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UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI. UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y HUMANISTICAS DIDACTICA DE LA MATEMATICA ING. MSC. OSCAR GUAYPTIN PICO.

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UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI

UNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y HUMANISTICAS

DIDACTICA DE LA MATEMATICA

ING. MSC. OSCAR GUAYPTIN PICO


  • Didáctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal, la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Las didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.

Introducción


Para BrousseauKieran, la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento. Saber qué es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica.


Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma.


  • La matemática como actividad posee una característica fundamental: La Matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.

  • Treffer en su tesis (1978) distingue dos formas de matematización, la matematizaciónhorizontal y la matematizaciónvertical.

ESTILOS DE LA ENSEÑANZA


La matematización horizontal, nos lleva del mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.

  • En esta actividad son característicos los siguientes procesos

  • IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales

  • ESQUEMATIZAR

  • FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras

  • DESCUBRIR relaciones y regularidades

  • RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas

  • TRANSFERIR un problema real a uno matemático

  • TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.


La MATEMATIZACIÓN VERTICAL, consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos:

  • REPRESENTAR una relación mediante una fórmula

  • UTILIZAR diferentes modelos

  • REFINAR y AJUSTAR modelos

  • COMBINAR e INTEGRAR modelos

  • PROBAR regularidades

  • FORMULAR un concepto matemático nuevo

  • GENERALIZAR

    Estos dos componentes de la matematización pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática.


Para el estructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma. El estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclídea y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado.

Estructuralismo


El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un conjunto de reglas. A los alumnos se les enseña las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización.

Mecanicismo


Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje.

Empirismo


El estilo realista parte así mismo de la realidad, requiere de matematización horizontal, pero al contrario que en le empiricista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc.

Realista


Los estilos empiricista y realista desarrollan bastante la componente horizontal pero sólo el último presta atención a la componente vertical, que es casi inexistente en el primero.


  • Para PolyaTener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.

¿Qué es un problema?


  • Otra definición, parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cuál no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik, 1980).

  • De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes:


  • 1) Aceptación. El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.

  •    2) Bloqueo. Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.

  •    3) Exploración. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.


Tipos de problemas

  • Problema con texto) María ha merendado una hamburguesa y una coca-cola y para pagar su consumición entrega al camarero una moneda de 500 pts. La hamburguesa cuesta 250 pts y la coca-cola 125. ¿Cuánto le devolverá?

  • Puzzle) A partir de seis cerillas construir cuatro triángulos equiláteros.

  • Prueba de una conjetura) Demostrar que si a, b y c son enteros impares, entonces las raíces de la ecuación ax2+bx+c no son racionales.


  • Problemas de la vida real) Queremos enmoquetar una habitación cuya forma es irregular. Deseamos estimar la cantidad de metros cuadrados de moqueta que debemos adquirir.

  • Situación problemática) Un teorema fundamental establece que la descomposición de un número natural en producto de números primos es única. ¿Qué ocurre si cambiamos en dicho enunciado la palabra producto por la palabra suma?

  • Situación) Considere las siguientes parejas de números primos gemelos (3,5) (5,7) (11,13), (17,19) (29,31) (41,43) (71,73).


A partir de tal estudio, Borasi considera que, para ser un buen resolutor de problemas, un alumno debería intentar resolver no sólo muchos problemas, sino una gran variedad de los mismos. Además tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear problemas a partir de situaciones que requieren una formulación precisa de los mismos.


  • Para George Polya (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:

  • Comprender el problema.

  • ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?

  • Concebir un plan.

  • ¿Se ha encontrado con un problema semejante?

  • ¿Conoce un problema relacionado con este?

  • ¿Podría enunciar el problema de otra forma?

  • ¿Ha empleado todos los datos?

El proceso de resolución de un problema


  • Ejecutar el plan.

    ¿Son correctos los pasos dados?

  • Examinar la solución obtenida.

    ¿Puede verificar el resultado?

    ¿Puede verificar el razonamiento?

  • Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como guía para la acción. Los trabajos de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.


  • Una pregunta, ¿Por qué es tan difícil entonces, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas?

  • Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.


  • Recursos congnitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.

  • Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.

  • Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.

  • Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella.


Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason. (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de los trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo


  • Un modelo para la ocupación con problema (Miguel de Guzmán, 1991)

  • Familiarízate con el problema

  • Trata de entender a fondo la situación

  • Con paz, con tranquilidad a tu ritmo

  • Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo

  • Búsqueda de estrategias

  • Empieza por lo fácil

  • Experimenta

  • Hazte un esquema, una figura, un diagrama

  • Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada

  • Busca un problema semejante

  • Inducción

  • Supongamos el problema resuelto

  • Supongamos que no


Lleva adelante tu estrategia

  • Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior

  • Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.

  • ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.


  • Revisa el proceso y saca consecuencias de él

  • Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?

  • Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.

  • Mira si encuentras un camino más simple

  • Mira hasta dónde llega el método

  • Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro


El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la década de los pasados ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la matemática escolar: En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe poner el enfoque en la resolución de problemas.

  • ¿Qué significa poner el enfoque en la resolución de problemas?

  • Cabe al menos tres interpretaciones:

  • Enseñar para resolver problemas

  • Proponer a los alumnos más problemas.

  • Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.

La resolución de problemas como propuesta didáctica


  • No proponer sólo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la investigación por los alumnos.

  • Enseñar sobre la resolución de problemas

  • Enseñanza de la heurística. El objetivo es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar estrategias para la resolución de problemas.

  • Dentro de esta tendencia hay ejemplos en los mismos trabajos citados anteriormente. Sin embargo, parece ser que las destrezas heurísticas son las más apropiadas para tal fin.


Enseñar vía la resolución de problemas

  • Enseñar la matemática a través de problemas.

  • Desarrollo de la capacidad de razonamiento

  • Aplicación de la teoría previamente expuesta.

  • Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea.


  • Pueden observarse desde tres aspectos:a) Formativo, considerándola como enseñanza disciplinadora de la inteligencia.b) Instrumental, considerándola como medio para el estudio de otras cienciasc) Práctico, considerándola por sus muchas aplicaciones en la vida diaria del hombre actual.a) Valor formativoEn las Matemáticas deben destacar los aspectos que contribuyen a considerar su valor formativo.

VALORES Y FINES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA


  • Su estructura responde a un tipo fundamental de razonamiento.

    2. Presenta ciertas características como exactitud, seguridad en los resultados, originalidad.

    3. Contribuye a desarrollar la imaginación.

    4. Ejercita el poder de generalización y abstracción.

    5. Contribuye a perfeccionar el uso del idioma.

    6. Tiene su importancia desde el punto de vista estético y moral.


  • El razonamiento matemático como modalidad fundamental del pensamiento- Valor como razonamiento cuantitativo.- Valor como razonamiento cualitativo.- Comparación del método deductivo con el inductivo.


2. Características de la Matemática que le dan valor formativo

  • Simplicidad. Permite pasar desde la sencilla conclusión teórica al alcance de una mentalidad infantil hasta el más intrincado teorema.

  • Claridad y precisión de conceptos. Las hipótesis, tesis y razonamientos pueden ser considerados con absoluta precisión y claridad.


Objetividad y seguridad de los resultados. Dos personas resuelven un problema por distintos caminos, si ambos planteamientos son correctos, los resultados son iguales.- Originalidad. La analogía, la generalización, la combinación de procedimientos simples, dan elementos suficientes para que el alumno ejercite por sí solo y con éxito, su capacidad de resolver y discutir cuestiones y problemas nuevos, cuya solución será un triunfo de su personalidad en formación.


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