Visualizaci n computacional de datos i
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Visualización Computacional de Datos I. Transformaciones. Transformaciones. Las transformaciones se aplican sobre los puntos que definen el objeto. P i. P 1. P 2. Pi = (px, py). Transformaciones Simples. Escala isotrópica. Pi = (px, py). sx 0 0 sy. S =. Pi = S.Pi. dy. dx.

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Presentation Transcript


Visualizaci n computacional de datos i

Visualización Computacional de Datos I

Transformaciones


Transformaciones

Transformaciones

Las transformaciones se aplican sobre

los puntos que definen el objeto

Pi

P1

P2

Pi = (px, py)


Transformaciones simples

Transformaciones Simples

Escala isotrópica

Pi = (px, py)

sx 0

0 sy

S =

Pi = S.Pi


Transformaciones simples1

dy

dx

Pi = Pi + D

Transformaciones Simples

Traslación

Pi = (px, py)

D = (dx, dy)


Transformaciones simples2

cos  -sin 

sin  cos 

R =

Transformaciones Simples

Rotación

Pi = (px, py)

Pi = R.Pi


Cuerpo r gido eucledianas

Cuerpo rígido / Eucledianas

  • Preserva distancias

  • Preserva ángulos

Rigidas / Euclideanas

Translación

Rotación


Similares

Similares

  • Conserva ángulos

Similares

Rígidas / Euclideanas

Translación

Escala isotrópica

Rotación


Lineales

Lineales

Similares

Rígidas / Eucledianas

Lineales

Escala

Translación

Escala isotrópica

Rotación

Reflexión

Shear


Transformaciones afines

Transformaciones afines

  • Preserva lineas paralelas

Afines

Similares

Rígidas / Euclideanas

Lineales

Escala

Translación

Escala isotrópica

Rotación

Reflexión

Shear


Transformaciones projectivas

Transformaciones Projectivas

  • Preserva líneas

Projectivas

Afines

Similares

Rígidas / Euclideanas

Lineales

Escala

Translación

Escala isotrópica

Rotación

Reflexión

Shear

Perspectivas


Perspective projection

Perspective Projection


General no lineales

General / no lineales

  • No preserva líneas

From Sederberg and Parry, Siggraph 1986


Como representar las transformaciones

Como representar las transformaciones?

x' = ax + by + c

y' = dx + ey + f

x

y

c

f

x'

y'

a b

d e

+

=

p' = M p + t


Coordenadas homogeneas

Coordenadas homogeneas

  • Se agrega una dimensión extra

    • en 2D, se usa 3 x 3 matrices

    • en 3D, se usa 4 x 4 matrices

  • Cada punto tiene entonces un valor extra, w

  • a

    e

    i

    m

    b

    f

    j

    n

    c

    g

    k

    o

    d

    h

    l

    p

    x

    y

    z

    w

    x'

    y'

    z'

    w'

    =

    p' = M p


    Pasar a coordenadas homogeneas

    Pasar a coordenadas homogeneas

    x' = ax + by + c

    y' = dx + ey + f

    Affine formulation

    Homogeneous formulation

    c

    f

    1

    x

    y

    1

    x'

    y‘

    1

    a b

    d e

    0 0

    =

    x

    y

    c

    f

    x'

    y'

    a b

    d e

    +

    =

    p' = M p + t

    p' = M p


    Translaci n t x t y t z

    Translación (tx, ty, tz)

    • Por que utilizar coordenadas homogeneas?Porque ahora traslaciones se expresan como matriz!

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    tx

    ty

    tz

    1

    x

    y

    z

    1

    x'

    y'

    z'

    0

    x'

    y'

    z'

    1

    =


    Escala s x s y s z

    Scale(s,s,s)

    Escala (sx, sy, sz)

    p'

    y

    p

    q'

    • Isotropica (uniforme) scaling: sx = sy = sz

    q

    x

    sx

    0

    0

    0

    0

    sy

    0

    0

    0

    0

    sz

    0

    0

    0

    0

    1

    x

    y

    z

    1

    x'

    y'

    z'

    1

    =


    Rotaci n

    ZRotate(θ)

    Rotación

    y

    p'

    • Sobre eje z

    θ

    p

    x

    z

    cos θ

    sin θ

    0

    0

    -sin θ

    cos θ

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    x

    y

    z

    1

    x'

    y'

    z'

    1

    =


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