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Des situations familières concernant les instruments produisant du hasard

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Des situations familières concernant les instruments produisant du hasard. Le lancer de punaise :. G P. En lançant un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de G et de P. Quelle est la probabilité d’obtenir G ?.

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Presentation Transcript
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Le lancer de punaise :

G P

En lançant un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de G et de P.

Quelle est la probabilité d’obtenir G ?

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« On peut supposer qu’une chose particulière se produira ou non autant de fois qu’elle s’est produite ou non dans le passé, dans des circonstances semblables ».

« Même le plus stupide des hommes, par quelque instinct de la nature, par lui-même et sans aucune instruction (et c’est une chose remarquable), est convaincu que plus on fait d’observations, moins on risque de s’écarter de notre but ».

Bernouilli

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Pour certains des jeux évoqués précédemment, on peut obtenir la probabilité d’un résultat (d’une issue) par des considérations de symétrie ou de comparaison.

La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5.On a 3 chances sur 5 d’obtenir une boule rouge.

Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles ont la même probabilité : 1/2

La probabilité de gagner est 1/4, …

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Pour le lancer de punaise : approche fréquentiste…

G P

En lançant un grand nombre de fois la punaise, on obtient une suite de G et de P. Pour un petit nombre d’expériences, cette suite ne semble suivre aucune loi ; mais le résultat global laisse apparaître une régularité dans la fréquence de sortie de P et de G.

Au début, la fréquence (relative) du nombre de G varie très fortement. Mais à la longue, elle tend à se stabiliser autour d’une valeur p [qui vaut à peu près 5/6].

C’est pour traduire ce fait empirique que l’on dit que la probabilité d’obtenir G est p.

Pour le lancer de la punaise, on ne peut approcher cette probabilité que par l’expérimentation.

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Autres exemples :

Chaque résultat a la même probabilité : 1/6.

Les résultats 1, 2, 3, 4 et 5 ont respectivement comme probabilités :1/3, 1/6, 1/4, 1/6 et 1/12.

La probabilité d’obtenir un résultat pair est 1/6 + 1/6, c’est-à-dire 1/3.

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Un tireur novice tire parfaitement au hasard sur la cible ci-contre. Tous les cercles sont concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et 6r.

Quelles sont les probabilités pour le tireur d’atteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ?

Réponse : 1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36, 11/36.

Le même tireur tire parfaitement au hasard sur cette nouvelle cible. Tous les cercles sont concentriques et leurs rayons sont r, 2r, 3r, 4r, 5r et le carré a un côté de longueur 12r.

Quelles sont les probabilités pour le tireur d’atteindre chacune des régions 10, 9, …, 5 ?

Réponse : 0,022 ; 0,065 ; 0,109 ; 0,153 ; 0,196 ; 0,455.

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Expériences à deux épreuves : jeu de croix ou pile

1er jet :

P ( G : ½ )

F (½) alors 2ème jet :

P (G : ½ du 2ème jet)

F (P : ½ du 2ème jet)

Proportion de parties gagnées =

½ au 1er jet + ½ de ½ au 2ème jet =

½ + ½ x ½ = ½ + ¼ = ¾

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Expériences à deux épreuves : jeu de croix ou pile

Simulation au tableur :

Proportion de parties gagnées =

½ au 1er jet + ½ de ½ au 2ème jet =

½ + ½ x ½ = ½ + ¼ = ¾

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1

R

3

2

3

B

2

2

1

1/6

1/2

2

R

1/4

1/3

3

1/6

1

3/4

1/2

B

2

1/3

3

Expériences à deux épreuves : suite

Les résultats possibles sont (R, 1), (R, 2), (R, 3), (B, 1), (B, 2), (B, 3).

Chacun de ces résultats est représenté dans l’arbre ci-contre par une branche (ou chemin).

Comment évaluer la probabilité de chacun d’eux ?

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Imaginons que l’on reproduise 120 (ou N) fois l’expérience.1/4 de ces expériences suivront la branche vers R, et parmi celles-ci 1/6 iront vers 1. Donc il y en aura :

La fréquence (relative) du résultat (R, 1) est donc 5/120 (ou 1/24).

Ceci conduit à admettre que, de manière générale, la probabilité “d’un chemin” est égale au produit des probabilités “rencontrées le long de ce chemin”.

slide12

R

R

J

2/5

R

3/5

J

O

R

O

1/6

1/6

R

R

1/5

1/6

1/3

1/5

1/3

1/3

J

J

J

J

3/5

O

1/2

O

1/2

1/2

R

1/5

R

O

O

2/5

J

J

O

2/5

O

On peut traiter avec ces représentations en arbres les questions relatives à deux tirages successifs dans une urne, avec remise ou sans remise.

Urne avec 3 boules Orange, 2 boules Jaunes, 1 boule RougeProbabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.

Tirages avec remise

Tirages sans remise

P(E) = 1/6  1/6 + 1/3  1/3 + 1/2  1/2 = 7/18 39 %

P(E) = 1/3  1/5 + 1/2  2/5 = 4/15 27%

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En résumé

  • Deux interprétations de la probabilité sont possibles en 3e :
  • Approche fréquentiste – La probabilité est estimée à partir de la fréquence.
  • Détermination de la probabilité par comparaison ou symétrie (cette seconde approche ne doit pas empêcher d’expérimenter).
  • L’arbre est un moyen de traitement intéressant qu’il convient de mettre en place sur des expériences à une épreuve. Mais son utilisation deviendra vraiment intéressante pour des expériences à deux épreuves.
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