§2.1
Download
1 / 23

§2.1 导数的概念 - PowerPoint PPT Presentation


  • 94 Views
  • Uploaded on

§2.1 导数的概念. 一、导数概念的引出. 二、导数的定义. 三、导数与连续的关系. 四、单侧导数. 五、导函数. 六、导数的几何解释. 一、导数概念的引出. 1 、瞬时速度. 现代仪器测定,女子网球发球速度最快者是美国的维纳斯 · 威廉姆斯 , 1998 年 10 月 16 日,在瑞士苏黎士举行的欧洲室内锦标赛上,她的发球速度为每小时 205 千米。. 2004 年 2 月 6 日,美国的罗迪克在戴维斯杯网球赛中,创下了发球最快球速的世界纪录 —— 时速 241.3 千米。. 什么叫发球速度?它又是怎样计算出来的呢?.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' §2.1 导数的概念' - clarence-tracy


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

§2.1 导数的概念

一、导数概念的引出

二、导数的定义

三、导数与连续的关系

四、单侧导数

五、导函数

六、导数的几何解释


一、导数概念的引出

1、瞬时速度

现代仪器测定,女子网球发球速度最快者是美国的维纳斯·威廉姆斯, 1998年10月16日,在瑞士苏黎士举行的欧洲室内锦标赛上,她的发球速度为每小时205千米。

2004年2月6日,美国的罗迪克在戴维斯杯网球赛中,创下了发球最快球速的世界纪录——时速241.3千米。

什么叫发球速度?它又是怎样计算出来的呢?

类似这样的问题还有很多:子弹出枪樘的速度,运动员冲刺的速度,两辆汽车同向而行,后一辆超过前一辆时的速度……


以上所提到的速度,我们称之为瞬时速度,即运动的物体在某一时刻 t =t0时的速度。在数学史上,瞬时速度并不是一个容易被接受的概念。

设有一质点作直线运动,

运动规律为:s = s(t),

如果质点

作匀速直线运动,

则每一时刻的瞬时速度都是

如果质点作非匀速直线运动,设 Δt = t -t0 , Δs = s(t) - s(t0) , 质点在 t与 t0之间的平均速度为:

称为质点在t0时刻的

瞬时速度。


求物体在t =t0时的瞬时速度

自由落体运动:


2、 曲线的切线

在中学,我们接触过圆的切线:

相交

相切

相离

切线:与圆只有一个公共点的直线。

实际上,中学里并没有给出一般曲线的切线的定义。


对一般的平面曲线C:y = f (x) ,

在曲线C上P0的附近另取一点 P,

为曲线C上的一点,

作割线PP0,

当点P沿曲线C趋于P0时 ,

如图:

C

如果割线PP0的极限位置T 存在,


对一般的平面曲线C:y = f (x) ,

在曲线C上P0的附近另取一点 P,

为曲线C上的一点,

如图:

作割线PP0,

当点P沿曲线C 趋于P0时 ,

C

如果割线PP0的极限位置T 存在,


对一般的平面曲线C:y = f (x) ,

在曲线C上P0的附近另取一点 P,

为曲线C上的一点,

如图:

作割线PP0,

当点P沿曲线C 趋于P0时 ,

C

如果割线PP0的极限位置T 存在,


对一般的平面曲线C:y = f (x) ,

在曲线C上P0的附近另取一点 P,

为曲线C上的一点,

如图:

作割线PP0,

当点P沿曲线C 趋于P0时 ,

C

如果割线PP0的极限位置T 存在,

T

则称直线T为曲线C:y = f (x)在点

P0处的切线。

割线PP0的斜率


因为

所以,切线T 的斜率:

如图:

C

T


3. 边际成本

设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为

我们来研究当q=q0时,产量变化Δq对成本的影响.

产量变化Δq对成本的影响可用:

来刻划.

而极限

称为q= q0时C=C(q)的边际成本.

它表明当产量为q0时,增加单位产量需付出成本:


则称函数y = f (x) 在 点的不可导。

点的可导,

并称此极限为函数y = f (x) 在 点的导数,

如果极限 不存在,

设函数y = f (x) 在点的某邻域内有定义,

上述引例中,如果去掉问题的具体属性(物理的,几何的或经济的),我们可抽象出:

二 导数的定义

给自变

定义1

量以改变量

函数相应的改变量为

如果

存在,

则称y = f (x)在

记作:


得:

牛顿的“流数术”与“第二次数学危机”

牛顿求函数 y = f (x) = x2在点x0处的导数(流数)的方法如下:

1734年,英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》,矛头指向微积分的基础--无穷小的问题,提出了所谓贝克莱悖论。他认为: “无穷小ε既等于零又不等于零,召之即来,挥之即去,这是荒谬的”“ε为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。


求函数y = f (x)在点x0处的导数一般分为以下三个步骤:

10 计算函数值的改变量

20 求比值

30 求极限

注意:导数定义的其他形式。


所以曲线

在(1,1) 点的切线方程为:

并求曲线

例1

求函数

在 x = 1 点的导数,

在 (1,1) 点的切线方程。

解:

y – 1 = 2 (x – 1)

即y = 2x – 1


三 单侧导数

左导数:

定义2

右导数:

左导数与右导数统称为单侧导数.

实质上,网球的发球速度是一个单侧导数。

在x = 0 点不可导.

例3


所以

其中

四 可导与连续的关系

定理1

若函数y = f (x) 在

可导,

连续。

则y = f (x) 在

证:

设函数y = f (x) 在

可导,

于是

故y = f (x) 在

连续,

注意:

定理的逆不成立,

例如,

在 x = 0 点连续,

但在x = 0 点不可导。


存在

都存在,且

定理2

由单侧极限与极限的关系即知定理成立。

设f (x) =

例4

求其在x = 0 点的单侧导数。

解:

因为左右导数不相等,所以 此函数在x = 0 点不可导。


五 导函数

定义3

若函数y = f (x)在区间I上每一点都可导,

则称

y = f (x)在区间I上可导。

与之对应,

简称为导数,记作:

由此而确定的函数称为导函数,

例5

求函数

的导数。

解:


6

求函数

的导数。

解:

推广:

由此可得:


7

求函数

的导数。

解:

由此可得:

例8

求函数

的导数。

解:

由此可得:


9

求函数

的导数。

解:

由此可得:


六 导数的几何解释

可导,

则y = f (x)在

点的

函数 y= f (x)在

切线斜率

所以曲线y = f (x)在

点的切线方程为:

法线方程为:

例10

求曲线

点的切线方程与法线方程。

解:

切线方程为:

法线方程为:


ad