全數數概念國立臺南大學數學教育系謝堅

全數數概念 • 國立臺南大學數學教育系 • 謝堅

數概念　vs　數概念的表徵 • 何謂數概念？ • 何謂數概念的表徵？

何謂數？ • 何謂數字？ • 何謂數詞？ • 何謂數碼？

數字是與他人溝通數概念的文字（符號），不同時代、不同地區的人們發展出不同的數字符號。數字是與他人溝通數概念的文字（符號），不同時代、不同地區的人們發展出不同的數字符號。 • 巴比倫記數法，羅馬記數法，希臘記數法等，它們都是不同的數字符號，印度－阿拉伯數字是現在世界通用的數字。

數詞是與他人溝通數概念的語言（聲音），雖然世界通用的數字是印度－阿拉伯數字，但是不同地區的人們使用著不同的數詞（聲音）來讀印度－阿拉伯數字，｛ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，....｝是我們經常使用的數詞。

｛０，１，２，....，９｝ 這十個數字符號稱之為數碼，這十個數碼是印度－阿拉伯記數系統所使用的基本符號，透過位值概念及逢十進一的約定，這十個數碼經過排列組合，可以最經濟的表徵所有的數量。

數概念是看不見，摸不到的。 • 數字及數詞都是數概念的表徵。 • 數詞「ㄨˇ」或數字「５」，只是經常或較正式使用的數概念表徵，伸出５根手指頭、拿出５個小石頭、點５下頭，都是可以溝通的數概念表徵。

會用數概念的表徵，並不一定有數概念。有數概念，也不一定會使用人們習慣的表徵。會用數概念的表徵，並不一定有數概念。有數概念，也不一定會使用人們習慣的表徵。 • 學童看到骰子出現 5 點，口中唸出「ㄨˇ」點： • 點數有5個黑點。 • 認圖識字，那個圖像的名字是5點。

何謂位值概念？ 下面這三種記數法，那些記數法有位值概念？ • 羅馬記數法：ＣＣＣＸＸ｜｜｜｜ • 中國記數法：３佰２拾４壹 • 印度--阿拉伯記數法：３２４

印度－阿拉伯記數系統是十進位制的記數系統，只要使用０～９十個符號（數碼）加上逢十進一的原則與位值概念，就可以將所有大小的個數都表示出來。印度－阿拉伯記數系統是十進位制的記數系統，只要使用０～９十個符號（數碼）加上逢十進一的原則與位值概念，就可以將所有大小的個數都表示出來。 • 使用0，1兩個數碼，加上位值概念，也可以表示所有的數。

為什麼「5×10＝50」？ • 為什麼「500÷10＝50」？ • 經驗「5×10＝50」： • 察覺「5×10＝50」： • 瞭解「5×10＝50」：

經驗： • 算出「5×10＝50」以後，感到很奇怪，被乘數5後面加一個0就是答案，但是只將其視為一個獨立的事實，並沒有察覺每一個數字乘以10的答案都是在後面加一個0。

察覺： • 發現一個數乘以10，被乘數後面加一個0就是積數的現象，但是不理解這個現象發生的理由。也就是說：只知其然，但不知其所以然。

瞭解： • 知其然，也知其所以然。 • 請說出：被乘數乘以10，只要在積數後面加上一個0的理由。

印度－阿拉伯數字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍。印度－阿拉伯數字左邊位置的位值都是相鄰右邊位置位值的10倍。 • 十位的5(是50)：乘以10，往左邊移一格，變成500；除以10，往右邊移一格，變成5。

「77」這個數字中： • 左邊的數碼「7」是右邊數碼「7」的多少倍？

個數的觀點： • 左邊的7是7個「10」，而右邊的7是7個「1」，都是7個，所以左邊的7是右邊的7的1倍(個數一樣多)。 • 7隻豬，7隻螞蟻： • 那個「7」比較大? • 那個「7」比較多?

以相同單位描述的觀點： • 左邊的7是7個「10」，是70， • 右邊的7是7個『1』，是7， • 左邊的7是右邊的7的10倍。 • 左邊的7是0.7個「100」，是70， • 右邊的7是0.07個「100」，是7， • 左邊的7是右邊的7的10倍。

三位數由3個數碼組成（最左邊的數碼不能是0），這3個數碼的位置不可以隨意的對調，每一個數碼所佔的位置都有不同的位名（個位、十位、百位），分別代表不同的數值。三位數由3個數碼組成（最左邊的數碼不能是0），這3個數碼的位置不可以隨意的對調，每一個數碼所佔的位置都有不同的位名（個位、十位、百位），分別代表不同的數值。 • 327的3指的是3個百（是300），　 • 2指的是2個十（是20）， • 理由是因為它們長在那裡。

十進表示法： • 237＝2×100＋3×10＋7×1。 • 十進表示法是多項式的先備經驗，最容易溝通印度－阿拉伯數字的　位值概念。 • 237＝23×10＋7×1 • 　＝2×100＋37×1 • ＝237×1

數字的大小　vs　個數的多少 • 「２個西瓜比５粒葡萄大很多，為什麼２比５小？」： • 不同年級的學童問這個問題時，你會怎麼回答？

西瓜和葡萄有很多特性可以比較，例如體積的大小、個數的多少、價錢的貴賤、顏色的深淺等，但是，這些都與兩個數字的大小無關。西瓜和葡萄有很多特性可以比較，例如體積的大小、個數的多少、價錢的貴賤、顏色的深淺等，但是，這些都與兩個數字的大小無關。 • 直觀的看：「5」和「2」這兩個數字的面積差不多，5的什麼比2大？

習慣上，我們使用「多」與「少」來描述兩堆物件個數多少的關係，例如：5個比2個多。 使用「大」與「小」來描述兩個數字次序的大小關係(兩個集合的大小關係)，例如5比2大。

如何比較兩堆物件個數的多少？ (如何解決問題) • 如何描述比較二堆物件個數多少的結果？ (如何記錄解題的結果)

如何比較兩堆物件個數的多少？ • 一定要確定兩堆的個數是多少個以後，才能比較那一堆比較多嗎?

透過一個對應一個的一對一對應方式，也可以比較兩堆物件個數誰多誰少（或一樣多）。透過一個對應一個的一對一對應方式，也可以比較兩堆物件個數誰多誰少（或一樣多）。 • 如何比較兩間教室面積的大小？ • (提供很多面積相同的報紙)

先用報紙舖滿兩間教室，分別點數報紙的張數後，再透過比較數字的大小判斷教室面積的大小。先用報紙舖滿兩間教室，分別點數報紙的張數後，再透過比較數字的大小判斷教室面積的大小。 • 先用報紙舖滿一間教室，再用這些報紙舖另一間教室，透過剩下報紙或舖不滿來判斷教室面積的大小。 • 這兩種比較方式的概念相同嗎?

５個人、５匹馬、摔了５跤、大吼５聲，寫正字記號,都可以透過一對一對應的比較方式，發現它們的個數相同（一樣多）。５個人、５匹馬、摔了５跤、大吼５聲，寫正字記號,都可以透過一對一對應的比較方式，發現它們的個數相同（一樣多）。 • ５個蘋果，４個西瓜，也可以透過一對一對應的比較方式，發現蘋果比西瓜多。

如何描述比較二堆物件個數多少的結果？ • 比較兩堆物件的個數有兩種可能：「一樣多」、「不一樣多」。 • 「不一樣多」又分成兩種可能： • 「甲堆物件個數比乙多」、　　　 • 「甲堆物件個數比乙少」。

　　 • 如何描述某一堆物件的個數？ • 用手指頭也可以描述鉛筆的個數，為什麼要使用數字或數詞描述鉛筆的個數？

昨天晚上，小明夢見天上只剩下『』顆星星，早上醒來，已經看不見星星，小明如何與別人溝通昨晚看到星星的個數？昨天晚上，小明夢見天上只剩下『』顆星星，早上醒來，已經看不見星星，小明如何與別人溝通昨晚看到星星的個數？

「 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆」、「５」「 ○ ○ ○ ○ ○」、「ㄨˇ」「 ◇ ◇ ◇ ◇ ◇」 • 上面左、右這兩類表徵，都可以和別人溝通星星的個數是５個。 • 那一種表徵比較容易讓別人知道有多少顆星星？

為什麼左邊這三種表徵比較容易溝通星星有多少顆？ • 為什麼右邊這二種表徵不容易溝通星星有多少顆？ • 右邊這二種表徵是我們日常生活中經常使用的，為什麼它們也可以溝通星星的個數？

為什麼人們捨棄左邊描述麻煩，但是概念簡單易懂的表徵方式，選擇右邊描述簡單，但是概念上不易理解的表徵方式來溝通個數？ • 人類一直在改變記數的方式，當面對的數量愈來愈多時，人們必須選擇方便且能夠有效率運算的表徵。

數概念建立在一對一對應關係上。 • 左邊三種表徵的圖像與５顆星星之間，都滿足一對一的對應關係，因此很容易溝通星星的個數。 • 數字「５」和數詞「ㄨˇ」，與５顆星星之間，並沒有滿足一對一的對應關係，因此不容易溝通星星的個數。

如果讓學童自己選擇溝通方式， 學童會選擇何種表徵來溝通個數？ • 為什麼可以使用數字或數詞來溝通星星的個數？ • 應該先學習數字或先學習數詞？　 • 如何幫助學童學習數字與數詞？

等價關係: • 何謂等價關係？何謂等價類？ • 在數學上，如果一個關係同時滿足反身性、對稱性與遞移性，則稱這一個關係滿足等價關係。 • 一對一對應是否滿足等價關係?

反身性： 甲(5個蘋果)和甲，滿足一對一對應的關係。 • 對稱性：如果甲(5個蘋果)和乙(5個橘子) 滿足一對一對應的關係，乙和甲也滿足一對一對應的關係。

遞移性：如果甲和乙滿足一對一對應關係，乙和丙也滿足一對一對應關係， 甲和丙也會滿足一對一對應關係。 • 如果甲和乙滿足一對一對應關係，丙和乙也滿足一對一對應關係，甲和丙也會滿足一對一對應關係。

如果一個關係滿足等價關係，代表這個關係的元素間的價值或內涵相同，並且具有可換性，可以任意挑選一個最方便或最具代表性的元素來代表其它所有的元素。如果一個關係滿足等價關係，代表這個關係的元素間的價值或內涵相同，並且具有可換性，可以任意挑選一個最方便或最具代表性的元素來代表其它所有的元素。

「顏色相同」是等價關係嗎？ • 顏色相同滿足反身性嗎? • 　　　　滿足對稱性嗎? • 　　　　滿足遞移性嗎? • 如何幫助學童尋找紅色物件？ • （如何選擇紅色的代表最方便）

『長度相同』是等價關係嗎？ • 長度相同滿足反身性嗎? • 　　　　滿足對稱性嗎? • 　　　　滿足遞移性嗎? • 如何選擇相同長度的代表最方便？

測量一定有誤差： • 假設測量沒有誤差： • 長度相同滿足等價關係。 • 接受合理或一定範圍的誤差： • 長度相同不滿足等價關係。

「大於（＞）」是等價關係嗎？ • 大於滿足反身性嗎? • 　　滿足對稱性嗎? • 　　滿足遞移性嗎? • 不滿足等價關係，無法選擇代表。

「一對一對應」是等價關嗎? • 一對一對應滿足反身性嗎? • 　　　　　滿足對稱性嗎? • 　　　　　滿足遞移性嗎? • 「一對一對應」是等價關係，因此可以任意地選擇『代表』。

古時候，祖先們曾經選擇： 「綁繩結」當做代表來描述個數，５個繩結，可以代表所有『由５個元素所構成集合』的個數。 • 「木頭或紙上刻痕」當做代表來描述個數，５個刻痕，可以代表所有『由５個元素所構成集合』的個數。

畫５個圓圈，寫正字符號，拿出５個石頭，發出５個聲音，點５下頭，伸出５根手指頭都可以代表所有『由５個元素所構成集合』的個數，因為它們都滿足一對一對應的關係。

畫５個圓圈，可以代表抓到５隻野豬，摔了５跤，吃了５碗飯。但是，不知道抓的是大豬、小豬或是死豬，也不知道一碗飯的量有多少？畫５個圓圈，可以代表抓到５隻野豬，摔了５跤，吃了５碗飯。但是，不知道抓的是大豬、小豬或是死豬，也不知道一碗飯的量有多少？ • 為什麼可以使用數字或數詞來描述一堆物件的個數？

可以選擇「聲音」當做代表來描述個數嗎？ • 相同的５個聲音（ㄅㄅㄅㄅㄅ） • 不相同的５個聲音（ㄅㄆㄇㄈㄉ） • 何者比較容易溝通數量關係？

相同的聲音，在相互傳遞的過程中，很容易發生失誤。相同的聲音，在相互傳遞的過程中，很容易發生失誤。 • 如果透過約定，讓每一個人發出不同聲音的次序都一樣，能夠較方便的溝通個數嗎？

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