CCR-DEA ja tuotantomahdollisuusjoukot + DEA-sovellus

1. CCR-DEA ja tuotantomahdollisuusjoukot + DEA-sovellus Mat-2.4142 Optimointiopin seminaariKevät 2013Esitelmä #2Juho Andelmin 23.01.2013 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

2. Esitelmän rakenne • Tuotantomahdollisuusjoukko CCR-mallissa • CCR = CRS = (Constant Returns to Scale) • Perusta CCR-mallin muodostamiseen ja tutkimiseen • CCR-malli LP-tehtävänä ja sen duaali • Tehokkuuskäsitteitä, mallin parametrien tulkintaa • Referenssijoukko, tehottomien yksiköiden parantaminen • Laskentatehokkuus: primaalin ja duaalin erot • Esimerkki: DEA-sovellus LP-duaalin avulla • Tulkitaan parametreja ja kertoimia • Havainnollistetaan kuvan avulla

3. Tuotantomahdollisuusjoukko CCR-mallissa: Oletukset • Oletus: päätöksentekoyksikköä (DMU); jokaisella DMUj , on • kappaletta panoksia • kappaletta tuotoksia • Panoksille ja tuotoksille pätee: • ja • Kutsutaan tällaisia panos-tuotos pareja aktiviteeteiksi

4. Tuotantomahdollisuusjoukko CCR-mallissa: Ominaisuudet • Havaitut aktiviteetit kuuluvat tuotantomahdollisuusjoukkoon • Jos aktiviteetti • Vakioskaalatuotto (Constant Returns to Scale) • Yksikön koko ei rajoita tehokkuuksien vertailua • Olkoon . Mille tahansa , ja , pätee • Jokainen joukon aktiviteettien semipositiivinen() lineaarikombinaatio kuuluu joukkoon

5. Tuotantomahdollisuusjoukko CCR-mallissa: Joukon esitys • Määritellään matriisit ja siten, että • Sarakkeet ovat DMUj :n panokset • Sarakkeet ovat DMUj :n tuotokset • Tuotantomahdollisuusjoukko voidaan tällöin määritellä • CCR-mallissa • Vaihtoehtoisesti: BCC-mallissa • Suosii esimerkiksi pieniä tai suuria yksiköitä • CCR-mallilla parempi vertailla eri kokoisia yksiköitä

6. Tuotantomahdollisuusjoukko CCR-mallissa: Esitys ja vertailu CCR-malli BBC-malli Tehokas rintama Tehokas rintama Kuva 1 (Honkapuro ym. 2006)

7. CCR-malli LP-tehtävänä ja sen duaali (LPo) • CCR-mallin LP-primaali(LPo) • Vektorit ja painokertoimet tuotoksille ja panoksille • Optimiratkaisu mittaa DMUo:ntehokkuutta (radiaalinen tehokkuus) • CCR-mallin LP-duaali(DLPo) • Optimiratkaisu • Etsitään pienin s.e. • ei takaa CCR-tehokkuutta(määritellään myöhemmin) s.e s.e (DLPo)

8. CCR-mallin LP-duaali ja slack-vektorit • Muutetaan DLPo perusmuotoon • Slack-vektorit ja : • mittaa panosten ylijäämää • mittaa tuotosten vajausta • ja saadaan laskettua sijoittamallaoptimiratkaisu tehtävään (P2) s.e s.e (DLPo) (P2) ,

9. CCR-mallin tehokkuuskäsitteitä • DMUo on CCR-tehokas(P2DLPo) perusteella, jos • Optimiratkaisu • Molemmat ja • CCR-tehokkuus (LPo) perusteella: • Optimiratkaisu • ja • Molemmat määritelmät ekvivalentteja: • (LPo)ja (P2DLPo) optimiratkaisuille päteeja (komplementaarinen ei-sitovuus) • Jos ainoastaan ehto 1 täyttyy, DMUo on heikosti tehokas s.e (P2DLPo)

10. CCR-malli: referenssijoukot jatehokkuuden parantaminen • Tehottoman DMUoreferenssijoukko saadaan suoraanduaalitehtävän kertoimien avulla: • , • Muille rajoituksista saadaan • Havaitulle aktiviteetille pätee s.e (P2DLPo) Kombinaatio pisteistä (pisteet CCR-tehokkaita)

11. CCR-malli: referenssijoukot jatehokkuuden parantaminen • Määritellään parannukset DMUo:n aktiviteetille • ja • Saadaan aktiviteetin CCR-projektio • Positiivinen kombinaatio :nDMU:ista on CCR-tehokas • on CCR-tehokas • Lisäksi on piste tehokkaalla rintamalla, josta DMUo:n tehokkuus arvioidaan

12. CCR-mallin ratkaiseminen: Primaalin ja Duaalin erot (LPo) • Primaalitehtävässä rajoitusta • Päätösyksiköiden lukumäärä • Duaalitehtävässä rajoitusta • Panosten ja tuotosten lukumäärä • Tavallisesti • Duaalilla ratkaisu tehokkaampaa • Vaaditaan vähemmän muistia • Primaalista ei saada slack-vektoreita • Duaalitehtävän ratkaisu helpompi tulkita • Referenssijoukko, tehokkuusvajeet s.e s.e (DLPo)

13. CCR-malli: DEA-sovellus • Esimerkki: 2 panosta ja , 1 tuotos • Ratkaistaan duaalin (P2DLPo) avulla jokaiselle DMUo • Tehokkuus • Slack-muuttujat ja • Painot ja niiden avulla referenssi-joukko (jos ei sitä mainita) s.e (P2DLPo)

14. CCR-malli: DEA-sovellusDMUA (P2DLPA) s.e , Ratkaisuksi saadaan

15. CCR-malli: DEA-sovellusDMUA • Tehokkuusluku , joten A ei ole CCR-tehokas • Koska slack-muuttujat = 0, tehottomuus on radiaalista • Tehokkuus saavutetaan CCR-projektiolla: • ja , joten ja Ratkaisuksi saadaan

16. CCR-malli: DEA-sovellusDMUF (P2DLPF) s.e , Ratkaisuksi saadaan

17. CCR-malli: DEA-sovellusDMUF • Tehokkuusluku , joten F on heikosti tehokas • Koska slack-muuttuja , F ei ole CCR-tehokas • Panoksella on ylijäämää 2 yksikköä • Saadaan tehokkaaksi vähentämällä • Tuotokset pysyvät samana • , joten Ratkaisuksi saadaan

18. CCR-malli: DEA-sovelluksen kaikki yksiköt Tehokas rintama Kuva 2. (Cooper ym., 2007)

19. Kotitehtävä 2 • Ratkaise taulukon 1 datasta (2 panosta ja , 1 tuotos ) duaalin (P2DLPo) avulla jokaisen DMUo • Tehokkuudet • Panosten slack-muuttujat • Optimipainot • Referenssijoukot • Tehottomien yksiköiden CCR-projektiot s.e (P2DLPo) Taulukko 1

20. Ohje kotitehtävään 2 • Ratkaise ensin minimointitehtävän vaihe P1 annetuilla rajoitteilla, ja sijoita sen optimiarvo vaiheeseen P2 ja käytä samoja rajoitteita • Tarkemmat tiedot luentomonisteessa • Ratkaistavissa helposti LP-solverillaesim. lp_solve s.e (P2DLPo)

21. Lähteet • Cooper, William W., Seiford, Lawrence M., Tone, Kaoru: DATA ENVELOPMENT ANALYSIS A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software (2007) sivut 41-85. • S. Honkapuro, K. Tahvanainen, S. Viljainen, J. Lassila,J. Partanen, K. Kivikko, A. Mäkinen, P. Järventausta:DEA-mallilla suoritettavan tehokkuusmittauksen kehittäminen (2006)