazioni successive. *Peters Edgar E., Chaos and order in the Capital Markets, John Wiley e sons, inc 1991, poi riprodotto in altri suoi testi più recenti

32. Le riflessioni di Peters sono però interessanti. Afferma: “Il modello spiega come la pressione all’investimento degli acquirenti i titoligenera un tasso di crescita (interno); quella al disinvestimento dei venditori genera un tasso di repulsione (interno) o di regresso”.

33. Sia il livello massimo raggiungibile dalla capitalizzazione di borsa di un indice. Sia il livello attuale di capitalizzazione del medesimo indice. Indichiamo con il tasso di sviluppo pronosticato per l’indice. Si ha

34. Conviene indicare il prezzo con esprimendolo come frazione del livello massimo dell’indice. Si ha avendo posto

35. Per evidenziare la tensione verso il caos si usa la c.d. mappa logistica così espressa: Le due relazioni divengono equivalenti effettuando le seguenti posizioni: e

36. La trasformata è la seguente

37. Nel seguito effettueremo diverse iterazioni a partire dalla relazione (2) sulla base di diverse alternative del parametro di controllo .

38. Sintesi dei risultati Gli esperimenti condotti hanno come obiettivo quello di mostrare eventuali analogie tra il fenomeno della bolla speculativa e la mappa logistica.

39. L’espressione [1] è l’equazione di Verhulst (e di Markowitz) con soglia, l’espressione [2] è la formulazione classica della mappa logistica . I valori iniziali sono 0,020 0,020 +1 0,999600798 0,20 Sono state compiute 250 iterazioni con il programma Excel. I primi risultati sono esposti nei due grafici sottostanti.

42. I primi 10 valori iterati ottenuti per entrambe le relazioni per a =1.002

45. I primi 10 valori iterati ottenuti per entrambe le relazioni per a = 2

48. I primi 10 valori iterati ottenuti per entrambe le relazioni per a = 2.90