Teorie e tecniche di psicometria
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Teorie e Tecniche di Psicometria. Roberto Bolzani & Mariagrazia Benassi. Programma del Corso. Introduzione. Legge statistica e legge deterministica Le principali definizioni di probabilità Proprietà della probabilità. Programma del Corso. Parametri statistici. Parametri descrittivi

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Presentation Transcript
Teorie e tecniche di psicometria

Teorie e Tecniche di Psicometria

Roberto Bolzani & Mariagrazia Benassi


Introduzione

Programma del Corso

Introduzione

  • Legge statistica e legge deterministica

  • Le principali definizioni di probabilità

  • Proprietà della probabilità


Parametri statistici

Programma del Corso

Parametri statistici

  • Parametri descrittivi

  • Distribuzioni di probabilità

  • Densità di probabilità

  • Le principali distribuzioni di probabilità


Il test statistico

Programma del Corso

Il test statistico

  • Logica del test statistico

  • L’ipotesi nulla

  • Significatività

  • Potenza del test

  • Numerosità del campione


Test parametrici

Programma del Corso

Test parametrici

  • Il t-test

  • Analisi della varianza

  • Analisi della regressione

  • Analisi per prove ripetute

  • Analisi multivariata

  • Il modello lineare generale


Test non parametrici

Programma del Corso

Test non-parametrici

  • Confronto fra variabili qualitative

  • Le tavole di contingenza

  • La regressione logistica


Bibliografia
Bibliografia

  • Bolzani R., Canestrari R. (1994) Logica del test statistico. Milano, Casa Editrice Ambrosiana.

  • Bolzani R. (1999) Problemi di statistica. Milano, Casa Editrice Ambrosiana.

  • Bolzani R., Benassi M. (2003) Tecniche Psicometriche. Roma, Carocci


Introduzione1
Introduzione

  • Legge deterministica: corrispondenza univoca fra due eventi, causa ed effetto.

  • Legge probabilistica: corrispondenza fra un evento e un insieme di possibili eventi


Finalit della ricerca scientifica
Finalità della Ricerca Scientifica

  • Dimostrazione di leggi scientifiche su base sperimentale

  • Interpretazione dei dati sperimentali


Definizioni di probabilit
Definizioni di probabilità

  • Classica. Dato un insieme di eventi equiprobabili la probabilità di un evento è data da

    numero di eventi favorevoli

    numero di casi possibili

  • Frequentista. La probabilità di un evento è la frequenza con cui esso si presenta in un numero molto elevato di prove.


Definizioni di probabilit1
Definizioni di probabilità

  • Assiomatica. La probabilità è definita dalle condizioni:

    • Ad ogni evento A corrisponde un valore p(A) maggiore o uguale a zero

    • La probabilità di tutti gli eventi possibili è uno

    • La probabilità che si verifichi A o B, essendo A e B mutuamente escludenti, è data dalla somma della probabilità di A e della probabilità di B


In formule:

  • p(A)  0

  • p() = 1

  • p(A o B) = p(A) + p(B)

    se p(A&B)=0


Definizioni di probabilit2
Definizioni di probabilità

  • Soggettiva. La probabilità di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue informazioni, all’avverarsi di E.

    • coerenza

    • informazione


Il paradosso di bertrand
Il Paradosso di Bertrand

Problema: Calcolare la probabilità di trovare una corda casuale di una circonferenza più lunga del lato del triangolo equilatero iscritto.


Il paradosso di bertrand1
Il Paradosso di Bertrand

1a Soluzione:

Scegliere un punto

interno alla

circonferenza

inscritta

p=1/4


Il paradosso di bertrand2
Il Paradosso di Bertrand

2a Soluzione:

Scegliamo il punto

d’origine della corda

nell’apice del triangolo

p=1/3


Il paradosso di bertrand3
Il Paradosso di Bertrand

3a Soluzione:

Scegliere un punto

casuale su un raggio

della

circonferenza

p=1/2


Propriet della probabilit
Proprietà della Probabilità

La probabilità di un evento impossibile è

zero.

Non vale la proposizione inversa. Se la probabilità è zero l'evento non è necessariamente impossibile.

  • Es. La probabilità di ottenere 7 nel lancio di un dado a sei facce è zero. La probabilità di avere su infiniti lanci di una moneta nemmeno un risultato 'testa' è zero ma l'evento non è impossibile.


Propriet della probabilit1
Proprietà della Probabilità

La probabilità di un evento certo è uno.

Non vale la proposizione inversa.

Es. La probabilità di ottenere un numero compreso fra uno e sei in un lancio di un dado è uno.

La probabilità di avere su infiniti lanci di una moneta almeno un risultato 'testa' è uno pur non essendo l'evento certo.


Propriet della probabilit2
Proprietà della Probabilità

Probabilità condizionata:

p(A|B) = probabilità che avvenga A essendo avvenuto B.

Es. probabilità di ottenere 12 in due lanci di un dado sapendo che nel primo lancio è risultato 6.


Propriet della probabilit3
Proprietà della Probabilità

Eventi indipendenti: A e B sono indipendenti quando l’avverarsi di uno non influenza l’avverarsi dell’altro.

Cioè p(A|B) = p(A)

Es. la probabilità di avere testa nel primo lancio e croce nel secondo


Propriet della probabilit4
Proprietà della Probabilità

Eventi disgiunti: A e B sono eventi disgiunti se il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro.

Es. testa e croce


Propriet della probabilit5
Proprietà della Probabilità

Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B:

p(A&B) = p(A)  p(B|A).

Se A e B sono indipendenti:

p(A&B)= p(A)  p(B)


Propriet della probabilit6
Proprietà della Probabilità

Evento somma: Evento in cui si verifica A o B o, se non sono disgiunti, entrambi:

p(A+B) = p(A) + p(B) ‑ p(A&B)

Es. Nel lancio di un dado:

P(pari)=1/2 P(<4)= 1/2

P(pari e <4) = 1/6

P(pari o <4)= 1/2+1/2-1/6 = 5/6


Propriet della probabilit7
Proprietà della Probabilità

Evento complementare: Evento in cui non si verifica A: p(Ã)=1 ‑ p(A).

Es. il complementare del risultato 6 è il risultato 1 o 2 o 3 o 4 o 5.


Parametri descrittivi
Parametri descrittivi

  • Frequenza di un evento: Numero di volte in cui si verifica un evento diviso per il numero totale delle occorrenze.


Parametri descrittivi1
Parametri descrittivi

  • Media: somma di tutti i valori di una variabile divisa per il numero totale dei valori.

  • Varianza: somma dei quadrati degli scarti dei singoli valori dalla media divisa per i gradi di libertà.

  • Deviazione standard: radice quadrata della varianza


Parametri descrittivi2
Parametri descrittivi

  • Valore atteso (Expected value)

    • caso discreto

    • caso continuo

  • Varianza: valore atteso degli scarti al quadrato


Parametri descrittivi3
Parametri descrittivi

  • Legge dei grandi numeri: Al crescere del numero delle prove

    dove pE è la probabilità dell'evento E, fE la sua frequenza,  una costante qualsiasi > 0.


Parametri descrittivi4
Parametri descrittivi

  • Percentile: ordinando i casi secondo il valore di una variabile, l'n-esimo percentile è il limite al di sotto del quale si trova l'n% dei casi.

  • Mediana: punto che divide la popolazione in due parti di uguale numerosità. Corrisponde al 50 percentile.

  • Moda: valore per cui si ha un picco di frequenza. Caratterizza la distribuzione, che risulta unimodale, bimodale etc. a seconda dei picchi presenti.


Distribuzioni di probabilit
Distribuzioni di Probabilità

Insieme dei valori di probabilità che competono a ciascun valore della variabile.

Funzione di distribuzione: funzione che rappresenta per ogni x la probabilità di ottenere un valore minore o uguale a x.


Distribuzioni di probabilit1
Distribuzioni di Probabilità

  • Se la variabile è discreta abbiamo una probabilità per ogni valore x discreto della variabile.

  • La funzione di distribuzione si ottiene sommando le probabilità di tutti i casi aventi un valore inferiore ad X.


Distribuzioni di probabilit2
Distribuzioni di Probabilità

  • Se la variabile è continua la probabilità di un singolo valore della variabile è nulla essendo la probabilità di un valore su infiniti valori possibili. La funzione di distribuzione viene allora definita da

  • La funzione f(x) è la densità di probabilità e rappresenta la probabilità che il valore di x sia compreso in un intervallo infinitesimo, diviso per l’ampiezza dell’intervallo.


Distribuzioni di probabilit3
Distribuzioni di Probabilità

DISTRIBUZIONE UNIFORME

Distribuzione relativa ad una variabile discreta o continua avente uguale probabilità per ciascun suo valore.


Distribuzione binomiale

Distribuzioni di Probabilità

Distribuzione Binomiale

Se il risultato di una prova può essere il successo S o l'insuccesso I con uguale probabilità p=q=1/2, i risultati possibili di due prove sono

SS SI IS II

ciascuno con probabilità 1/4.


Distribuzione Binomiale

In generale su n prove la probabilità di s successi è data da:

dove


Distribuzione binomiale1
Distribuzione Binomiale

  • Se p=q=1/2

La distribuzione sarà simmetrica


Distribuzione binomiale2
Distribuzione Binomiale

Funzione di Distribuzione (Distribuzione Cumulativa)


Distribuzione Binomiale

Se la probabilità di successo p è diversa dalla probabilità di insuccesso q=1‑p allora la probabilità di s successi è data da


Distribuzione binomiale3
Distribuzione Binomiale

Se

La distribuzione sarà asimmetrica


Distribuzione binomiale4
Distribuzione Binomiale

Funzione di Distribuzione (Distribuzione Cumulativa)





Distribuzioni di probabilit4
Distribuzioni di Probabilità

DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

  • Limite della distribuzione binomiale.

  • Curva degli errori.

  • Distribuzione a massima entropia.


DISTRIBUZIONE NORMALE

(GAUSSIANA)

Limite della distribuzione binomiale.

Al crescere di n la distribuzione binomiale tende ad una distribuzione normale con media np e varianza npq.


Distribuzione normale gaussiana
DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

Curva degli errori.

Condizioni:

  • un errore è la somma di molte componenti di uguale ampiezza

  • le diverse componenti sono fra loro indipendenti

  • ciascuna componente è positiva o negativa con uguale probabilità

    allora l'ampiezza dell'errore ha una distribuzione normale.


Distribuzione normale gaussiana1
DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

Distribuzione a massima entropia.

La distribuzione normale è la distribuzione di probabilità con la massima entropia per una variabile compresa fra ‑ e + ed avente un data media e varianza. È quindi la distribuzione meno strutturata, la più casuale.


Distribuzione normale gaussiana2
DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

Una generica variabile normale con media  e varianza ² èindicata con N(,²) e la sua densità di probabilità è


Distribuzione normale gaussiana3
DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

Essendo la distribuzione di una variabile continua il suo valore per un dato x corrisponde alla densità di probabilità per quel valore.



Distribuzione normale gaussiana5
DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

  • Posizione massima

    (giace sulla media)

  • Altezza del massimo

    (tanto più è grande la varianza

    tanto più la curva è allargata)


Distribuzione normale gaussiana6
DISTRIBUZIONE NORMALE (GAUSSIANA)

Una variabile normale a media zero e varianza unitaria è detta variabile z o standard, si indica con N(0,1) e la sua densità di probabilità è data da


DISTRIBUZIONE 2Essendo la distribuzione di una variabile continua il suo valore per un dato x corrisponde alla densità di probabilità per quel valore.2 = z12+ z22+ z32+…..+ zn2 z: N(0,1)

Distribuzioni di Probabilità


Distribuzioni di Probabilità

Distribuzione χ²

χ²4 gl

χ²10 gl


DISTRIBUZIONE tDistribuzione di una variabile rapporto fra una variabile N(0,1) e la radice quadrata di una variabile 2 divisa per i gradi di libertà.È simmetrica e tende alla normale. Ha espressione

Distribuzioni di Probabilità


DISTRIBUZIONE FDistribuzione di una variabile rapporto di due variabili 2 divise per i rispettivi gradi di libertà. Ha espressione

Distribuzioni di Probabilità


Statistica descrittiva

Rappresentazione sintetica dei diversi valori relativi ai soggetti di un determinato gruppo (media, frequenza, percentuale etc.)

Riguarda esclusivamente i soggetti esaminati.

RACCOLTA

DATI

DESCRIZIONE

DATI

IDEA

GENERALE


  • Statistica inferenziale

  • ‑Saggia l'influenza di alcuni fattori sui parametri

  • ‑Classifica soggetti in vari gruppi

  • ‑Prevede l'andamento di certi parametri.

  • Riguarda concetti generali e quindi tutti i possibili soggetti che rispondono a certe caratteristiche.



Statistica inferenziale procedimento
Statistica inferenzialeProcedimento

Ipotesi

Sperimentale

Ipotesi

Nulla Ho

Ipotesi la cui accettazione renderebbe falsa l'idea da verificare.

Viene in genere indicata con H0.


Statistica inferenziale procedimento1
Statistica inferenzialeProcedimento

Ipotesi

Sperimentale

Ipotesi

Nulla Ho

Scelta del Campione

Campione

  • Idoneo a confermare l'idea.

  • Rappresentativo dell'intera popolazione

    (casuale, sufficientemente ampio)

  • Conforme alle richieste del test che si intende utilizzare

    (distribuzione, indipendenza)


Statistica inferenziale procedimento2
Statistica inferenzialeProcedimento

Ipotesi

Sperimentale

Ipotesi

Nulla Ho

Scelta del

Campione

TEST

  • Creati per essere applicati in modo indipendente.

  • Richiedono che i dati sperimentali abbiano determinate distribuzioni teoriche (continuità, normalità ..)

  • In grado di falsificare tipi determinati di ipotesi nulle

Test Statistico


Statistica inferenziale procedimento3
Statistica inferenzialeProcedimento

Ipotesi

Sperimentale

Ipotesi

Nulla Ho

Scelta del

Campione

SIGNIFICATIVITÀ: Probabilità di respingere l'ipotesi nulla pur essendo questa vera.

Si stabilisce a priori quale probabilità di errore consideriamo accettabile per la verifica

(livello di significatività normalmente 0.05 o 0.01).

Test

Statistico

Significatività

p


Statistica inferenziale procedimento4
Statistica inferenzialeProcedimento

Ipotesi

Sperimentale

Ipotesi

Nulla Ho

Scelta del

Campione

Test

Statistico

Respingo Ho

Significatività

p

Non respingo Ho



Statistica inferenziale falsificazione ho
Statistica inferenzialeFalsificazione Ho

Errori di Decisione


Statistica inferenziale falsificazione ho1
Statistica inferenzialeFalsificazione Ho

POTENZA DI UN TEST

Probabilità di respingere H0 quando H0 è falsa. È dato da 1‑. Dipende :

  • da H0 e da H1

  • dalla numerosità del campione

  • dalla minima differenza apprezzabile

  • dalla varianza casuale


Statistica inferenziale falsificazione ho2

H0

H1

Statistica inferenzialeFalsificazione Ho


Statistica inferenziale falsificazione ho3
Statistica inferenzialeFalsificazione Ho

Non falsificazione di H0:

  • l'ipotesi nulla è “vera”

  • scarsa potenza del test:

    • il campione ha varianza elevata

    • scarsa numerosità del campione

    • il campione non soddisfa le condizioni relative alla distribuzione

    • il campione non è rappresentativo dell'intera popolazione

    • non sufficiente separazione fra H0 e H1


Statistica inferenziale falsificazione ho4
Statistica inferenzialeFalsificazione Ho

  • INTERVALLO DI CONFIDENZA:

  • rappresenta la zona, attorno al parametro stimato sperimentalmente, in cui potrebbe cadere il valore vero del parametro con una probabilità 1‑. Ha la stessa estensione dell'intervallo attorno all'ipotesi nulla. Se nell'intervallo di confidenza cade il valore di H0 non si può respingere l'ipotesi nulla.


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